1. Найдите 6 натуральных чисел, сумма которых равна 100, а произведение составляет 2015. Поясните, как Вы их нашли.
2. По дороге идут два путешественника. Шаг первого короче чем у второго на n%, но зато первый шагает чаще также на n%. Найти n, если известно, что один из путешественников двигается на 1% быстрее другого.
3. Даны три сосуда: первый емкостью 3 л, второй — 5 л, третий — 20 л. Первые два сосуда пустые. Третий заполнен водой. Как с помощью нескольких переливаний налить во второй сосуд ровно 4 л воды? (При переливаниях разрешается наливать в сосуд ровно столько воды, сколько в нем помещается, либо выливать всю воду из одного сосуда в другой, если она в него вся помещается.)
4. У весов сдвинута стрелка, то есть они всегда показывают на фиксированное число граммов больше (или меньше) чем истинный вес. Когда на весы положили дыню, весы показали 3 кг. Когда на весы положили арбуз, весы показали 5 кг. Когда взвесили и арбуз, и дыню, весы показали 7 кг. Сколько кг покажут весы, если на них поставить гирю в 2 кг?
5. Из клетчатого квадрата 5x5 вырезали центральный квадратик 1x1. Разрежьте оставшуюся фигуру на 6 равных клетчатых фигур. Приведите какой-нибудь один пример разрезания.
6 класс
1. Найдите 6 натуральных чисел, сумма которых равна 100, а произведение составляет 2015. Поясните, как Вы их нашли.
2. По дороге идут два путешественника. Шаг первого короче чем у второго на n%, но зато первый шагает чаще также на n%. Найти n, если известно, что один из путешественников двигается на 1% быстрее другого.
3. Даны три сосуда: первый емкостью 3 л, второй — 5 л, третий — 20 л. Первые два сосуда пустые. Третий заполнен водой. Как с помощью нескольких переливаний налить во второй сосуд ровно 4 л воды? (При переливаниях разрешается наливать в сосуд ровно столько воды, сколько в нем помещается, либо выливать всю воду из одного сосуда в другой, если она в него вся помещается.)
4. У весов сдвинута стрелка, то есть они всегда показывают на фиксированное число граммов больше (или меньше) чем истинный вес. Когда на весы положили дыню, весы показали 3 кг. Когда на весы положили арбуз, весы показали 5 кг. Когда взвесили и арбуз, и дыню, весы показали 7 кг. Сколько кг покажут весы, если на них поставить гирю в 2 кг?
5. Из клетчатого квадрата 5x5 вырезали центральный квадратик 1x1. Разрежьте оставшуюся фигуру на 6 равных клетчатых фигур. Приведите какой-нибудь один пример разрезания.
1. Запишите число 2015 с помощью 10 троек, скобок и знаков арифметических действий.
2. В строку одно за другим записаны все натуральные числа от 1 до n. Для какого n записанное число является 2016-значным?
3. Три ученика A, B и C участвовали в беге на 100 м. Когда A прибежал на финиш, B был позади него на 10 м, также, когда B финишировал, C был позади него на 10 м. На сколько метров на финише A опередил C?
4. Длины сторон треугольника ABC — последовательные целые числа, а медиана, проведенная из вершины А, перпендикулярна биссектрисе угла B. Найдите длины сторон треугольника ABC.
5. Какое наибольшее количество уголков вида 
, состоящих из трех квадратов 1x1, можно поместить в прямоугольник 5x7? (Уголки можно поворачивать и переворачивать, но нельзя накладывать один на другой.)
7 класс
1. Запишите число 2015 с помощью 10 троек, скобок и знаков арифметических действий.
2. В строку одно за другим записаны все натуральные числа от 1 до n. Для какого n записанное число является 2016-значным?
3. Три ученика A, B и C участвовали в беге на 100 м. Когда A прибежал на финиш, B был позади него на 10 м, также, когда B финишировал, C был позади него на 10 м. На сколько метров на финише A опередил C?
4. Длины сторон треугольника ABC — последовательные целые числа, а медиана, проведенная из вершины А, перпендикулярна биссектрисе угла B. Найдите длины сторон треугольника ABC.
5. Какое наибольшее количество уголков вида , состоящих из трех квадратов 1x1, можно поместить в прямоугольник 5x7? (Уголки можно поворачивать и переворачивать, но нельзя накладывать один на другой.)
