Лабораторная работа № 4 Моделирование электростатического поля коаксиального кабеля

ФГБОУ ВПО

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

PIS_21

mpei_1

КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ОСНОВ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

Лабораторная работа № 4

Моделирование электростатического поля коаксиального кабеля

Выполнил:
Группа:
Проверил:

Москва 2012

Цель работы - исследование электростатического поля коаксиального кабеля методами физического и математического (компьютерного) моделирования, сравнение результатов физического и компьютерного моделирования с результатами расчета поля по аналитическим выражениям.

Ключевые слова: коаксиальный кабель; электростатическое поле; напряженность; потенциал; емкость; физическая модель; компьютерная модель.

Объект и задача моделирования

Объект исследования - электростатическое поле (далее - поле) коаксиального кабеля - устройства, состоящего из соосных токопроводящих жилы с радиусом r1 и оболочки с внутренним радиусом r2 , а также изоляции между ними с диэлектрической проницаемостью ε=εrε0 (εr - относительная диэлектрическая проницаемость изоляции,Ф/м) (рис.1). Поле кабеля полагается плоскопараллельным, т.е. имеющим одинаковую картину во всех ортогональных оси кабеля сечениях (рис.2), при этом, линии напряженности лежат в плоскостях этих сечений. В работе также исследуется влияние на параметры поля смещения оси жилы относительно оси оболочки кабеля.

Рис.1

Задача моделирования. Под задачей физического моделирования в данной работе понимается, во-первых, создание такого искусственного физического объекта – модели кабеля, процессы в котором имеют другую физическую природу, а математически подчиняются тем же закономерностям, что и процессы в реальном кабеле, но их исследование не вызывает сложностей. И, во-вторых, проведение экспериментального исследования модели с переносом его результатов на объект моделирования.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Рис. 2.

Теоретическая справка.

Аналитическое описание поля коаксиального кабеля. Напряженность поля внутри токопроводящих жилы и оболочки равна нулю, а модуль напряженности поля в некоторой точке А изоляции кабеля, находящейся на расстоянии r от его оси обратно пропорционален этому расстоянию (рис.2)

[В/м] (1)

Q - заряд жилы кабеля, а τ = Q/l – линейная плотность этого заряда. При положительном заряде Q линии напряженности направлены от оси кабеля к его жиле (рис.2), потенциал точки А относительно оболочки кабеля

[В] (2)

Отсюда следует, что линии равного потенциала (эквипотенциали) в поперечном сечении кабеля представляют собой концентрические окружности (рис.2).

Потенциал жилы относительно оболочки (напряжение кабеля) согласно выражению (2)

(3)

Напряженность поля внутри токопроводящих жилы и оболочки

E = –grad φ = 0.

Из выражения (3) следует, что заряд Q и его плотность τ пропорциональны напряжению кабеля

Q = CU, τ = C0U, (4)

где С – емкость, а C0 = С / l – емкость единицы длины кабеля

[Ф], [Ф/м]. (5)

Т.о., если известно напряжение U кабеля (рис.3), то выражения напряженности и потенциала (1) , (2) могут быть представлены в виде

Рис. 3

Из выражения (6) следует, что максимальное значение напряженности поля кабеля достигается на поверхности его жилы, когда r = r1. Тогда по максимально допустимому для данной изоляции кабеля значению напряженности Едоп можно определить и максимально допустимое напряжение кабеля

. (8)

Влияние смещения жилы кабеля на параметры поля. Поскольку при производстве и эксплуатации кабеля возможно смещение осей жилы и оболочки кабеля, представляет интерес оценка влияния смещения оси жилы относительно оси оболочки d на параметры поля (рис.4)

Рис.4

Поле в изоляции кабеля совпадает с соответствующим фрагментом поля двух электрических осей с координатами (–а,0), (а,0) и линейными плотностями зарядов +τ, – τ.

. (9)

Эквипотенциальные линии такого поля - окружности с центрами на оси х. Так, через каждую точку А(x,y), расположенную на расстояниях rА+ и rА- до левой и правой электрических осей (рис.4) проходит окружность равного потенциала

(10)

с центром в точке с координатами

(11)

и радиусом

(12)

где k = rА-/rА+. По рис.4 можно получить

Подставляя эти выражения в (10) получаем формулу для расчета потенциала в произвольной точке с координатами (x, y).

С помощью полученной формулы можно рассчитать составляющие вектора напряженности Е по осям х и у в любой точке

Напряженность поля изоляции на оси х в точке с координатами (х,0)определяется как

(13)

В точке Р напряженность достигает максимального значения Emax. Если положить, что это значение равно максимальному допустимому значению напряженности Emax=Едоп, то по нему можно рассчитать максимально допустимую плотность заряда и, далее, максимально допустимое напряжение кабеля , где

. (14)

Физическая аналоговая модель кабеля. В связи с тем, что измерение параметров поля реального кабеля путем внесения датчиков внутрь его твердой изоляции, во-первых, проблематично и, во-вторых, заведомо нарушит картину поля, целесообразно физическое исследование поля кабеля провести на его аналоговой модели.

