Лекция 3 Условные экстремумы

Лекция 3 Условные экстремумы

В основу содержания данной лекции положено

дословное цитирование материалов § 4 главы VII [4].

При отыскании экстремумов функций нескольких переменных часто возникают задачи, связанные с так называемым условным экстремумом. Разъясним это понятие на примере функции двух переменных.

Пусть задана функция z = f (x,у) и линия L на плоскости Оху. Задача состоят в том, чтобы на линии L найти такую точку Р(х, у), в которой значение функции f (x,y) является наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями этой функции в точках линии L, находящихся вблизи точки Р. Такие точки Р называются точками условного экстремума функции f (x,y) на линии L.

В отличие от обычной точки экстремума значение функции в точке условного экстремума сравнивается со значениями функции не во всех точках некоторой ее окрестности, а только в тех, которые лежат на линии L.

Совершенно ясно, что точка обычного экстремума (говорят также безусловного экстремума) является и точкой условного экстремума для любой линии, проходящей через эту точку. Обратное же, разумеется, неверно: точка условного экстремума может и не быть точкой обычного экстремума. Поясним сказанное примером.

	Графиком функции является верхняя полусфера (рис. 1). Эта функция имеет максимум в начале координат, которому со­ответствует вершина М полу­сферы. Если линия L есть прямая, проходящая через точки А и В (ее уравнение х + у – 1 = 0), то геометри­чески ясно, что для точек этой линии наибольшее
Рис. 1 (рис. 146 [4]).

значение функции достигается в точке Р(,), лежащей посередине ме­жду точками А и B.

Точке условного экстремума (максимума) функции на рассматриваемой линии соответствует точка М1 на полусфере, и из рисунка видно, что ни о каком обычном экстремуме здесь не может быть речи.

Отметим, что при отыскании наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области (см. в лекции 3 заключительную часть примера 4) приходится находить экстремальные значения функции на границе этой области, то есть на какой-то линии, и тем самым решать задачу на условный экстремум.

Приступим теперь к практическому отысканию точек условного экстремума функции z = f (x,y) при условии, что переменные x и у связаны уравнением φ (x,y) = 0. Это последнее соотношение будем называть уравнением связи. Если из уравнения связи у можно явно выразить через х: y = ψ (x), то, подставляя в выражение функции z = f (x,у) вместо у функцию ψ (x), мы получим функцию одной переменной

z = f (x, ψ (x))=Ф(x).

Найдя значения х, при которых эта функция достигает экстремума, и определив затем из уравнения связи соответствующие им значения у, мы и получим искомые точки условного экстремума.

Так в вышеприведенном примере из уравнения связи х + у – 1 = 0 имеем у =1 – х. Отсюда

.

Легко проверить, что z достигает максимума при х = 0,5; но тогда из уравнения связи у = 0,5, и мы получаем как раз точку Р, найденную из геометрических соображений.

Очень просто решается задача на условный экстремум и тогда, когда уравнение связи можно представить параметрическими уравнениями: x = x(t), y = y(t). Подставляя выражения для х и у в данную функцию, снова приходим к задаче отыскания экстремума функции одной переменной.

Если уравнение связи имеет более сложный вид и нам не удается ни явно выразить одну переменную через другую, ни заменить его параметрическими уравнениями, то задача отыскания условного экстремума становится более трудной.

Будем по-прежнему считать, что в выражении функции z = f(x,y) переменная у является функцией от х, определенной неявно уравнением связи φ (x,y) = 0. C учётом того, что согласно правилу дифференцирования неявной функции ), полная производная от функции z = f (x,y) по x равна

.

В точках условного экстремума найденная полная производная должна равняться нулю – это дает одно уравнение, связывающее x и у, а с учётом уравнения связи получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными

, φ (x,y) = 0.

Преобразуем эту систему к гораздо более удобной, записав первое уравнение в виде пропорции и введя новую вспомогательную неизвестную λ:

(*)

(знак минус перед λ. поставлен для удобства). От этих равенств легко перейти к следующей системе:

которая вместе с уравнением связи φ (x,y) = 0 образует систему трёх уравнений с тремя неизвестными х, у и λ.

