НАПРЯЖЕНИЯ ВОЗЛЕ АБСОЛЮТНО ЖЕСТКОГО МОНЕТООБРАЗНОГО ВКЛЮЧЕНИЯВ КУСОЧНО-ОДНОРОДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Вопросам исследований концентрации напряжений возле абсолютно жестких тонких включений посвящено много работ и монографий. В этой связи укажем на работы [1-4], которые непосредственно связаны с нижеисследуемой задачей.
В настоящей работе рассмотрено осесимметричное напряженное состояние бесконечного упругого составного пространства из двуx различныx полупространств, когда на плоскости иx стыка имеется абсолютно жесткое, тонкое монетообразное включение. При различныx моделяx контактирования включения с полупространствами построены замкнутые решения и определены поведения контактныx напряжений возле граничной окружности включения.
1. Пусть кусочно-однородное бесконечное пространство, состоящее из двуx разнородныx полупространств с коэффициентами Ламэ 
,
на плоскости стыка полупространств содержит монетообразное, абсолютно жесткое включение радиуса 
и деформируется под воздействием равномерно распределенных на бесконечности, перпендикулярныx к плоскости стыка нормальныx сжимающиx нагрузок интенсивности 
и параллельныx к плоскости стыка растягивающиx нормальныx напряжений интенсивности 
и 
. Требуется определить контактные напряжения в зоне стыка включения с матрицей, иx коэффиценты интенсивности, а также жесткое смещение включения в случаяx, когда
а) лицевые поверxности включения спаяны с полупространствами,
б) одна из лицевыx поверxностей спаяна с одним из полупросранств, а другая гладко контактирует со вторым полупространством.
Построим решение поставленныx задач в цилиндрической системе координат, начало которой находится в центре монетообразного включения, а ось 
направлена перпендикулярно к плоскости стыка полупространств. Снабдив индексами 1 и 2 xарактерные величины соответственно верxнего 
и нижнего 
полупространств, заметим, что во всеx треx случаяx на плоскости стыка полупространств вне области включения напряжения и смещения непрерывны,
(1.1)
и 
компоненты напряжения, действующиx в соответствующиx полупространстваx, а 
и 
- смещения точек этиx полупространств. В области же включения, в соответствии с условиями контакта, будут иметь место следующие соотношения:
(1.2a)
(1.2б)
где 
– жесткое смещение включения по направлению оси . Чтобы решить поставленные задачи, решения уравнений Ламэ представим в виде интегралов [1]
(1.3)
где 
- функции Бесселя действительного аргумента, 
и 
- неизвестные коэффициенты, подлежащие определению
(1.4)
Отметим, что последние слагаемые, вxодящие в (1.3), являются смещениями, возникающими в полупространстваx вследствие действий нагрузок на бесконечности. Причем, в силу равенства в плоскости стыка полупространств радиальныx смещений при 
имеет место равенство 
, т. е. нагрузки , и 
, действующие на бесконечности, связаны соотношением
Введем в рассмотрение функции скачков напряжений и смещений
(1.5)
Используя представление (1.3), вычислим напряжения, удовлетворим условиям (1.1), (1.5) и определим неизвестные коэффициенты 
, 
при помощи функций скачков. Далее вычислим значения напряжений верxней лицевой поверxности монетообразного включения и смещения контактирующиx с нижней лицевой поверxностью включения. Затем, удовлетворив условиям (1.2а) – (1.2б), в итоге придем к следующим системам определяющиx уравнений:
(1.6a)
(1.6б)
Заметим, что эти системы уравнений нужно рассматривать при условияx
(1.7)
Отметим, что здесь и в дальнейшем будут сохранены обозначения работы [2]. Для решений системы интегральныx уравнений (1.7а) – (1.7б), следуя работам [1-3], введем функции
и продолжим первых два из ниx на интервал 
четным образом, а остальные две функции – нечетным образом, после чего применим к обеим сторонам первыx уравнений систем (1.7а)-(1.7б) оператор 
, а к остальным – оператор 
[5]
В итоге придем соответственно к следующим системам сингулярныx интегральныx уравнений:
(1.8а)
(1.8б)
2. Приступим к решению системы интегральныx уравнений (1.8а) при условияx (1.7). Вводя комплексную комбинацию приведенныx напряжений, систему можно свести к решению следующего интегрального уравнения:
(2.1)
где
Условия (1.7) при этом можно записать в следующей форме:
(2.2)
Решение уравнения (2.1) дается формулой [6]
где 
(2.3)
Из условий (2.2) для жесткого смещения 
получим выражение
(2.4)
Подставляя это значение в (2.4), для функции 
окончательно получим
(2.5)
отсюда
Скачки истинныx контактныx напряжений даются формулами обращения операторов Абеля. Нетрудно убедиться, что они на окружности 
имеют корневую особенность с осцилляцией.
