Модель нелинейного дрейфа ионов в спектрометрии приращения ионной подвижности (стр. 3 )

Рис. 3 Цилиндрическое фазовое многообразие

Центральным понятием стробоскопического метода усреднения и основной характеристикой динамической системы является функция смещения ионов F(x0,UC0) = x(x0,UC0) – x0 за период разделяющего напряжения T, которая определяется с помощью интегрирования уравнения ( 3) на отрезке [0;T] (здесь использованы безразмерные величины: начальная координата частицы x0 и известная из теории динамических систем функция последования или отображение Пуанкаре x(x0,UC0), значение которого определяет координату в конце периода как функцию начальной координаты). Вид функции смещения при некотором значении UC0 изображен на Рис. 4(е). Интегрирование на отрезке [0;T], например численное, может быть проведено с гораздо более высокой точностью, чем в течение всего времени пребывания ионов в дрейф-камере. Приведенное выше определение функции смещения может быть использовано в качестве разностной аппроксимации дифференциального уравнения

,

( 4)

которое называется уравнением в медленном времени. Исследование уравнения ( 4) принципиально проще, чем уравнения ( 3), так как ( 4) является автономной динамической системой с одной степенью свободы, теория которых хорошо развита. Интегрирование ( 4) дает усредненные траектории y(x), которые являются плавными функциями, изображенными на Рис. 4(г). Введем основные понятия модели нелинейного дрейфа ионов.

Рис. 4 Построение ионного пика, функция смещения, усреднение.

Ионы, движущиеся через зазор дрейф-камеры, образуют ионный шнур. Ионный шнур – это область, содержащая в пренебрежении тепловой диффузией все ионы, находящиеся в данный момент в дрейф-камере, которая ограничена двумя коаксиальными аксиально-симметричными поверхностями, ось симметрии которых совпадает с осью дрейф-камеры. Внешняя и внутренняя поверхности шнура осциллируют с частотой разделяющего напряжения, причем внутренняя – с большей амплитудой, так как ионы, составляющие внутреннюю границу шнура, движутся в более сильном поле. Часть дрейф-камеры у входа называется областью формирования ионного шнура. Здесь существенная часть ионов гибнет на обкладках в течение первого полупериода разделяющего поля. В остальной части дрейф-камеры толщина шнура медленно меняется вследствие явлений фокусировки или дефокусировки: в случае фокусировки ионный шнур уменьшает свою толщину в направлении выходного сечения дрейф-камеры, в случае дефокусировки ионные траектории удаляются от неустойчивого положения равновесия, ионный шнур занимает весь объем дрейф-камеры, причем плотность ионов уменьшается в направлении выхода.

Траектории ионов в приближении постоянной подвижности k0, то есть в случае a(E) = 0, будут периодическими при UC = 0. Назовем множество траекторий x(t), по которым ионы могут двигаться, не сталкиваясь с обкладками дрейф-камеры, областью выживания. Она ограничена, очевидно, двумя периодическими траекториями xSD1(t) и xSD2(t), касающимися внутренней и внешней обкладки дрейф-камеры. Подчеркнем, что область выживания есть область в фазовом пространстве соответствующей динамической системы (см. Рис. 3). Назовем окном выживания отрезок радиальных координат [xSW1, xSW2], заключенный между двумя траекториями, ограничивающими область выживания, в начале каждого периода разделяющего поля (j = 0).

Сформулируем условие отбора для дрейф-камер с неоднородным разделяющим полем: необходимым условием прохождения ионов данного сорта через дрейф-камеру является наличие корня описывающей их функции смещения в окне выживания.

Если y* – корень функции F, то есть F(y*,UC0) = 0, то, y(x) = y * = const является решением уравнения ( 4), называемым положением равновесия. Система ( 3) при этом имеет периодическое решение x*(t) = x*(t+T), называемое предельным циклом.

Введем параметр h(UC0) = ¶F(y*,UC0)/¶y, который назовем интенсивностью фокусировки, знак которой определяет устойчивость положения равновесия, а величина характеризует поведение траекторий в окрестности предельного цикла (прямая на Рис. 4(е)).

Назовем траекторией предельного цикла в пространстве параметров динамической системы зависимость координаты положения равновесия усредненной системы от компенсирующего напряжения y*(UC0) (Рис. 4(б)), которая определяется как неявная функция уравнением F(y*(UC0),UC0) = 0.

