Вопросы к зачету по курсу «Комплексный анализ» (4 семестр)

Часть 1

Определение комплексного числа. Определение комплексно сопряженного числа. Определение суммы, произведения, частного комплексных чисел. Тригонометрическая форма представления комплексного числа. Показательная (экспоненциальная) форма представления комплексного числа. Формула Эйлера. Формула Муавра. Вычисление корня n-ой степени из комплексного числа. Комплексная плоскость; расширенная комплексная плоскость. Определение области в комплексной плоскости. Внутренняя, внешняя, граничная точки области. Определение односвязной области. Определение сходимости последовательности комплексных чисел (случаи конечного и бесконечного пределов). Определение сходимости ряда комплексных чисел. Определение абсолютной сходимости ряда комплексных чисел. Определение функции комплексного переменного. Определение однолистной функции комплексного переменного. Предельное значение функции комплексного переменного. Непрерывность в точке и на множестве функции комплексного переменного. Равномерная непрерывность функции комплексного переменного. Определение производной функции комплексного переменного. Дифференцируемость функции комплексного переменного; связь ее с существованием производной. Теорема о необходимом и достаточном условии дифференцируемости функции комплексного переменного в точке. Выражение производной функции комплексного переменного через частные производные ее действительной и мнимой части. Определение аналитической функции. Геометрический смысл модуля производной функции комплексного переменного. Геометрический смысл аргумента производной функции комплексного переменного. Определение конформного в точке отображения. Определение конформного в области отображения. Определение линейной функции и ее свойства. Определение степенной функции с натуральным показателем и ее свойства. Определение показательной функции и ее свойства. Определение логарифмической функции и ее свойства. Определение основных тригонометрических функций и их свойства. Определение регулярной однозначной ветви многозначной функции. Определение дробно-линейной функции; аналитичность, конформность отображения. Групповое свойство дробно-линейной функции. Свойство сохранения двойного отношения для дробно-линейной функции. Круговое свойство дробно-линейной функции. Определение симметрии точек относительно прямой; относительно окружности. Свойство сохранения симметрии для дробно-линейной функции. Определение и свойства функции Жуковского. Определение интеграла функции комплексного переменного. Выражение интегралов функции комплексного переменного через вещественные криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. Интегральная теорема Коши (случай односвязной области). Интегральная теорема Коши (случай неодносвязной области). Интегральная формула Коши и условия ее применимости. Принцип максимума модуля функции комплексного переменного. Интеграл типа Коши. Теорема о бесконечной дифференцируемости аналитической функции; формула для производной n-ого порядка. Оценка Коши для производной n-ого порядка. Теорема о первообразной комплексной функции. Теорема Морера. Теорема Лиувилля о целой функции. Определение сходимости ряда комплексных функций. Определение равномерной сходимости ряда комплексных функций на множестве. Определение равномерной сходимости ряда комплексных функций внутри области. Первая теорема Вейерштрасса. Определение степенного ряда. Теорема о сходимости степенного ряда. Формулы для радиуса сходимости степенного ряда. Теорема о равномерной сходимости степенного ряда. Теорема Тейлора. Разложения основных элементарных функций в степенные ряды. Нуль комплексной функции; нуль n-ого порядка комплексной функции. Теорема единственности для аналитической функции. Определение ряда Лорана. Множество сходимости ряда Лорана. Теорема Лорана. Определение изолированной особой точки однозначной функции комплексного переменного. Определение устранимой особой точки. Теорема об устранимой особой точке. Определение полюса функции комплексного переменного. Определение полюса n-ого порядка функции комплексного переменного. Теорема о полюсе n-ого порядка функции комплексного переменного. Определение существенно особой точки. Утверждение о поведении комплексной функции в окрестности существенно особой точки. Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса. Классификация бесконечно удаленной точки. Определение вычета. Выражение вычета через коэффициент ряда Лорана (два случая). Две формулы для вычисления вычета в простом полюсе. Формулы для вычисления вычета в полюсе n-ого порядка. Теорема о полной сумме вычетов. Основная теорема теории вычетов (о вычислении контурных интегралов). Вычисление интегралов вида с помощью вычетов. Вычисление вещественных несобственных интегралов от рациональных функций с помощью вычетов. Лемма Жордана. Вычисление вещественных несобственных интегралов вида и с помощью вычетов.