Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто
- 30% recurring commission
- Выплаты в USDT
- Вывод каждую неделю
- Комиссия до 5 лет за каждого referral
Практическая работа № 1
Часть 1- Решение систем уравнения методом Крамера и методом обратной матрицы
Цель работы:
Научиться решать системы линейных уравнений средствами Excel, рассмотрев два способа решения:
· l метод обратной матрицы
· ll метод Крамера
Научиться использовать функции МОПРЕД, МОБР, МУМНОЖ
Теоретическая часть
Метод Крамера относится к точным методам решения систем линейных уравнений. Суть этого метода заключается в нахождении определителей системы линейных уравнений (1.1):
(1.1)
,
,
… … … ….
,
после чего неизвестные системы вычисляются по формулам Крамера (1.2):
(1.2)
Нахождение определителей, порядок которых старше третьего, вручную представляет собой довольно трудоемкую вычислительную задачу, поэтому для этих целей используются специальные математические пакеты или табличный процессор MS Excel.
Метод обратной матрицы относится к точным методам решения систем линейных уравнений. Суть этого метода заключается в преобразовании исходной системы линейных уравнений (1.3):
(1.3)
к матричному виду:
(1.4)
где А – матрица коэффициентов системы, B – вектор-столбец свободных членов, X – вектор-столбец неизвестных.
Для того чтобы найти вектор-столбец неизвестных X из матричного уравнения (1.4), необходимо умножить обе части уравнения на матрицу 
, которая является обратной к матрице А:
(1.5)
Таким образом, нахождение решения системы линейных уравнений сводится к нахождению обратной матрицы к матрице коэффициентов этой системы. Затем находится произведение обратной матрицы на матрицу-столбец свободных членов исходной системы. Результат произведения – это матрица-столбец, содержащий решение системы.
Нахождение обратной матрицы вручную представляет собой довольно трудоемкую вычислительную задачу, поэтому для этих целей используются специальные математические пакеты или табличный процессор MS Excel.
Задание
Пусть дана система уравнений:
Решите данную систему уравнений:
· l методом обратной матрицы
· ll методом Крамера
Порядок выполнения работы:
l метод обратной матрицы
1. Формируем матрицу А из коэффициентов, находящихся при неизвестных и матрицу В равную свободным членам системы уравнения:
2. Находим определитель матрицы А (используя функцию МОПРЕД), он не должен быть равен 0
3. Находим обратную матрицу к матрице А.
Для этого выделяем диапазон ячеек, в который будет помещена обратная матрица, затем выбираем функцию МОБР (Мастер функций->Категория: Математические->МОБР). В поле массив указать диапазон ячеек, содержащий матрицу А. Далее щелкнуть в строке формул и нажать комбинацию клавиш: "Ctrl+Shift+Enter" - признак матричной операции, в результате получаем
4. Для нахождения корней уравнения необходимо обратную матрицу умножить на матрицу свободных членов, используя функцию МУМНОЖ (Мастер функций->Категория: Математические->МУМНОЖ)
Для этого выделяем диапазон ячеек, где будут находиться корни уравнения. Далее указываем обратную матрицу и матрицу свободных членов В. Нажимаем ОК и признак матричной операции. В результате получили корни уравнения
ll метод Крамера
1. Формируем матрицу А из коэффициентов, находящихся при неизвестных, и матрицу В равную свободным членам системы уравнения:
2. Находим определитель матрицы А (используя функцию МОПРЕД), он не должен быть равен 0
3. При помощи функции МОПРЕД находим определители матриц А1,А2,А3 - Д1,Д2,Д3.
Для чего сначала формируем матрицы А1,А2,А3 следующим образом: вместо первого, второго и третьего столбца матрицы А, соответственно, подставляем матрицу В
4. Находим корни системы уравнения по формуле Дn/Д0. Получаем:
5. Производим проверку правильности нахождения корней системы уравнений Матрицу А умножаем на полученные корни уравнения (функция МУМНОЖ)
Если полученные данные совпадают с данными матрицы В, то система уравнений решена верно.
Контрольные вопросы
1) В чем заключается смысл метода Крамера?