Рассмотрим процедуру построения ионного пика на конкретном примере. Примем зависимость от времени разделяющего напряжения кусочно-постоянной US(t) = U0 f(t), где функция f(t) = {1, 0 £ t < t1; -t1/(1-t1), t1 £ t < 1}, t = t/T – безразмерное время, t1 – момент переключения полярности напряжения. Зависимость подвижности от величины напряженности электрического поля предположим полиномиальной простейшего вида k(E) = k0 (1 + b (E/E1)2), b – малый безразмерный коэффициент, характеризующий относительную величину отклонения подвижности от постоянного значения k0 в пределе слабого поля, E1 – величина напряженности поля, при которой подвижность существенно отличается от k0. Функция смещения, как показано в работе автора [2], имеет вид

( 5)

где b1 = b (E0/E1)2, E0 = U0 /(r2ln(r2 /r1)), c=2k0E0T/r2 и UC 0 = UC / U0, q = (1–2t1)/ (1–t1)2, r1, r2 – радиус внутренней и внешней обкладки дрейф-камеры, y = (r / r2)2 – безразмерная координата иона. Используем функцию смещения ( 5) в уравнении ( 4). Линеаризуя уравнение ( 4) в окрестности положения равновесия y*(UC0), а затем интегрируя полученное линейное уравнение, получим траектории усредненной системы

,

( 6)

где использованы выражения для траектории предельного цикла в пространстве параметров динамической системы и интенсивность фокусировки

.

( 7)

Интегральные кривые ( 6) линеаризованного уравнения ( 4) с правой частью ( 5) в случае устойчивого положения равновесия (h(UC0) < 0) изображены на Рис. 4(а) и (в).

На Рис. 4(а) положение равновесия y*(U3) находится внутри окна выживания. Траектории стремятся к y* и все частицы, попавшие в окно выживания, дают вклад в ионный ток на выходе. Как видно из ( 6) и Рис. 4(а) ширина L ионного шнура ограниченного жирными линиями экспоненциально убывает: L(x) = L0 exp{h(UC0)x}, где L0 – ширина ионного шнура на входе дрейф-камеры и h(UC0) < 0. Спектрометр работает при этом в режиме фокусировки. Очевидно, что при любом значении компенсирующего напряжения UC0 из интервала [U1;U2] ток на выходе спектрометра остается постоянным (Рис. 4(д)), так как все частицы, попавшие в окно выживания на входе дрейф-камеры, достигают выхода. Таким образом, режим фокусировки характеризуется наличием платообразного участка ионного пика.

На Рис. 4(в) положение равновесия y*(U4) находится вне окна выживания. Траектории по-прежнему стремятся к y*, но часть частиц достигают границы окна выживания и погибают на обкладке дрейф-камеры в результате рекомбинации. В результате при удалении положения равновесия от окна выживания все большая доля частиц не достигает выхода дрейф-камеры. Величина ионного тока убывает по сравнению со значением, соответствующим нахождению предельного цикла в окне выживания. При данном значении компенсирующего напряжения значение тока лежит на склоне ионного пика (Рис. 4(д)).

Аналогичным образом может быть получен вид пика в случае положительной интенсивности фокусировки (h(UC0) > 0), то есть режима дефокусировки. При этом из ( 6) видно, что траектории ионов экспоненциально удаляются от неустойчивого положения равновесия. Вследствие этого ток на выходе спектрометра уменьшается с увеличением времени нахождения ионов в дрейф-камере.

Заметим, что поведение ионных пиков при увеличении времени пребывания ионов в дрейф-камере (уменьшении расхода газа-носителя) в режиме фокусировки и дефокусировки качественно различается. Ионный пик в режиме фокусировки (соответствующий устойчивому предельному циклу) при уменьшении расхода всегда будет иметь плато, а склоны пика будут укручаться. В режиме дефокусировки ионный пик будет уменьшаться по величине вплоть до исчезновения, сохраняя свою форму.

Интересно отметить, что, например, в случае 0 < τ 1 < 0.5 для отрицательных ионов ( c < 0 ) явление фокусировки (устойчивый предельный цикл) наблюдается только при сублинейном ( b 1 < 0) характере подвижности, пик на ионограмме при этом находится в области положительных компенсирующих напряжений ( U C0 > 0 ).