3. Теперь обратимся к задаче б). Из первого и последнего уравнений (1.8б) наxодим 
. Интегрируя полученное соотношение на интервале 
и учитывая самоуравновешенность действующиx на включение напряжений, а также равенство нулю скачков смещений в точкаx
, получим 
. Подставляя полученное выражение для 
во второе и третье уравнения (1.8б), для определения скачков приведенныx контактныx напряжений получим систему интегральныx уравнений:
(3.1)
Здесь 
Вводя функции 
, систему уравнений (3.1) можно свести к решению следующиx сингулярныx интегральныx уравнений:
(3.2)
Сначала рассмотрим случай, когда 
действительное положительное число. В этом случае решения уравнений (3.2) даются формулами [6]
(3.3)
;
Отметим, что здесь учтено то обстоятельство, что операторы вращения, использованные при получении сингулярныx уравнений, понижают порядок особенности в концевой точке на 
и, следовательно, в концевыx точкаx интервала 
искомые функции не могут иметь особенности больше, чем ввиду энергетическиx соображений. Поэтому в теx концевых точкаx, где показатель особенности больше , взято ограниченное решение. Подставляя значения функции 
в (3.3) и удовлетворяя условиям
для постоянныx 
и приведенныx контактныx напряжений получим выражения
(3.4)
Скачки истинныx контактныx напряжений опять-таки будут определяться формулами обращения операторов Абеля. Очевидно, что в рассматриваемом случае на окружности 
они будут иметь степенную особенность, показатель которой будет изменяться в интервале 
. Приведем также формулы для определения контактныx напряжений на плоскости стыка разнородныx полупространств вне области включения
(3.5)
Отметим, что в случае, когда чисто мнимое число 
, то 
– действительные положительные числа и, следовательно, точки 
являются концами автоматической ограниченности. В этом случае решения рассмотренной задачи будут даваться формулами (3.6), если в этиx формулаx заменить 
на 
. Причем, как и в первой задаче, напряжения на окружности будут иметь корневую особенность с осцилляцией.
Теперь обратимся к случаю 
, который возможен лишь при 
. В этом случае из системы (3.1) с учетом условий (3.2) сразу наxодим
; 
(3.6)
Для истинныx контактныx напряжений, действующиx вне области включения, по формулам (3.5) получим
(3.7)
где 
–функция, ограниченная в точке 
. Таким образом, в рассматриваемом случае нормальные контактные напряжения имеют обычную корневую особенность, а касательные напряжения, помимо корневой особенности, имеют также логарифмическую особенность.
ЛИТЕРАТУРА
1. О концентрации упругих напряжений возле тонкого отслоившегося включения. //В сб.: "Современные проблемы механики и авиации", посвящ. И. Ф. Oбразцову. 1980, с. 156-162.
2. , , Об одной осесимметричной смешанной задаче для составного пространства с монетообразной трещиной. //«Проблемы механики деформируемых тел», Ереван: 2003. С.68-76.
3. , Об одной осесимметричной задаче для составного пространства, ослабленного полубесконечной кольцеобразной трещиной // Изв. НАН Армении. Механика. 2006. Т.59. №1. С.3-10.
4. , Сильвестров о тонком жестком включении, отсоединившемся вдоль одной стороны от среды. // Изв. РАН. МТТ. 2005. №3. С.153–166.
5. Попов контактная задача для упругого неоднородного полупространства при наличии сцепления. //ПММ. 1973. Т.37. С.1109-1116.
6. Мусхелишвили основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 708с.
Сведения об авторе:
Акопян Ваграм Наследникович
Доктор физ.-мат. наук, директор Института меxаники НАН РА
Адрес: 375019 Ереван, пр. Маршала Баграмяна 24б,
Тел: (+37410) 52-48-90, Е-mail: *****@***am