2) Что такое определитель системы? С помощью какой функции вычисляется определитель в электронной таблице Excel?
3) Назовите формулы Крамера.
4) В чем заключается смысл метода обратной матрицы?
5) Что такое обратная матрица? С помощью какой функции вычисляется обратная матрица в электронной таблице Excel?
6) С помощью какой функции вычисляется произведение матриц в электронной таблице Excel? К какой категории относится эта функция?
Задания для самостоятельного выполнения:
1. Методом обратной матрицы решить систему уравнений (вариант задания выбрать по последней цифре номера зачетной книжки):
5х1+8х2-х3= -7 х1+2х2+3х3= 1 2х1-3х2+2х3= 9 |
х1+2х2+х3= 4 3х1-5х2+3х3= 1 2х1+7х2-х3= 8 |
3х1+2х2+х3= 5 2х1+3х2+х3= 1 2х1+х2+3х3= 11 |
х1+2х2+4х3= 31 5х1+х2+2х3= 29 3х1-х2+х3= 10 |
4х1-3х2+2х3= 9 2х1+5х2-3х3= 4 5х1+6х2-2х3= 18 |
2х1-х2-х3= 4 3х1+4х2-2х3= 11 3х1-2х2+4х3= 11 |
х1+х2+2х3= -1 2х1-х2+2х3= -4 4х1+х2+4х3= -2 |
3х1-х2= 5 -2х1+х2+х3= 0 2х1-х2+4х3= 15 |
3х1-х2+х3= 4 2х1-5х2-3х3= -17 х1+х2-х3= 0 |
х1+х2+х3= 2 2х1-х2-6х3= -1 3х1-2х2= 8 |
вар№12. Методом Крамера решить систему уравнений (вариант задания выбрать по последней цифре номера зачетной книжки):
вар№1
3х1-х2-х3-2х4= -4 2х1+3х2-х3-х4= -6 х1+2х2+3х3-х4= -4 | вар№2
х1-х2-2х3-3х4= 8 3х1+2х2-х3+2х4= 4 2х1-3х2+2х3+х4= -8 |
вар№3
2х1+х2+2х3+3х4= 1 3х1+2х2+х3+2х4= 1 4х1+3х2+2х3+х4= -5 | вар№4
х1-2х3+3х4= -4 3х1+2х2-5х4= 12 4х1+3х2-5х3= 5 |
вар№5
3х1+5х2+7х3+х4= 0 5х1+7х2+х3+3х4= 4 7х1+х2+3х3+5х4= 16 | вар№6
3х1+х2-2х3= 9 5х1-7х2+10х4= -9 3х2-5х3= 1 |
вар№7
х1-3х2-6х4= 9 2х2-х3+2х4= -5 х1+4х2-7х3+6х4= 0 | вар№8
3х1+3х2+3х3+2х4= 6 3х1-х2-х3+2х4= 6 3х1-х2+3х3-х4= 6 |
вар№9
2х1+х2+х3+х4= 5 х1-х2+2х3+х4= -1 х1+х2-х3+3х4= 10 | вар№10
х1-3х2+4х3= -7 3х2-2х3+4х4= 12 х1+2х2-х3-3х4= 0 |
х1+х2+2х3+3х4= 1Часть 2- Знакомство с алгоритмом «Поиск решения»
Цель работы. Получить представление об алгоритме поиска решения Microsoft Excel. Решить задачу определения минимума и максимума функции с использованием этого алгоритма.
Задание
Целевая функция
В качестве примера рассмотрим нахождение экстремумов функции вида: y=(a1+x)(a2+x)(a3+x), графиком которой является кубическая парабола. Если в качестве постоянных a1 , a2 и a3 взять конкретные числа, например, a1 = -1 , a2 = -4 , a3 = 3, то уравнение примет вид: y=(x-1)(x-4)(x+3). Из курса математики известно, что кубическая парабола такого вида имеет два экстремума.
