Динамические балочные функции

Динамические балочные функции

1. Функции формы колебаний балки

Если произвольную конструкция (твердое деформируемое тело) вывести из состояния равновесия, то конструкция будет колебаться. Такой процесс колебаний без дополнительных внешних воздействий называется свободными или собственными колебаниями конструкции. Формы и частоты колебаний конструкции зависят от типа конструкции, ее физических и геометрических характеристик и граничных условий опирания конструкции. Формы и частоты собственных колебаний конструкции называются собственными формами и частотами колебаний конструкции. Любая конструкция имеет бесконечное число форм и частот собственных колебаний.

Рассмотрим однопролетную балку постоянного сечения изгибной жесткости EJz с массой m единицы длины балки (рис. 1) (балка может иметь другие условия опирания)

 

Дифференциальное уравнение собственных колебаний балки получаем на основе дифференциального уравнения изгиба балки . При колебаниях балки на балку действуют инерционные силы ; Тогда, получаем уравнение собственных колебаний балки

. (1)

Отметим, что в уравнении (1) функция колебаний отсчитывается от положения статического равновесия балки (без учета прогиба от собственного веса балки)

Применяя метод Фурье (метод разделения переменных) решения дифференциальных уравнений в частных производных, функцию колебаний ищем в виде

, (2)

Подставляя решение (2) в уравнение (1) и умножая левую и правую части уравнения на , имеем

. (3)

Так как функции разных аргументов могут быть равны только константе, то получаем два уравнения

, или , (4)

, или . (5)

Уравнения (5) имеет мнимые корни характеристического уравнения и, следовательно,

, (6)

Из полученного решения следует, что параметр w определяет частоту собственных колебаний балки.

Уравнение (4) определяет форму колебаний балки и называется дифференциальным уравнение формы колебаний балки. Прежде чем рассмотреть его решение введем безразмерный параметр (аргумент)

, , , (7)

Учитывая, что , , получаем уравнение формы колебаний балки в безразмерном виде

, (8)

где .

Параметр g называют собственным числом дифференциальным уравнения. Параметр g связан с частотой собственных колебаний. Определение параметра g будет рассмотрено ниже.

Характеристическое уравнение дифференциального уравнения (8) , корни которого ,

Решением дифференциального уравнения (В.1) являются функции формы колебаний балок – динамические балочные функции. Для представления решения уравнения обычно используются функции Крылова, определяемые комбинацией функций общего решения дифференциального уравнения:

; ;

; . (9)

Общее решение получаем в виде

. (10)

Отметим некоторые свойства функций Крылова:

; , I = 1,2,3 (I ¹ 0);

, ; (11)

, .

Из формулы дифференцирования функций Крылова следует

и, следовательно, ; (12)

Из последнего свойства функций Крылова, с учетом свойств (11) следует, что если балка имеет условия опирания на левой опоре (x=0) и , то в решении (10) и общее решение можно записать в виде

, ; - все различные.

Коэффициент Аi - определяет амплитуду функции Y, который определяется при решении конкретной задачи. Коэффициент не меняет формы функции. Поэтому далее функцию формы колебаний балки определяем формулой

. (12)

при граничных условиях ; .

В формуле (12) остаются 2 неопределенных параметра С и g. Для их определения используются граничные условия опирания балки на правом конце (x=1). Из двух условий опирания балки получаем две различные формулы коэффициента С. Приравнивая эти коэффициенты, получают функциональное уравнения для определения собственного числа g.

Рассмотрим примеры.

1. Пусть левый конец балки жестко защемлен, тогда Y(0) =Y¢ (0) = 0, к=0, l = 1, получаем .

2. Левый конец балки шарнирно оперт, тогда Y(0) =Y² (0) = 0, к=0, l = 2, получаем .

3. Левый конец балки свободен (консоль), тогда Y²(0) =Y¢² (0) = 0, к=2, l = 3, получаем .

Рассмотрим балку приведенную на рис. 1 (левый конец шарнирно оперт, правый - жестко защемлен) Граничные условия опирания балки на правом конце. Y(1) =Y¢ (1) = 0.

Из условий опирания левой опоры имеем

;

Удовлетворяя граничные условия на правой опоре, получаем:

Y(1) = 0 ; Y¢ (1) = 0 .

