Тема: Дерево игры. Поиск выигрышной стратегии (стр. 5 )

Задание 2. При S = 14 или S = 16 Петя своим первым ходом может получить 17 камней, переведя игру в проигрышную (для Вани) позицию. Поэтому своим вторым ходом Петя всегда выиграет.

В таблице обозначим эти позиции как выигрышные (за 2 хода):

S	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	…	34
														В2		В2	П1	В1	В1	…	В1

4)  для выполнения задания № 3 нужно найти такие позиции, из которых все возможные ходы ведут в выигрышные позиции, помеченные как В1 или В2; это позиции S = 13 и S = 15: при S = 13 можно получить 14, 16 или 26 камней, все эти позиции выигрышные; при S = 15 можно получить 16, 18 или 30 камней, это так же выигрышные позиции

5)  В задании требуется найти только одну подходящую позицию, выбираем S = 13.

Задание 3. При S = 13 после первого хода Пети в куче будет 14, 16, или 26 камней. Если в куче получилось 14 или 16 камней, Ваня выиграет своим вторым ходом (см. задание 2). Если получилось 26 камней, Ваня выигрывает первым ходом, удвоив количество камней.

Строим дерево игры, рассматривая на каждом шаге все возможные ходы Пети и только выигрышный ход Вани:

У нас получилось не совсем дерево, потому что на первом ходу Ваня из двух позиций (S=14 и S=16) приводит игру к проигрышной для Пети позиции S=17. Для сокращения записи можно привести стрелки в один узел. Зелёные прямоугольники обозначают выигрыш Вани.

Ещё пример задания:

Здесь и в задачах для тренировки условие записано в сокращенном виде для экономии места. Полную форму записи условия см. в первой разобранной задаче.

Р-01. Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, добавить в кучу три камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16, 18 или 30 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 30.
В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 29.

1. При каких S: 1а) Петя выигрывает первым ходом; 1б) Ваня выигрывает первым ходом?

2. Назовите три значения S, при которых Петя может выиграть своим вторым ходом?

3. При каких S Ваня выигрывает своим первым или вторым ходом?

Решение (способ 2, математический, Г.  Сергеев, г. Москва):

1)  Вопрос 1а. Петя выигрывает первым ходом:

 

Петя должен правильно выбрать один из трёх возможных вариантов действий
(+1 ИЛИ +3 ИЛИ *2), которое переведет кучу камней к состоянию ≥30. Таким образом, получаем совокупность неравенств:

2)  Вопрос 1б. Ваня выигрывает первым ходом

Любое действие Пети (И +1 И +3 И *2) должно привести кучу камней к состоянию
. Только это может обеспечить выигрыш Вани на следующем ходу. Таким образом, получаем систему:

3)  Назовите три значения S, при которых Петя может выиграть своим вторым ходом?

Петя должен выиграть, а это значит, он должен правильно выбрать один из трёх возможных вариантов действий (+1 ИЛИ +3 ИЛИ *2), которое переведет кучу камней к состоянию . Только это может обеспечить ему выигрыш при любом действии его противника Вани. Таким образом, получаем совокупность:

4)  Вопрос 3. При каком S Ваня выигрывает своим первым или вторым ходом?

Сначала найдем, при каком S Ваня выигрывает своим вторым ходом.

Таким образом, получаем, что нет такого количества камней S, которые гарантировали бы выигрыш Вани именно после его второго хода при любых действиях Пети.

5)  Найдем, при каких значениях S любое действие Пети приведет кучу камней к такому состоянию, при котором Ваня сможет выиграть после 1 или после второго хода:

6)  Составим систему на основе следующих условий:

a.  любой ход Пети ведет в позицию выигрыша в два хода () или в один ход ()

b.  текущая позиция не совпадает с проигрышной позицией в один ход (), иначе, кроме нужных значений S, мы здесь получим ещё ответ на вопрос 1б

7)  итак, ответ на вопрос 3: S = 10 или 12.

8)  Построим дерево игры для S = 10. Обратите внимание, что после ходов Пети +1 и +3 Ваня своим следующим ходом сводит игру к одной и той же проигрышной (для Пети) позиции
S = 14.

Ещё пример задания:

Р-00. Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16 или 30 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 22. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 22 или больше камней.

В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 21. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока – значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.

Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ.

1. а) Укажите все такие значения числа S, при которых Петя может выиграть в один ход. Обоснуйте, что найдены все нужные значения S, и укажите выигрывающий ход для каждого указанного значения S.

б) Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вани.

2. Укажите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём
– Петя не может выиграть за один ход, и
– Петя может выиграть своим вторым ходом, независимо от того, как будет ходить Ваня.

Для каждого указанного значения S опишите выигрышную стратегию Пети.

3. Укажите значение S, при котором:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, и
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вани.

Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вани (в виде рисунка или таблицы). На рёбрах дерева указывайте, кто делает ход, в узлах – количество камней в куче.

Решение (способ 1, таблица):

6)  Вопрос 1а. Последним ходом может быть «+1» или «*2». Выиграть последним ходом «+1» можно, если S = 21. Ходом «*2» можно выиграть из любой позиции при S > 10 (сюда входит и 21!). Можно составить таблицу, в которой «В1» обозначает выигрыш за один ход:

S	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
											В1	В1	В1	В1	В1	В1	В1	В1	В1	В1	В1

Поэтому ответ должен быть такой: