Тетрадь

ТЕТРАДЬ

Кривые.

1.Если орт, то

Решение.

2. Для вектор-функции имеет место соотношения

Доказать, что кривая плоская.

Решение. Пусть -орт нормали плоскости , определяемой векторами Тогда

Таким образом, постоянный вектор. Это уравнение плоскости.

3. Для вектор-функции векторы коллинеарны. Доказать, что это-прямая.

Решение. Пусть -орт.

4. Определить кривую

Решение. Положим:Тогда

Кривая –окружность.

5. Определить кривую

Решение. Положим:Тогда

Прямая.

6. Прямая равномерно вращается вокруг оси с постоянной угловой скоростью .

Точка движется по прямой со скоростью, пропорциональной расстоянию .

Определить кривую (коническую спираль).

Решение.

.

7. Докажите, что для любой точки равносторонней гиперболы

отрезок нормали от точки до точки пересечения с осью равен отрезку .

Решение.

(

8. Покажите, что тангенс угла, образованного касательной к кривой с радиус-вектором,

проведенным в точку касания, задается формулой .

Решение.

9.Доказать, что только у логарифмической спирали и окружности угол постоянный.

Решение.

10. Все нормальные плоскости линии, у которой , проходят через постоянный вектор

Доказать, что кривая –плоская.

Решение.

11. Доказать, что если кривая обладает одним из следующих свойств:

.. 1) касательные к кривой образуют постоянный угол с некоторым направлением ,

2)бинормали к кривой образуют постоянный угол с некоторым направлением ,

3) главные нормали к кривой параллельны некоторой плоскости,

4) отношение кривизны и кручения кривой постоянно,

то обладает и остальными тремя.

Решение.

2.

3.орт нормали плоскости

4.Рассмотрим вектор Дарбу

11. Доказать, что, если соприкасающаяся плоскость проходит через фиксированную точку,

то кривая плоская.

Решение. Поместим начало координат в фиксированную точку. Тогда уравнение соприкасающейся

плоскости имеет вид

12. Кривая постоянной кривизны лежит на сфере. Доказать, что это окружность.

Решение. Поместим начало координат в центр окружности.

13. Доказать, что касательная к винтовой линии образует постоянный угол с осью.

Решение. Уравнение винтовой линии:

Уравнение касательной:

14. Определить уравнение плоской кривой

Решение. Пусть угол, который образует касательная к кривой с осью .

15. Какая кривая задана натуральным уравнением 1)

Решение. .

Дифференцируем по верхнему пределу

2) .

Решение. Положим

циклоида.

16. Найти ортогональные траектории семейства плоских кривых

Решение.

17. Если все нормальные плоскости линии содержат постоянный вектор , то линия плоская.

Доказать.

Решение.

18. Если все соприкасающиеся плоскости линии перпендикулярны некоторой фиксированной прямой,

то линия плоская. Доказать.

Решение. -орт прямой.

19. Если между точками двух линий можно установить такое соответствие, что касательные параллель-

ны, то отношение кручения к кривизне одинаковы по модулю.

Решение.

20. Линией Бертрана называется такая линия, главные нормали которой являются главными нормалями другой линии. Доказать, что для линии Бертрана

Решение.

21. Покажите, что угол между касательными в соответствующих точках кривых Бертрана постоянен.

Решение..

22. Докажите, что расстояние между соответствующими точками линии Бертрана постоянно.

Решение.

23. Между точками двух линий установлено соответствие такое, что касательные, главные нормали и

бинормали параллельны. Доказать, что .

Решение.

.

24. Докажите, что линия с постоянной кривизной является линией Бертрана. Соответствующая линия

Имеет ту же кривизну и состоит из центров кривизны исходной линии, в соответствующих точках касательные ортогональны.

Решение. Задача 20. Частное решение

(Задача 21).

25. Докажите, что для любой точки равносторонней гиперболы отрезок нормали

от точки до точки пересечения с осью , равен отрезку

.

Решение.

26. Докажите, что все нормали развертки окружности

одинаково удалены от начала координат.

Решение. .

27. Пусть касательная к линии в точке пересекает ось в точке , а нормаль в

точке , и пусть проекция точки на ось . Докажите, что длины касательной ,

нормали , подкасательной поднормали выражаются формулами

Решение.

28. Найдите линии, у которых длина поднормали постоянна и равна .

Решение.

29. Найдите линии, у которых длина подкасательной постоянна и равна .

Решение.

.

30. Докажите, что единственными линиями, у которых длина нормали есть величина постоянная,

являются окружности с центрами на оси .

Решение.

31. Найдите линии, у которых длина касательной есть постоянная величина

Решение.

трактриса.

32. Покажите, что площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс, конечна.

Решение.

33. Покажите, что замкнутая кривая имеет длину .

Решение.

34.  Составить уравнение эвольвенты цепной линии .

Решение.

34.  Составить уравнение асимптоты трактрисы .

Решение. . Прямая асимптота, если

.

35.  Составить уравнение асимптоты декартова листа .

Решение. -асимптота. Подставляем в правую часть равенства. Она,

если .

Приравниваем нулю коэффициенты. При ,

при .

36.  Составить уравнение асимптоты кривой .

Решение. Это ветвь гиперболы

-асимптота.

37.  Составить уравнение асимптоты кривой .

Решение. -асимптота. Подставляем в правую часть равенства. Она,

если .

Приравниваем нулю коэффициенты. При ,

при .

38.  Винтовая линия проектируются на плоскость

параллельными прямыми, образующими с осью угол. Определить уравнение кривой.

Выяснить характер особых точек.

Решение. За направляющий вектор прямых примем

Ищем особые точки

-точка возврата первого рода

39.  Найти условия существования асимптоты пространственной кривой

Решение.

Асимптота есть пересечение двух плоскостей .