С учётом изложенного может быть сформулировано следующее правило: для того чтобы найти точки, которые могут быть точками условного экстремума функции z = f (x,y) при уравнении связи φ (x,y) = 0, нужно образовать вспомогательную функцию где λ – некоторая постоянная и, вычислив производные функции, составить уравнения для отыскания точек экстремума этой функции.

Указанная система уравнений описывает, как обычно, только необходимые условия, т. е. не всякая пара значений х и у, удовлетворяющая этой системе, обязательно является точкой условного экстремума. Достаточные условия для точек условного экстремума мы приводить не будем; очень часто конкретное содержание задачи само подсказывает, чем является найденная точка.

Описанный прием решения задач на условный экстремум называется методом множителей Лагранжа. Метод Лагранжа имеет наглядный геометрический смысл, который мы сейчас и выясним.

Предположим, что на рис. 2 изображены линии уровня функции z = f (x,y) и линия L, на которой отыскиваются точки условного экстремума.

	Точка Q , в которой линия L пересекает линию уровня, не может быть точкой условного экстремума, так как по одну сторону от линии уровня функция f (x,y) принимает большие значения, а по другую – меньшие. В отличие от этого, точка Р условного экстремума имеет некоторую окрестность, в которой линия L не
Рис. 2 (рис. 147 [4]).

пересекает соответствующую линию уровня, и лежит по одну сторону от неё. В такой точке линия L и линия уровня f (x, y) = С касаются друг друга (предполагается, что линии гладкие) и угловые коэффициенты касательных к ним должны быть равны.

Из уравнения связи φ (x,y) = 0 (по правилу дифференцирования неявной функции) имеем у' = – /, а из уравнения линии уровня f (x, y) = С соответственно у' = –/Приравнивая производные и произведя простейшее преобразование, получаем уравнения (*).

Приведенное рассуждение может потерять силу, если линия уровня такова, что во всех её точках , , при этом в знаменателе у' = –/получается ноль (например, функция z=4 – х2 и линия уровня х = 0,отвечающая значению z = 4).

Пример 5. Найти наибольшее значение функции z = xy, если х и y положительны и подчиняются уравнению связи

=0.

Здесь уравнение связи простое (оно представляет эллипс) и можно было бы сразу прийти к отысканию экстремума функции одной переменной, выразив у через x или взяв параметрические уравнения эллипса. Мы же для иллюстрации решим пример методом Лагранжа.

Составим вспомогательную функцию

Ф (х, у) = xy+λ ( ).

Приравнивая частные производные по х и по у нулю, получим

Исключая λ (вычислением явного выражения из одного уравнения и подстановкой в другое уравнение), приходим к уравнению 4у2 – х2 = 0,

решая которое совместно с уравнением связи находим х = 2 и y = 1 (по условию задачи x и у положительны).

Функция z = xy при рассматриваемых значениях х и у положительна и в точках пересечения эллипса с осями координат (,0) и (0,) равна нулю. Поэтому найденная единственная точка Р(2, 1) будет точкой условного максимума; в этой точке z max = 2. Легко проверить, что в точке Р эллипс касается линии уровня функции z = xy, проходящей через эту точку, т. е. гиперболы ху = 2.

Задачи на условный экстремум для функций трех переменных допускают большее разнообразие.

Пусть задана функция u = f (x,y,z) и переменные х, у и z связаны одним уравнением φ(х, у, z) = 0; это есть уравнение некоторой поверхности. Тогда точка условного экстремума является такой точкой поверхности, в которой функция принимает наибольшее или наименьшее значение по сравнению с ее значениями во всех близлежащих точках этой же поверхности.

Можно искать условный экстремум функции f (x,y,z) и при двух уравнениях связи: φ1 (x,y,z) = 0 и φ2 (x,y,z)=0, которые определяют линию пересечения поверхностей в пространстве. Таким образом, задача сводится к отысканию такой точки линии, в которой функция принимает экстремальное значение, причем сравниваются значения функции только в точках рассматриваемой линии.