При выборе физической модели для исследования плоскопараллельного поля кабеля необходимо учитывать два обстоятельства. Первое, выражения (5), (7) зависят не от значений r1, r2, r а от соотношений r2/r1 и r2/r, поэтому размеры модели r'1, r'2, r' могут быть отличными от размеров r1, r2, r кабеля и наиболее удобными для измерений потенциалов поля. Важно лишь сохранить отношение r'2/r'1 = r2/r1 и r'2/r' = r2/ r. Второе, исследовать плоскую физическую модель сечения кабеля с диэлектрической средой проблематично, иное дело исследовать плоскую модель с проводящей средой (электролитом, проводящей бумагой). Подобной моделью можно воспользоваться, так как имеет место аналогия между электростатическим полем и электрическим полем постоянных токов в проводящей среде. Уравнения этих полей (табл. 1) совпадают с точностью до замены параметров (табл.2)

Таблица 1

Уравнения электростатического поля	Уравнения электрического поля постоянных токов
E = –grad φ	E = –grad φ

Таблица 2

Электростатическое поле	Поле постоянных токов
Напряженность Е	Напряженность Е
Потенциал φ	Потенциал φ
Диэлектрическая проницаемость ε	Удельная проводимость γ
Заряд Q	Ток I
Линейная плотность заряда τ	Ток на единицу длины I0
Емкость С	Проводимость G
Погонная емкость С0	Погонная проводимость G0

Так, если емкость кабеля описывается выражением

, (15)

то проводимости G и G0 его аналоговой модели (рис. 5) – выражением

. (16)

В лабораторной аналоговой модели l=dбум, где dбум – толщина бумаги, меняющаяся в зависимости от условий и времени её хранения

. (16’)

Удельная проводимость бумаги γ меняется со временем, т.к. зависит от температуры, влажности, давления. Поэтому входящую в (16’) проводимость бум необходимо определить в ходе эксперимента. Это можно сделать, например, измерив омметром сопротивление утечки Rут=1/G в аналоговой модели и найдя бум из (16’). Кстати, бум - это проводимость между противоположными сторонами квадратного проводящего листа, не зависящая от размера стороны квадрата. По известной толщине бумаги dбум, можно рассчитать значение γ.

При моделировании для упрощения можно считать, что γdбум численно равна удельной объемной проводимости γэ некого проводящего вещества, то есть γdбум= γэ·(1м), (dбум – в метрах). Тогда I и G модели численно равны соответственно I0 и G0 кабеля с проводящей изоляцией с удельной объемной проводимостью γэ. Иными словами говоря, физическая модель на проводящей бумаге является дважды моделью: моделью 1 метра кабеля с несовершенной изоляцией и моделью кабеля с совершенной (идеальной) изоляцией. Таким образом достаточно измерить I = I0, чтобы определить G0

Рис.5

Экспериментальное исследование созданной аналоговой модели не представляет особых сложностей, поскольку измерение потенциалов на проводящей бумаге осуществляется достаточно просто. Пересчет же данных результатов этого исследования на данные поля объекта - оригинала с учетом таблиц 1, 2 элементарен

. (17)

Математическое компьютерное моделирование поля кабеля предполагает замену реального объекта - математической моделью, в нашем случае системой дифференциально-алгебраических уравнений, описывающих это поле. Для унификации процедуры составления и численной обработки подобных уравнений используется компьютерное моделирование. В лабораторной работе оно выполняется с помощью учебной версии универсальной программы расчета электромагнитных полей ELCUT. Алгоритм расчета плоскопараллельного поля в этой программе связан с заменой моделируемой поверхности некоторой сеткой, а дифференциальных уравнений среды - разностными алгебраическими уравнениями для узлов этой сетки.

Компьютерное моделирование включает следующие этапы:

1. Ввод данных об объекте моделирования (характер поля, геометрия - форма и размеры объекта, электрические свойства среды, граничные условия)

2. Формирование и расчет математической модели.

3. Визуализация картины поля и вывод искомых его параметров.

Примечание: В учебной версии программы ELCUT используется ограничение числа узлов сетки снижающее точность компьютерного расчета и несколько искажающее картину поля.

Параметры исследуемого кабеля

В работе исследуется высоковольтный кабель с геометрическими размерами r1=3 мм, r2=15,75 мм (отношение r2/r1=5,25), диэлектрическая проницаемость изоляции которого ε=εrε0, а также смещение осей жилы и оболочки d, допустимая напряженность поля Едоп и рабочее напряжение кабеля U выбираются по табл.3 в зависимости от варианта (номер бригады).