1. Вдоль забора растут 8 кустов малины. Число ягод на соседних кустах отличается на 1. Может ли на всех кустах вместе быть 225 ягод?
2. Найдите все такие двузначные числа N, что сумма цифр числа N в 5 раз меньше самого числа N. Объясните, как вы нашли эти числа.
3. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке М, а биссектриса угла АМС проходит через точку D. Найдите углы параллелограмма, если известно, что угол MDC = 45°.
4. На вопрос о возрасте его детей математик ответил: «У нас трое детей. Когда родился наш первенец, суммарный возраст членов семьи был равен 45 годам, год назад, когда родился третий ребенок, — 70 лет, а в этом году суммарный возраст детей — 14 лет». Каков возраст детей математика?
5. Можно ли закрасить некоторые клетки квадрата 9x9 так, чтобы у каждой клетки было ровно две закрашенные соседние клетки? (Клетки называются соседними, если они имеют общую сторону.)
8 класс
1. Вдоль забора растут 8 кустов малины. Число ягод на соседних кустах отличается на 1. Может ли на всех кустах вместе быть 225 ягод?
2. Найдите все такие двузначные числа N, что сумма цифр числа N в 5 раз меньше самого числа N. Объясните, как вы нашли эти числа.
3. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке М, а биссектриса угла АМС проходит через точку D. Найдите углы параллелограмма, если известно, что угол MDC = 45°.
4. На вопрос о возрасте его детей математик ответил: «У нас трое детей. Когда родился наш первенец, суммарный возраст членов семьи был равен 45 годам, год назад, когда родился третий ребенок, — 70 лет, а в этом году суммарный возраст детей — 14 лет». Каков возраст детей математика?
5. Можно ли закрасить некоторые клетки квадрата 9x9 так, чтобы у каждой клетки было ровно две закрашенные соседние клетки? (Клетки называются соседними, если они имеют общую сторону.)
1. Известно, что с полным баком топлива моторная лодка проплывет 60 км по течению реки или 40 км против течения реки. На какое наибольшее расстояние можно отплыть по реке на этой лодке, чтобы топлива хватило и на обратный путь.
2. Число a является корнем уравнения 
. Найдите значение 
.
3. Высота треугольника длиной 2 делит угол треугольника в отношении 2 : 1 и делит основание треугольника на части, меньшая из которых равна 1. Найдите площадь треугольника.
4. Однажды утром навстречу друг другу из двух деревень одновременно выехали два велосипедиста. Каждый из них ехал в ту деревню, из которой выехал другой, с постоянной скоростью. В полдень этого дня они встретились и, не останавливаясь, достигли цели: один в 2 часа дня, другой – в 8 часов вечера. Во сколько часов они выехали в тот день?
5. Квадрат со стороной 10 разрезают на прямоугольники 1х2 (в некоторых из них клетки расположены горизонтально, в некоторых – вертикально). Может ли при этом число вертикальных и горизонтальных прямоугольников быть одинаковым?
9 класс
1. Известно, что с полным баком топлива моторная лодка проплывет 60 км по течению реки или 40 км против течения реки. На какое наибольшее расстояние можно отплыть по реке на этой лодке, чтобы топлива хватило и на обратный путь.
2. Число a является корнем уравнения . Найдите значение .
3. Высота треугольника длиной 2 делит угол треугольника в отношении 2 : 1 и делит основание треугольника на части, меньшая из которых равна 1. Найдите площадь треугольника.
4. Однажды утром навстречу друг другу из двух деревень одновременно выехали два велосипедиста. Каждый из них ехал в ту деревню, из которой выехал другой, с постоянной скоростью. В полдень этого дня они встретились и, не останавливаясь, достигли цели: один в 2 часа дня, другой – в 8 часов вечера. Во сколько часов они выехали в тот день?
5. Квадрат со стороной 10 разрезают на прямоугольники 1х2 (в некоторых из них клетки расположены горизонтально, в некоторых – вертикально). Может ли при этом число вертикальных и горизонтальных прямоугольников быть одинаковым?