Метод множителей Лагранжа в случае двух уравнений связи применяется следующим образом: строим вспомогательную функцию

Ф (х, у,z) = f (x,y,z)+λ1 φ1(x,y,z)+λ2 φ2(x,y,z),

где λ1 и λ2 – новые дополнительные неизвестные, и составляем систему уравнений для отыскания экстремумов этой функции

Добавляя сюда два уравнения связи, получаем систему пяти уравнений с пятью неизвестными х, у, z , λ1 , λ2. Искомыми точками условного экстремума могут быть только те, координаты х, у, z которых являются решениями этой системы.

В самом общем виде задача ставится так: требуется найти экстремумы функции п переменных u = f(x, у, z,...,t) при условии, что эти переменные подчинены т уравнениям связи (т < п):

…,

Вспомогательная функция зависит от п переменных и содержит т дополнительных неизвестных

Уравнения для отыскания точек экстремума этой функции и уравнения связи составят систему m+n уравнений, из которой определяются координаты х, у,z, ..., t возможных точек условного экстремума.

Пример 6. Найти прямоугольный параллелепипед наибольшего объема, если его полная поверхность равна заданной величине S.

Обозначим стороны параллелепипеда через х, у, z. Тогда требуется найти наибольшее значение функции V = f (x,y) = xyz при условии, что (уравнение связи) S/2 = φ(х, у, z) = ху+yz+zx.

Вспомогательная функция Ф(x,y,z)=xyz + λ(xy+yz+zx).

Уравнения для отыскания точек экстремума этой функции имеют вид (получаемые дифференцированием функции Ф(x,y,z) по трём переменным)

Вычитая эти уравнения друг из друга, получим

Отсюда (так как записанные выражения равны нулю только и лишь только при и ) ясно, что x=y= z, т. е. что искомый параллелепипед – куб. Размеры его определим из уравнения связи:

, .

Пример 7. Найти наибольшее расстояние от начала координат до точек линии пересечения параболоида вращения z = x2+y2 с плоскостью х+2у–z = 0 (наименьшее расстояние равно нулю, так как линия пересечения проходит через начало координат).

Расстояние r от начала координат до точки (x,у,z) равно . Наибольшие значения корня и подкоренного выражения достигаются в одной и той же точке; поэтому будем искать условный максимум функции u= х2 +y2+z2 при двух уравнениях связи

φ1(x,y,z); φ2(x,y,z).

Составляя вспомогательную функцию

и приравнивая нулю её частные производные, получим

Выразим отсюда координаты х, y, z через вспомогательные неизвестные ( и )

Подставляем x, y и z в уравнения связи ( → в правую часть):

, .

Приравнивая левые части обоих уравнений, получаем квадратное уравнение относительно . Его первый корень =0 приводит к значению λ2 = 0, которому соответствует начало координат – точка минимума. Второй корень равен = –2. Даже не отыскивая λ1 и λ2, находим х = 1, у = 2 и z = x2+y2= 5. Ясно, что эта точка наиболее удалена от начала координат, и r max= =.

Следующее занятие – лабораторная работа по теме «экстремумы функций многих переменных».

Индивидуальные задания будут выданы с началом лабораторного занятия, на котором очень пригодятся микрокалькуляторы или устройства, выполняющие их функции.

Еще раз обращаю Ваше внимание: готовясь к лабораторному занятию,

не забудьте микрокалькуляторы.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

4 , . Краткий курс математического анализа. М: Изд-во «Наука», 2005 (50 экз.).

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОТРОЛЯ

9) Условный экстремум функции двух переменных: понятие и отличие от безусловного экстремума с графической иллюстрацией, понятие уравнения связи. Найти наибольшее значение функции z = xy, если х и y положительны и подчиняются уравнению связи =0.

10) Правило нахождения точек, которые могут быть точками условного экстремума функции двух переменных с обоснованиями (метод множителей Лагранжа с графической иллюстрацией)

11) Отыскание методом множителей Лагранжа экстремумов функции трёх переменных с иллюстрацией на примере нахождения наибольшего расстояния от начала координат до точек линии пересечения параболоида вращения z = x2+y2 с плоскостью х+2у–z =0