Таким образом, цель решения — найти максимальное (точка максимума) и минимальное (точка минимума) значение данной функции. Поэтому выражение:
y=(x-1)(x -4)(x+3)
назовём целевой функцией, и решение задачи сводится к поиску её экстремумов, путём нахождения переменной x. Можно записать:
y=(x-1)(x-4)(x+3) → MAX и y=(x-1)(x-4)(x+3) → MIN.
Как видно, задача будет иметь два решения: значение x в точке максимума и в точке минимума. Поэтому, вам нужно заготовить две пустые ячейки, где «Поиск решения» разместит в дальнейшем ответы. Рядом разместите ячейки, в которые внесите формулы, соответствующие целевой функции максимума и целевой функции минимума. Примерный результат ваших действий представлен на рисунке.
Так как ячейки, предназначенные для значений x пока остаются пустыми (их числовое значение пока равно нулю), то в ячейках целевых функций будут отображаться одинаковые значения (при x=0 ).
Построение графика функции
Используя алгоритм поиска решения, вы должны задать диапазоны значений переменной x в которых будет осуществляться поиск точных значений экстремумов. Поэтому, для наглядности, следует обязательно построить график исследуемой функции. Выбрав удобный для вашего варианта задания диапазон x и шаг, постройте график. С целью экономии места на листе, данные для построения графика оформляйте в виде столбцов.
В данном случае удобно выбрать x, меняющийся от -5 до 5 с шагом 0,5.
На графике хорошо видно, что при x ≈ -1,5 функция имеет максимум, а при x ≈ 2,5 — минимум. Таким образом, диапазон поиска максимума можно ограничить значениями -2 ≤ x ≤ -1, а минимума — 2 ≤ x ≤ 3
Решение
После того, как границы поиска экстремумов определены, формулы целевых функций составлены, из всплывающего меню «Сервис» вберите пункт «Поиск решения...». Возникнет окно «Поиск решения» .
В качестве целевой ячейки поиска решения, курсором мыши укажите ячейку целевой функции «Максимум». После этого, в поле ввода «Установить целевую ячейку» появится абсолютная ссылка на неё, в данном случае С30 (см. рисунок ниже). Убедитесь в том, что точечный переключатель установлен на поиск максимального значения целевой ячейки.
Потом установите текстовый курсор в окно «Изменяя ячейки» и с помощью мыши укажите ячейку, в которой будет найдено значение x, соответствующее максимуму функции (D30).
Теперь нужно указать границы поиска максимума. Для этого воспользуйтесь текстовой кнопкой «Добавить» в рамке «Ограничения». Используя возникшее окно «Добавление ограничения», укажите, что значение в изменяемой ячейке (в данном случае D30) не должно выходить за пределы диапазона поиска. В данном случае, первое ограничение устанавливает, что D30 ≤ -1, а второе — D30 ≥ -2.
Когда все приготовления будут сделаны (указана ячейка целевой функции, изменяемая ячейка и границы диапазона поиска), нажмите кнопку «Выполнить». В результате будет найдено максимальное значение целевой функции, и соответствующее значение x.
Аналогичным способом найдите точку минимума функции. В результате решения задачи будут найдены значения функции в точках экстремумов и соответствующие значения x. На основании полученных результатов сделайте вывод.
Контрольные вопросы
1) Для чего можно использовать алгоритм поиска решения? К чему сводится его работа?
2) Что такое целевая функция?
3) Что такое изменяемая ячейка?
4) Что такое ограничение?
5) Можно ли при решении рассмотренной здесь задачи указать границы поиска минимума функции от -5 до 5? Почему?
Задания для самостоятельного выполнения:
Решить задачу определения минимума и максимума заданной функции
№ варианта | Исследуемая функция |
1 | y=(x-2)(x -3)(x+3) |
2 | y=(x+5)(x+1)(x-4) |
3 | y=x3+2x2-6x+9 |
4 | y=-x3+8x2-5x-7 |
5 | y=-x3-9x2-4x+15 |
6 | y=(6-x)(x+4)(x-3) |
7 | y=(7-x)(4-x)(x+5) |
8 | y=х(x-2)(x+5) |
9 | y=х(3-x)(7-x) |
10 | y=х(2x+2)(4-x) |
