Нахождение плотности распределения вероятностей релейной следящей системы с гистерезисом путем решения уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова*
СБОРНИК НАУЧНЫХ ТРУДОВ НГТУ. – 2008. – № 4(54) – 17–24
УДК 519.218.1
НАХОЖДЕНИЕ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ РЕЛЕЙНОЙ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ
С ГИСТЕРЕЗИСОМ ПУТЕМ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
ФОККЕРА–ПЛАНКА–КОЛМОГОРОВА*
К.С. КИРЯКИН§
Путем численного решения уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова исследована релейная следящая система с гистерезисом, описываемая стохастическим дифференциальным уравнением. Для решения уравнения использован прямой метод Монте-Карло. Полученное численным путем решение в установившемся режиме сопостаавлено с известным стационарным аналитическим решением.
ВВЕДЕНИЕ
При анализе стохастических динамических систем важной задачей является нахождение плотности распределения вероятностей вектора состояний системы. Для нелинейных систем аналитически вычислить ее можно лишь в редких частных случаях, не охватывающих всего круга возникающих в реальности задач. Важным является частный случай линейного уравнения состояния системы. Тогда при нормальном распределении начального состояния плотность вектора состояний также будет нормальной. Но в некоторых случаях (мы увидим это здесь для рассматриваемой системы) истинное распределение нелинейной системы может отличаться от нормального и весьма значительно. В данной работе для вычисления плотности на примере релейной следящей системы с гистерезисом используется численное решение уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК), связанного с исходной моделью состояний, прямым методом Монте-Карло. Полученная плотность даёт представление о динамики системы, и ее можно использовать для вычисления, например для нахождения маргинальных распределений, математического ожидания, дисперсионной матрицы и других характеристик.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Приведем модель релейной следящей системы с гистерезисом в пространстве состояний, согласно [1, с. 163], которая может быть описана стохастическим дифференциальным уравнением вида
, t … 0, (1)
где функция 
может принимать только два значения
– постоянная времени; w(t) – стандартный белый гауссовский шум.
Будем считать, что начальное состояние 
имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 
и дисперсионной матрицей 
и не коррелирует с w(t) при любых значениях t.
Используя известные в теории марковских процессов соотношения, запишем уравнение ФПК для плотности распределения вероятностей 
случайного процесса 
:
. (2)
Здесь начальная плотность – нормальная с параметрами (,).
Необходимо найти плотность распределения вероятностей вектора состояний модели (1). Для этого решим уравнение ФПК. Используемый в данной работе метод решения описан ниже.
Если Вы желаете скачать полную версию статьи, пройдите регистрацию на сайте http://sbornik.infoterra.ru/reg.php
* Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ (код проекта РНП.2.1.2.43)
§ Магистр прикладной математики, аспирант кафедры вычислительных технологий
