Лекция 5. Уравнение Эйлера

Лекция 5. УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА

1 Общее решение уравнения Эйлера

Рассмотрим следующую вариационную задачу: в пространстве С(1)[a, b] среди всех функций , удовлетворяющих граничным условиям найти такие, которые дают экстремум функционалу

с подынтегральной функцией, непрерывной вместе со своими частными производными до второго порядка включительно.

Рассматриваемая задача относится к классу вариационных задач с закрепленными концами. Необходимые условия решения этой задачи определяет следующая теорема.

Теорема (уравнение Эйлера).

Если функционал имеет экстремум при , причём С1[a, b] и удовлетворяет граничным условиям то функция является решением уравнения

,

которое называют уравнением Эйлера.

Доказательство. Согласно теореме о вариации функционала,

Пусть имеет экстремум при .

По необходимому условию экстремума, вариация функционала должна равняться нулю

Применим к последнему интегралу формулу интегрирования по частям , полагая, что и , при этом :

Граничные условия предопределяют, что закреплённые концы функций в точках и варьированию не подлежат, то есть

С учётом этого, , и, следовательно,

Для завершения доказательства перейдём к трактов­кам, использованным в формулировке леммы вариацион­ного

исчисления: функция непрерывна на [a, b], а

функция непрерывна вместе со своей первой производной на [a, b] и удовлетворяет условию.

В таком случае, согласно основной леммы, получается, что

и, следователь­но, функция является решением уравнения Эйлера, что и требовалось доказать.

Функции, являющиеся решениями уравнения Эйлера, представляют собой экстремали.

Уравнение Эйлера играет фундаментальную роль в вариационном исчислении. Оно представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка. Общее решение этого уравнения содержит две произвольные постоянные С1 и С2 , которые следует определять из граничных условий . В общем случае уравнение Эйлера не разрешимо в квадратурах.

Рассмотренные условия существования экстремума функционала являются лишь необходимыми. Отыскание достаточных условий – довольно сложная задача, поэтому мы ограничимся необходимыми условиями. Но часто сам характер экстремума бывает понятен из каких-то физических соображений, и в таких случаях уравнение Эйлера полностью решет вариационную задачу.

2 Частные случаи уравнения Эйлера

Случай1. Функция не содержит явно

В этом случае , и уравнение Эйлера принимает вид из которого следует, что

то есть получаем дифференциальное уравнение первого порядка, не содержащее явно .

Пример 5. Найти экстремаль функционала

если

Так как подынтегральная функция не содержит явно , и при этом приходим к уравнению ,

из которого следует, что , . Исходя из этого, получаем общее решение в виде дифференци­ального уравнения с разделяющимися переменными

.

Теперь, используя заданные граничные условия можно вычислить значения постоянных и :

из = 5 получаем

и из =6 получаем

Подставив найденные значения в

общее решение, получаем, что экстремалью заданного функционала является кривая .

Случай 2. Функция не содержит явно

В этом случае .

Преобразуем уравнение Эйлера , умножив обе его части на при этом получим

,

или (если искусственно ввести члены вида)

. (6)

Так как в соответствии с условиями теоремы не зависит явно от , то первое взятое в скобки выражение

,

а второе выражение, взятое в скобки может быть записано в виде

После соответствующих подстановок соотношение (6) принимает вид

Отсюда следует

Получили дифференциальное уравнение первого порядка, не содержащее явно

Пример 6. Среди всех плоских гладких кривых, соединяющих точки и найти ту, которая при вращении вокруг оси образует определяемую функционалом поверхность вращения наименьшей площади.

Так как в данном случае и не зависит от (случай 2), то для нахождения экстремали составим уравнение .

С учётом выражения для , имеем .

Подставив в уравнение выражения для и , получим откуда

Полагая находим при этом (из)

, , ,

с учётом чего получаем общее решение в виде

Найдем . Учитывая, что кривая проходит через точки и , при x=0 имеем у(x)=1 и t= –, а при x=1 имеем и t=(1–. Подставляя эти значения в общее решение, получаем соответственно

.

Отсюда следует С2 = 0, С1 = 1.

Итак, экстремалью функционала является цепная линия Среди всех плоских гладких кривых, соединяющих две заданные точки, именно эта линия при вращении вокруг оси образует поверхность наименьшей площади.