1. У Вани есть ровно столько денег, сколько нужно на покупку килограмма персиков и килограмма яблок. Если он купит на 10% персиков больше, то ему сделают 30 – процентную скидку на яблоки, и оставшихся денег ему хватит на покупку, по крайней мере, килограмма яблок. А если он купит на 30% яблок больше, то ему сделают 10 – процентную скидку на персики, и оставшихся денег ему хватит на покупку, по крайней мере, килограмма персиков. Что дороже и во сколько раз: килограмм персиков или килограмм яблок?
2. Решите систему уравнений:
3. Можно ли в бесконечной последовательности чисел
Выбрать 7 чисел, образующих арифметическую прогрессию?
4. Квадрат со стороной 10 разрезают на прямоугольники 1х2 (в некоторых из них клетки расположены горизонтально, в некоторых – вертикально). Может ли при этом число вертикальных и горизонтальных прямоугольников быть одинаковым?
5. Две окружности равных радиусов пересекаются в точках B и C . На первой окружности выбрана точка A. Луч AB пересекает вторую окружность в точке D (B ¹ D). На луче DC выбрана точка E так, что DC = CE. Докажите, что угол DAE – прямой.
10 класс
1. У Вани есть ровно столько денег, сколько нужно на покупку килограмма персиков и килограмма яблок. Если он купит на 10% персиков больше, то ему сделают 30 – процентную скидку на яблоки, и оставшихся денег ему хватит на покупку, по крайней мере, килограмма яблок. А если он купит на 30% яблок больше, то ему сделают 10 – процентную скидку на персики, и оставшихся денег ему хватит на покупку, по крайней мере, килограмма персиков. Что дороже и во сколько раз: килограмм персиков или килограмм яблок?
2. Решите систему уравнений:
3. Можно ли в бесконечной последовательности чисел
Выбрать 7 чисел, образующих арифметическую прогрессию?
4. Квадрат со стороной 10 разрезают на прямоугольники 1х2 (в некоторых из них клетки расположены горизонтально, в некоторых – вертикально). Может ли при этом число вертикальных и горизонтальных прямоугольников быть одинаковым?
5. Две окружности равных радиусов пересекаются в точках B и C . На первой окружности выбрана точка A. Луч AB пересекает вторую окружность в точке D (B ¹ D). На луче DC выбрана точка E так, что DC = CE. Докажите, что угол DAE – прямой.
1. Произведение трех целых чисел в 6 раз больше их суммы, а одно из чисел равно сумме двух других. Найдите все такие тройки чисел.
2. В классе 30 учеников. Они сидят по двое за 15 партами так, что ровно половина всех девочек сидят с мальчиками. Докажите, что учеников класса не удастся пересадить так, чтобы ровно половина всех мальчиков сидели с девочками.
3. Доказать, что - иррациональное число.
4. Две окружности равных радиусов пересекаются в точках B и C . На первой окружности выбрана точка A . Луч AB пересекает вторую окружность в точке D (B ¹ D). На луче DC выбрана точка E так, что DC = CE. Докажите, что угол DAE – прямой.
5. Каждая клетка доски n x n (n ³ 5) покрашена в синий или желтый цвет. Никакие три подряд идущие клетки, расположенные в одной горизонтали, одной вертикали или одной диагонали, не покрашены в один и тот же цвет. Доказать, что в любом квадрате 3х3 среди угловых клеток ровно две синих и две желтых.
11 класс
1. Произведение трех целых чисел в 6 раз больше их суммы, а одно из чисел равно сумме двух других. Найдите все такие тройки чисел.
2. В классе 30 учеников. Они сидят по двое за 15 партами так, что ровно половина всех девочек сидят с мальчиками. Докажите, что учеников класса не удастся пересадить так, чтобы ровно половина всех мальчиков сидели с девочками.
3. Доказать, что - иррациональное число.
4. Две окружности равных радиусов пересекаются в точках B и C . На первой окружности выбрана точка A . Луч AB пересекает вторую окружность в точке D (B ¹ D). На луче DC выбрана точка E так, что DC = CE. Докажите, что угол DAE – прямой.
5. Каждая клетка доски n x n (n ³ 5) покрашена в синий или желтый цвет. Никакие три подряд идущие клетки, расположенные в одной горизонтали, одной вертикали или одной диагонали, не покрашены в один и тот же цвет. Доказать, что в любом квадрате 3х3 среди угловых клеток ровно две синих и две желтых.