Приравнивая эти значения и приводя к общему знаменателя, получаем функциональное уравнение

. (13)

Подставляя в уравнение (13) функции Крылова (9), имеем

,

откуда . (14)

Из полученного функционального уравнения определяют значения собственного числа g. На рис. 2 представлены графики и , точки пересечения которых определяют значения параметра g.

Из графика видно, что первые значения g близки к 1,25p и 2,25p. более точные значения можно получить с помощью вычислительных средств. При продолжении графика, очевидно, будут следующие точки пересечения графиков, определяющие бесконечное число параметров собственных чисел. В данном примере . Обычно уточненные значения собственных числе форм колебаний балки определяют для первых четырех значений, при m>4 значения собственных чисел с достаточной точностью определяются по приближенным формулам. Для рассматриваемой балки: g1 = 3.92660, g2 = 7.06858, g3 = 10.21018, g4 = 13.35177, m>4

Функциональные уравнения для определения собственных чисел балок с различными условиями опирания и значения собственных чисел приведены в таб. 1, 2.

При необходимости определяют частоту собственных колебаний рассматриваемой балки . (при этом должны быть заданы реальные параметры балки)

Уравнение (14) (как и любое функциональное уравнение собственных чисел конкретной балки) имеет бесконечное число значений g, каждому из которых присваивается порядковый номер m. Этот номер при необходимости проставляется во всех приведенных ранее формулах - , , .

Динамические балочные функции Таблица 1

№	Схема балки	граничные условия	Ym(gmx)	Сm
1		Y(0) =Y ¢(0), Y (1) =Y ¢(1)	F2m(gmx) - CmF3m(gmx)
2		Y(0) =Y ¢(0), Y (1) =Y ¢¢(1)
3		Y(0) =Y ¢(0), Y ¢¢(1) =Y ¢¢¢(1)
4		Y(0 =Y ¢¢(0), Y(1)=Y ¢(1)	F1m(gmx) - CmF3m(gmx)
5		Y(0) = Y ¢¢(0), Y(1) = Y ¢¢(1)
6		Y(0)=Y ¢¢(0), Y¢¢(1) =Y ¢¢¢(1)
7		Y ¢¢(0) =Y ¢¢¢(0), Y(1) =Y ¢(1)	F0m(gmx) - CmF1m(gmx)
8		Y ¢¢(0) =Y ¢¢¢(0), Y(1) =Y ¢¢(1)
9		Y ¢¢(0) =Y ¢¢¢(0), Y¢ ¢(1) =Y ¢¢¢(1)

Далее в таблицах указываются номера схем балок соответственно табл. 1.

Функциональные уравнения и собственные числа

динамических балочных функций Таблица 2

Схемы балок в табл.1	Функциональное уравнение	gm
1,9			4,73004; 7,85320; 10,99561; 1413717; gm > 4 » (m + 0,5)p
2, 4, 6, 8	F1m(gm)×F2m(gm) =F0m(gm)×F3m(gm)		3,92660; 7,06858; 10,21018; 13,35177; gm > 4 » (m + 0,25)×p
3, 7			1,87510; 4,69409; 7,85476; 10,99554; gm > 4 » (m - 0,5)×p
5	F1m(gm) = F3m(gm); Cm = 1

Функциональное уравнение получаем приведением соотношений для Сm к общему знаменателю, подстановкой в полученное выражение функций Крылова и упрощений с использованием свойств тригонометрических и гиперболических функций. Собственные числа являются корнями функционального уравнения. Корни трансцендентного функционального уравнения находятся путем подбора. В табл. 2 приведены значения первых четырех собственных чисел функциональных уравнений с пятью значащими цифрами после запятой. Последующие значения собственных чисел (m > 4) могут быть определены с той же точностью по асимптотическим формулам приведенным в табл. 2.

Для шарнирно опертой балки (см. схему 6 табл. 1) функциональное уравнение получаем в виде F1m(gm) = F3m(gm) и Cm = 1ю Тогда Функция формы собственных колебаний шарнирно опертой балки приводится к виду

2. Интегралы динамических балочных функций

Динамические балочные функции используются при решении многих задач теории упругости и теории оболочек, в частности, при расчете пластин на изгиб. При этом появляется необходимость вычислении интегралов, в частности, интегралов от произведения динамических функции и их производных.