Случай3. Функция не содержит явно

В этом случае и уравнение Эйлера , принимающее (ввиду ) вид не является дифференциальным относительно неизвестной функции Если среди кривых, которые определяет это уравнение, есть кривые, удовлетворяющие заданным граничным условиям, то они и будут экстремалями.

Пример 7. Найти экстремаль функционала

если

Ввиду того, что функция

не содержит явно уравнение Эйлера () ввиду принимает вид , его решение , удов­летворяющее заданным граничным условиям, является экстремалью.

Случай 4. Функция зависит только от и не зависит от x и от у

В этом случае , и уравнение Эйлера , из которого ввиду (из-за независимости от ) следует соотношение которое, поскольку преобразуется к виду Его общее решение , то есть экстремалями служат прямые.

Пример 8. Найти экстремаль функционала

если

Поскольку функция зави­сит только от , уравнение Эйле­ра (), поскольку и, принимает вид Его общее решение , откуда и .

Найдем и с помощью граничных условий:

при x = 0 значение , а при x = 1

Следовательно, экстремаль – прямая

Случай 5. Функция зависит только от .

В этом случае , а уравнение Эйлера приводится к виду .

Пример 9. Найти экстремаль функционала

если

Так как то уравнение Эйлера принимает вид Его решением служит пара прямых но ни одна из них не удовлетворяет заданным граничным условиям, так как , и следовательно, дан­ный функционал экстремалей не имеет.

В заключение следует отметить, что могут быть рассмотрены и некоторые другие частные случаи уравнения эйлера, однако в условиях ограниченности выделяемого учебного времени, позвольте выразить уверенность, что подготовка, полученная при изучении преподаваемой дисциплины, а также при изучении высшей математики, вполне позволит Вам при необходимости освоить соответствующие материалы самостоятельно.

6.3 Функционалы, зависящие от нескольких функций

Рассмотрим простейший случай, когда функционал зависит от двух функций.

Пусть функционал определён в пространстве С(1)[a, b], то есть С(1)[a, b].

Необходимо найти функции , удовлетворяющие граничным условиям

при которых заданный функционал имеет экстремум.

Функции-экстремали являются решениями системы дифференциальных уравнений, которую называют системой уравнений эйлера:

Система уравнений эйлера в рассматриваемой вариационной задаче играет ту же роль, что и уравнение эйлера в предыдущих задачах.

Для функционала, зависящего от n≥3 функций

система уравнений эйлера состоит из n уравнений.

По материалам темы «Основы вариационного исчисления» предусмотрена 4 часовая лабораторная работа: «Элементарная задача вариационного исчисления»

ВНИМАНИЕ: Для выполнения лабораторной работы:

1) требуется микрокалькулятор, вычисляющий еx;

2) при выполнении работы потребуется вычисление полной производной и решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Поэтому целесообразно вспомнить и законспектировать понятие и способ вычисления полной производной (Выгодский по высшей математике, с. 645 – см. выписку в методических документах), а также основные понятия линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (, . Краткий курс математического анализа, с. 582-583) и способ его решения с использованием квадратного уравнения (, . Краткий курс математического анализа, с. с. 587-588).

ЛИТЕРАТУРА

3. , , Кувыркин исчисление и оптимальное управление/Под ред. , . М.: Изд-во МГТУ им. , 1999.

4. , . Краткий курс математического анализа. М: Изд-во «Наука», 1967.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОТРОЛЯ

17) Уравнение Эйлера (теорема). Воспроизвести самостоятельно доказательство.

18) Частный случай уравнения Эйлера: когда функция не содержит явно y. Воспроизвести самостоятельно решение примера 5.

19) Частный случай уравнения Эйлера: когда функция не содержит явно x. Воспроизвести самостоятельно решение примера 6.

20) Частный случай уравнения Эйлера: когда функция не содержит явно. Воспроизвести самостоятельно решение примера 7.

21) Частный случай уравнения Эйлера: когда функция зависит только от при . Воспроизвести самостоятельно решение примера 8.

22) Частный случай уравнения Эйлера: когда функция зависит только от y. Воспроизвести самостоятельно решение примера 9.

23) Функционалы, зависящие от нескольких функций