Эффективная граница множества инвестиционных возможностей при наличии безрискового актива

9. Эффективная граница множества инвестиционных возможностей при наличии безрискового актива

Предположим, что на рынке имеются рискованные активы n видов с ожидаемыми доходностями и некоторый безрисковый актив с доходностью .

Если множество допустимых портфелей из данных рискованных активов, то - множество инвестиционных возможностей, а его эффективная граница.

Если инвестор может неограниченно предоставлять и брать кредиты под безрисковую ставку , то множество его инвестиционных возможностей совпадает с множеством точек вида ,

где (см. раздел 8).

Эффективную границу этого множества инвестиционных возможностей обозначим через .

Теорема 9.1. Предположим, что инвестор может неограниченно предоставлять и брать кредиты под одну и ту же безрисковую ставку . Если инвестиционная возможность , где , попадает на эффективную границу , то:

1) инвестиционная возможность ;

2) эффективная граница совпадает с лучом, заданным уравнением

.

▲ Заметим вначале, что точка А находится на луче , выходящем из точки и проходящем через точку В (рис. 9.1), причем

.

(9.1)

Рис. 9.1

Если условие (9.1) не соблюдается, то и инвестиционная возможность , что противоречит условию теоремы.

Если инвестиционная возможность , то найдется инвестиционная возможность , доминирующая инвестиционную возможность В. Тогда луч , выходящий из точки и проходящий через точку С, будет состоять из инвестиционных возможностей при использовании безрискового актива.

Очевидно, что на луче находятся инвестиционные возможности, доминирующие инвестиционную возможность А, а это противоречит условию теоремы. Следовательно, .

Докажем теперь второе утверждение. Луч , выходящий из точки и проходящий через точку , задается уравнением

.

Значит, достаточно доказать, что .

Рассмотрим произвольную точку . Очевидно, что точка не может находиться под лучом . Если же точка располагается над лучом , то можно рассмотреть луч , выходящий из точки и проходящий через точку (рис. 9.2).

Рис. 9.2

Луч состоит из инвестиционных возможностей при наличии безрискового актива, и на этом луче находятся инвестиционные возможности, доминирующие инвестиционную возможность А. Значит, точка не может находиться и над лучом . Следовательно, .

Аналогичные рассуждения показывают, что . Тогда .■

В связи с доказанной теоремой введем следующие определения.

Определение. Портфель назовем касательным портфелем, соответствующим безрисковой процентной ставке , если существует положительное число такое, что .

Следствие. Если не существует касательного портфеля, соответствующего безрисковой процентной ставке , то эффективная граница либо состоит из одной точки , либо является пустым множеством.

Отметим основные свойства касательного портфеля , соответствующего безрисковой процентной ставке .

1. Касательный портфель всегда определяет инвестиционную возможность, принадлежащую эффективной границе .

2. Если инвестор может неограниченно предоставлять и брать кредиты под безрисковую ставку , то эффективная граница совпадает с лучом ,

где – стандартное отклонение касательного портфеля, а – ожидаемая доходность касательного портфеля.

3. Имеет место равенство .

▲ Достаточно доказать только третье свойство. Если точка принадлежит множеству инвестиционных возможностей , то луч , заданный уравнением

,

состоит из инвестиционных возможностей при наличии безрискового актива, а луч , заданный уравнением , определяет эффективную границу таких инвестиционных возможностей. Сле­довательно

при любом . ■

Рассмотрим теперь более реальную ситуацию, когда инвестор может предоставлять кредиты под безрисковую ставку , а брать ссуды под безрисковую ставку , причем .

Предположим, что существуют касательные портфели и , соответствующие безрисковым процентным ставкам и . Покажем, что

Из того, что , ,

а , , следуют неравенства , , сложив которые, получим .

Так как по условию , то имеем .

Эффективная граница задается возрастающей функцией. Значит, .

Утверждение 9.1. Если инвестор может предоставлять кредиты под безрисковую ставку , а брать ссуды под безрисковую ставку , где , то при существовании касательных портфелей , , соответствующим этим безрисковым ставкам, эффективная граница множества инвестиционных возможностей определяется условиями

и имеет вид, показанный на рис. 9.3.

Рис. 9.3

Пример 9.1. На рынке разрешены короткие продажи рискованных активов двух видов со следующими показателями: . Ковариационная матрица доходностей которых имеет вид .

Найдем касательные портфели, соответствующие безрисковым процентным ставкам и .

▲ Множество инвестиционных возможностей определяется системой уравнений приведена в табл. 6.3, а ее решение в табл. 6.4. Допустимый портфель с наименьшим риском при разрешенных коротких продажах имеет следующую структуру , зависимость стандартного отклонения доходности портфеля от ожидаемой доходности имеет вид (45,4545r2–10,9091r+0,7752)1/2 .

Таким образом, множество определяется уравнением

σ=(45,4545r2–10,9091r+0,7752)1/2

Для отыскания касательного портфеля необходимо найти значение , при котором достигается наибольшее значение функции , где , которая в данном случае примет вид

.

Так как , то наибольшее значение функции достигается при . Тогда .

Аналогично можно найти и касательный портфель , .

Если инвестор может предоставлять кредиты под безрисковую ставку , а брать ссуды под безрисковую ставку , то эффективная граница множества его инвестиционных возможностей определяется следующими условиями:

З А Д А Ч И

9.1. Ожидаемая доходность и стандартное отклонение доходности касательного портфеля, при безрисковой ставке , равны 15 и 40%.

Найти эффективную границу множества инвестиционных возможностей, если инвестор может предоставлять кредиты и брать ссуды под указанную безрисковую ставку.

9.2. На рынке разрешены короткие продажи рискованных ценных бумаг двух видов со следующими показателями:

.

a) Найти эффективную границу .

b) Найти касательные портфели, соответствующие безрисковым процентным ставкам и .

c) Записать уравнение эффективной границы множества инвестиционных возможностей, если инвестор может предоставлять кредиты под безрисковую ставку , а брать ссуды – под безрисковую ставку .