Для получении интеграла от произведения балочных функций в общем виде, воспользуемся соотношением дифференциального уравнения (8) , что позволяет использовать при интегрировании формулу интегрирования по частям

(15)

Заменяя в последнем интеграле на и перенося интеграл в левую часть (начальный интеграл), получаем

. (16)

При стандартных условиях опирания балки: жесткая заделка , ; шарнирное опирание, ; свободный край (консоль) , правая часть в формуле (16) равна нулю, и, следовательно, получаем

, при m ¹ n. (17)

Формула (17) доказывает ортогональность динамических балочных функций.

Свойство ортогональности динамических балочных функций можно доказать для любых условий опирания балки.

Например, при упругом опирании левого конца балки имеем и , , , cw – коэффициент жесткости упругой опоры. Тогда получаем

.

При упругой заделке на левом конце балки ,

и .

Аналогично при упругом опирании или упругом защемлении правой опоры.

В теории колебаний твердого деформируемого тела доказывается общая теорема: твердое деформируемое тело имеет бесконечное число собственных форм колебаний. Функции собственных форм колебаний твердого деформируемого тела ортогональны при интегрировании по объему тела. Выше это положение доказано для балки, являющейся частным видом твердого деформируемого тела.

Из формулы (15) следует также ортогональность вторых производных динамических балочных функций и ортогональность динамической балочной функции и ее 4-й производной:

, при m ¹ n. (18)

При m = n , в соотношении (16) равенство выполняется за счет множителя при m = n.

Для вычисления интеграла используем соотношение (16), положив в нем . Очевидно, при ;

. (19)

Проведем преобразования правой части соотношения (16)

Далее в преобразованиях оставляем первые два слагаемых ряда Тейлора.

Введем переменную . Тогда получим

; ; ; .

Введем обозначения :

, ; .

Тогда

; ; ;

; ;

; .

Долее получаем:

. (20)

. (21)

Учитывая, что - удовлетворяет граничным условиям, получим

. (22)

Подставляя выражения (19), (22) в соотношение (16), сокращая правую и левую части на , получаем (при dg = 0)

. (23)

С учетом дифференциального уравнения (8), и соотношений (15), получаем также:

. (24)

Из формулы (23) следует, что интеграл от квадрата функции формы колебаний балки определяется из граничных условий на правом конце балки (x = 1). Но, функции динамических балочные функции удовлетворяют всем граничным условиям. Поэтому возникает вопрос, почему значение интеграла не может быть вычислено уз условий удовлетворения граничных условий на левом конце балки, т. е. по формуле

. (25)

Очевидно формула (25) будет эквивалентна формуле (23) при симметричных граничных условиях опирания балки.

Не обладают свойством ортогональности вторые производные балочных функций по отношению самих функций

.

В то же время, последний интеграл для балок, опертых по обеим концам, обладает свойством квазиортогональности

.

Интегралы о произведения балочных одноименных функций (m = n) и их производных вычисляются по формулам, полученным интегрированием по частям и предельным переходом [22,23]:

;

;

. (П. В.6)

При m ¹ n интеграл от произведения динамической балочной функции на ее вторую производную получается интегрированием по частям

. (В.7)

Как видно из первой формулы (В.6) интеграл от квадрата динамической балочной функции зависит только от граничных условий опирания балки на правой опоре, в то же время численные их значения для различных условий опирания балки на левой опоре могут отличаться. Для балок с симметричными условиями опирания формул вычисления интеграла от произведения балочной функции на ее вторую производную можно упростить

. (П. В.8)

В табл. П.6 – П.9 приведены интегралы от систем балочных функций.

Интегралы от динамических балочных функций

8

Опирание левой опоры балки	жестко защемлен	шарнирно оперт	свободный
схемы балок в табл. П. 4	1¸3	4¸6	9¸12
dm

9

Схемы балок схемы балок в табл. П. 4		Асимптотическая формула (m > 4)
1, 3, 7, 9
2, 8
4
6
5		-

Как видно из табл. П.8 интегралы от квадратов балочных функций являются константами (не зависят от номера члена ряда m), за исключением балок с шарнирным опиранием на левой опоре. Интегралы от произведения балочных функциям на их вторые производные зависят от номера члена ряда, но для старших членов ряда они вычисляются по простым асимптотическим формулам, приведенным в табл. П. 9.