Таблица 3

№ варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
εr	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9	2,0	2,1	2,2	2,3	2,4	2,5
d, мм	2	3	4	5	6	2	3	4	5	6	2	3
Едоп, кВ/см	30	35	40	50	60	65	70	80	85	90	95	100
U, кВ	1	3	6	1	3	6	1	3	6	1	3	6

Параметры аналоговой модели

Геометрические размеры модели r’1=3 cм, r’2=15,75 cм. (коэффициент геометрического подобия модели и оригинала =).

№

бригады

d, см

εr

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2,0

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

ПОДГОТОВКА К РАБОТЕ

I. Расчет коаксиального кабеля

1. Рассчитать емкость С0 для своего варианта (см. табл.3).

2. Определить напряженность поля в точках M, N, P, Q (рис.2) и качественно построить график изменения напряженности поля вдоль оси х кабеля.

3. Рассчитать максимально допустимое напряжение кабеля Umax для допустимого значения напряженности Едоп (см. табл.3).

II. Расчет кабеля, со смещенной жилой.

1. Определить координаты электрических осей при смещении жилы кабеля на расстояние d в право по оси х. Рассчитать емкость С0 для своего варианта.

2. Рассчитать напряженность поля в точках M, N, P, Q при заданном напряжении U (см. табл. 3) и качественно построить график изменения напряженности поля вдоль оси х кабеля.

3. Рассчитать максимально допустимое напряжение кабеля Umax для допустимого значения напряженности Едоп.

4. Сравнить результаты пп. 2 и 3 расчетов коаксиального и некоаксиального кабеля.

Примечание: данные для расчета берутся с учетом номера варианта (№ бригады) по табл. 3.

Вопросы для допуска студентов к работе.

1. Каковы цели и методы исследования? Почему исследование поля проводится на моделях, а не на реальных объектах?

2. Какова последовательность выполнения лабораторной работы?

3. В чем состоит аналогия электростатического поля и электрического поля постоянных токов и каковы уравнения связи параметров этих полей?

4. Как на основе данных физического эксперимента определяется емкость кабеля?

5. Какие данные об объекте моделирования необходимы для компьютерного моделирования? Чем ограничивается точность моделирования поля при использовании учебной версии программы расчета полей.

6. Качественно изобразить картину поля (силовые линии и эквипотенциали) для кабеля со смещенной жилой.

РАБОЧЕЕ ЗАДАНИЕ

Физическое моделирование.

Коаксиальный кабель.

1. Установить на резиновом коврике с проводящей бумагой электроды (модель оболочки и жилы кабеля), собрать цепь, показанную на рис.6. В качестве источника взять регулируемый источник постоянного напряжения из блока МОДУЛЬ ПИТАНИЯ UZ4, в качестве Rизм взять резистор 1 Ом из модуля РЕЗИСТОРЫ И РЕАКТИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ.

Измерить сопротивление резистора с помощью мультиметра в режиме измерения сопротивления. В дальнейшем в расчетах использовать измеренное значение сопротивления Rизм.

2. С помощью мультиметра в режиме измерения сопротивления измерить сопротивление между установленными электродами Rут, при выключенном источнике питания. Рассчитать проводимость модели G =1/Rут.

Рис.6

3. Включить источник UZ4. С помощью мультиметра в режиме измерения постоянного напряжения установить напряжение U=10 В между электродами. Определить ток I в схеме, по результатам измерения напряжения на измерительном резисторе Rизм. Найти проводимость G =I/U. Сравнить полученное значение проводимости со значением рассчитанным в п.2 Рабочего задания.

4. Рассчитать проводимость бумаги γdбум = γэ·(1м) из формулы (16’). Рассчитать емкость С0 по формуле (17), при этом принять G0 численно равной G. Сравнить полученный результат с результатом расчета С0 в п.I.1 Подготовки к работе.

5. Используя измерительный вывод мультиметра в качестве «щупа», снять необходимое число точек для построения четырех эквипотенциалей и построить эти линии, соединив точки соответствующих эквипотенциалей.

6. Провести необходимые измерения для определения напряженности поля в точках M, N, P и Q и рассчитать эту напряженность по формуле

, где - отношение напряжений (U’/U), - отношение линейных размеров объекта моделирования и модели, U’ - рабочее напряжение кабеля из табл.3. Сравнить полученные значения напряженностей со значениями напряженностей, рассчитанными в п.I.2 Подготовки к работе.

Кабель со смещенной жилой

7. Определить проводимость модели G двумя способами (см. пп. 2, 3 Рабочего задания). Сравнить полученные значения.

