Предел функции (стр. 1 )

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ»

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

методические указания

и индивидуальные задания

/с элементами программированного контроля/

к практическим занятиям

по математике

для студентов всех специальностей

института транспорта

очной формы обучения

Тюмень 2003

Утверждено редакционно-издательским советом

Тюменского государственного нефтегазового университета

Составитель: , ст. преподаватель

Редактор: , к. ф.–м. н., профессор

© государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Тюменский государственный нефтегазовый университет»

2003

ПРЕДИСЛОВИЕ

В методических указаниях представлены индивидуальные задания по теме “Предел функции”. Они могут быть использованы в качестве аудиторных контрольных работ с элементами программированного контроля или домашних заданий.

Предлагается 30 вариантов заданий. Каждый вариант содержит по 8 пределов, из которых первые 6 пределов надо решить, используя технику вычисления пределов, а остальные 2 – по правилу Лопиталя. Студент должен вычислить пределы и из данных предложенных ответов выбрать правильный. Для успешного выполнения работы в помощь студенту разобран 0 вариант.

Прежде, чем приступить к самостоятельному выполнению работы, необходимо изучить ряд вопросов, указанных ниже.

Вопросы для повторения.

1.  Определение предела функции.

2.  Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

3.  Теоремы о пределах и их следствия.

4.  Первый и второй замечательный пределы.

5.  Правило Лопиталя для вычисления пределов функций.

Вариант 0

Вычислить пределы	Варианты ответов
1.	1) + 2) 3) 1 4) 5)
2.	1) 2) – 3 3) 4) 3 5)
3.	1) 2) 3) 0 4) 3 5)
4.	1) 1 2) 8 3) 2 4) 0 5) 4
5.	1) 2 2) 3) 1 4) 0 5) – 2
6.	1) 6 2) 3) 4) 5)
7.	1) 1 2) 0 3) 4) 5)
8.	1) – 1 2) 3) 1 4) 0 5)

Решение: 1) Убедившись, что имеет место неопределенность , разделим числитель и знаменатель дроби на (наивысшая здесь степень ), получаем

.

Верный ответ № 4.

2) Имеем неопределенность вида . Разложим квадратный трехчлен в числителе на множители по формуле где x1 и x2 – корни квадратного уравнения Разложив на множители и знаменатель, сократим дробь на получим

Верный ответ № 1.

3) Пределы числителя и знаменателя при равны нулю. Умножив числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель и затем сократив дробь на получим

.

Верный ответ № 2.

4) Имеем неопределенность вида . Используя основное тригонометрическое тождество: , заменим числитель на и применяя первый замечательный предел: , получим:

Вообще, следует помнить, .

Верный ответ № 2.

5) При данная функция представляет собой разность двух бесконечно больших величин, т. е. имеем неопределенность Рассматривая данную функцию как дробную, со знаменателем, равным единице, избавимся от иррациональности в числителе, сведем предел к неопределенности вида и затем деля числитель и знаменатель дроби на получим:

Верный ответ № 1.

6) Имеем неопределенность вида , применяя второй замечательный предел: , вычислим данный предел:

.

Вообще, полезно помнить, что

Верный ответ № 4.

7) Имеем неопределенность , чтобы вычислить по правилу Лопиталя, преобразуем функцию к виду дроби, числитель и знаменатель которой одновременно стремятся к нулю или бесконечности. Приведя дроби к общему знаменателю, получим неопределенность вида и применяя правило Лопиталя дважды получим:

Верный ответ № 3.

8) Сначала преобразуем функцию к виду дроби, получим неопределенность вида и применяя правило Лопиталя, вычислим предел:

Верный ответ № 4.

Вариант 1

Вычислить пределы	Варианты ответов
1.	1) + 2) 5 3) 1 4) – 0,5 5) 0
2.	1) 2) – 3 3) 4) 3 5) 3,5
3.	1) 2) 3) 0 4) 3 5)
4.	1) 1 2) 3) 1,5 4) 0 5)
5.	1) 12 2) 3) 4) 5)
6.	1) 0 2) – 0,5 3) 1 4) 5) 0,5
7.	1) 1 2) 0 3) – 1 4) 2 5)
8.	1) – 1 2) 3) 1 4) 0 5)

Вариант 2