XIII Международная олимпиада «Эрудит. Осень - зима 2015»
Математика
Решения
Задача 1
Пусть шары одного цвета лежат в одной коробке. Так как шаров каждого цвета было куплено одинаковое количество, то во всех коробках одинаковое количество шаров. После того, как из трех коробок (красной, синей и белой) взяли по 20 шаров, то в них осталось столько же, сколько в жёлтой и зелёной коробках вместе взятых.
То есть 60 шаров, которые пошли на гирлянду, равны количеству шариков в одной коробке. Значит, всего было куплено 60×5=300 шаров.
Задача 2
1) За одну открытку, ручку, и девять карандашей заплатили 36 рублей:
Значит, карандаш стоит меньше 4 рублей (36:9=4), а т. к. его цена число натуральное, то он может стоить 1, 2 или 3 рубля.
2) Две ручки стоят столько же, сколько одна открытка и четыре карандаша вместе взятые:
То есть, три ручки и пять карандашей стоят 36 рублей:
3) Пусть карандаш стоит 1 рубль, тогда 3 ручки стоят 36-5·1=31 рубль, 31 не делится на 3, значит, карандаш не может стоить 1 рубль.
4) Пусть карандаш стоит 2 рубля, тогда 3 ручки стоят 36-5·2=26 рублей, 26 не делится на 3, значит, карандаш не может стоить 2 рубля.
5) Пусть карандаш стоит 3 рубля, тогда 3 ручки стоят 36-5·3=21 рубль,
21:3 =7, т. е., ручка стоит 7 рублей, а открытка стоит 36-9·3-7=2 рубля.
6) На покупку подарка для первоклассников истратили 45·(3+7+2)=540 рублей.
Задача 3
3 танцора принимали участие в конкурсах и пели в хоре. |
|
10 ребят из хора – танцевали, 6 ребят из хора принимали участие в конкурсах, 8 танцоров принимали участие в конкурсах. |
|
32 четвероклассника пели в хоре, 27 четвероклассников танцевали, 22 четвероклассника принимали участие в конкурсах. |
|
В концерте принимало участие 12+7+3+5+19+3+11=60 четвероклассников. 75-60=15 четвероклассников не принимали участие в концерте. | |
11 четвероклассников принимали участие только в конкурсах |
|
Задача 4.
«Подарок в красной коробке» – правда | «Подарок в синей коробке» – правда | «Подарок в зеленой коробке» – правда | |
1-й мальчик сказал: «Подарок в красной коробке» | правда | Ложь | Ложь |
2-й мальчик сказал: «Первый мальчик солгал. Подарок в синей коробке» | Ложь, ложь | Правда, правда | Правда, ложь |
3-й мальчик сказал: «Первый мальчик солгал. Второй мальчик оба раза солгал. Подарок в зеленой коробке» | Ложь, правда, ложь | Правда, ложь, ложь | Правда, ложь, правда |
Вывод | Удовлетворяет условию | Нет мальчика, который чередует правду и ложь | Нет мальчика, который всегда говорит правду |
«Гриша всегда лжет» - 2-й мальчик в синем колпаке.
«Витя всегда говорит правду» - 1-й мальчик в красном колпаке.
«Саша чередует правду и ложь» - 3-й мальчик в зеленом колпаке.
Подарок в красной коробке.
Задача 5.
1) М+Т+С=82
2) М+Т+Л=84
3) М+Л+С=80
4) Л+Т+С=81
Из первого и второго уравнений следует, что Л=С+2.
Из первого и третьего уравнений следует, что Т=Л+2=С+2+2=С+4.
Подставим полученные равенства в четвертое уравнение, получим:
С+2+С+4+С=81,
3С+7=81,
С=(81-7):3,
С=25.
Л=25+2=27.
Т=25+4=29.
М=82-29-25=28.
Задача 6