8. Рассчитать емкости С0 (см. п.4 Рабочего задания) и сравнить полученный результат с результатом расчета п.II.1.

9. Провести необходимые измерения и рассчитать напряженности поля в точках M, N, P и Q, сравнить полученные результаты с результатами расчета п.II.2.

10. Получить необходимые экспериментальные данные для построения эквипотенциалей и построить эти линии.

Компьютерное моделирование

Коаксиальный кабель

По заданному напряжению U, диэлектрической проницаемости ε=εrε0 и геометрическим размерам r1, r2 коаксиального кабеля построить картину поля.

Кабель со смещенной жилой

Осуществить моделирование поля и расчет емкости кабеля по аналогии с п. 1 предыдущего случая - кабеля без смещения жилы.

Методические указания к компьютерному моделированию

Создать на рабочем столе папку, с названием соответствующем номеру Вашей учебной группы. В дальнейшем все выполняемые на компьютере задания рекомендуется сохранять в этой папке. Открыть программу ELCUT Студенческий двойным щелчком мыши по ярлыку программы на рабочем столе

Создать новый файл командой Файл/Создать/Задача ELCUT или двойным щелчком по пиктограмме

Задать имя новой задачи, в дальнейшем присваивать это же имя всем файлам в рамках одной задачи. Нажать клавишу Обзор и указать путь к созданной Вами папке. Задать характер исследуемого поля – электростатическое, класс модели – плоская, расчет – обычный, единицы длины – сантиметры, система координат – декартовы координаты. Приступить к построению геометрической модели поля коаксиального кабеля при помощи команды Файл/Создать/Геометрическая модель. Задать геометрию окружностей оболочки и жилы кабеля. Задать 4 вершины на диаметрах жилы и оболочки - точки M,N,P,Q с помощью пиктограммы

(Вставка вершин/ребер). Выбрать команду Добавить вершины щелчком правой клавиши мыши по рабочему полю. Задать координаты 4 вершин х=-R1, y=0; х=R1, y=0; х=-R2, y=0; х=R2, y=0 (вводить уточненные, измеренные в лаборатории, размеры модели). Изменить масштаб, чтобы на экране были видны все 4 точки. Выбрать в верхней командной строке команду Половина круга, соединить точки на диаметрах окружностей, не отпуская клавишу мыши, при этом должна быть активна пиктограмма

. Описать построенную модель с помощью меток при помощи пиктограммы

. Выделение объекта производится двойным щелчком по объекту. Присвоить метку 1 – жиле кабеля (метка 1 присваивается и верхней и нижней частям окружности), метку 2 – диэлектрику между жилой и оболочкой кабеля, метку 3 – оболочке кабеля (метка 3 присваивается и верхней и нижней частям окружности). В левом окне раскрыть строку Физические свойства, щелкнуть правой клавишей мыши по строке Метки блоков, выбрать команду Создать метку. Создать метку 2. Аналогично ввести метки ребер - 1 и 3. Описать свойства блока 2, двойным щелчком по метке 2 раскрыть диалоговое окно. Задать диэлектрическую проницаемость – εr. Описать свойства ребер - жилы (U=10B) и оболочки (U=0B). Построить расчетную сетку. Щелкнуть правой клавишей мыши по блоку 2 на геометрической модели, выбрать команду Сетка привязки. Выбрать шаг 0,01 м. Построить сетку щелчком по пиктограмме

Сохранить задачи командой Файл/Сохранить как присвоив ему имя заданное в п. 3. Решить задачу командой Задача/Решить. В качестве результатов расчета вывести картину поля с нанесенными векторами напряженности, цветную картину поля с указанием цветовой шкалы. Для этого щелкнуть правой клавишей мыши по области решения задачи, выбрать опцию картина поля. Определить значения напряженностей в точка M, N, P, Q, для этого щелкнуть правой клавишей мыши по полю решения задачи, выбрать команду локальные значения, указать поочередно точки, выписать значения напряженностей, сравнить со значениями, полученными в результате физического моделирования. Самостоятельно смоделировать кабель со смещенной жилой.

Протокол измерений

№ опыта	Коаксиальный кабель
1	Сопротивление измерительного резистора Rизм =________ Ом
2	Rут=_____________Ом	G =1/Rут=___________________См
3	U, В	URизм, В	I= URизм/Rизм, А	=I/U, [См]	, [Ф/м]
10 В
теор = __________ Ф/м.
6



	Кабель со смещенной жилой d=_______м
7	Rут=_____________Ом	G =1/Rут=___________________См
U, В	URизм, В	I= URизм/Rизм, А	=I/U, [См]	, [Ф/м]
10 В
теор = __________ Ф/м.
9