Тема: Системы счисления и двоичное представление информации в памяти компьютера (стр. 1 )

 

Тема: Системы счисления и двоичное представление информации в памяти компьютера.

Что нужно знать:

·    перевод чисел между десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления (см. презентацию «Системы счисления»)

Полезно помнить, что в двоичной системе: ·    четные числа оканчиваются на 0, нечетные – на 1; ·    числа, которые делятся на 4, оканчиваются на 00, и т.д.; числа, которые делятся на 2k, оканчиваются на k нулей ·    если число N принадлежит интервалу 2k-1 £ N < 2k, в его двоичной записи будет всего k цифр, например, для числа 125: 26 = 64 £ 125 < 128 = 27, 125 = 11111012 (7 цифр) ·    числа вида 2k записываются в двоичной системе как единица и k нулей, например: 16 = 24 = 100002 ·    числа вида 2k-1 записываются в двоичной системе k единиц, например: 15 = 24-1 = 11112 ·    если известна двоичная запись числа N, то двоичную запись числа 2·N можно легко получить, приписав в конец ноль, например: 15 = 11112, 30 = 111102, 60 = 1111002, 120 = 11110002

·    желательно выучить наизусть таблицу двоичного представления чисел 0-7 в виде триад (групп из 3-х битов):

X10, X8	X­2		X10, X8	X­2
0	000		4	100
1	001		5	101
2	010		6	110
3	011		7	111

и таблицу двоичного представления чисел 0-15 (в шестнадцатеричной системе – 0-F16) в виде тетрад (групп из 4-х битов):

X10	X­2		X10	X­16	X­2
0	0000		8	8	1000
1	0001		9	9	1001
2	0010		10	A	1010
3	0011		11	B	1011
4	0100		12	C	1100
5	0101		13	D	1101
6	0110		14	E	1110
7	0111		15	F	1111

·    отрицательные целые числа хранятся в памяти в двоичном дополнительном коде (подробнее см. презентацию «Компьютер изнутри»)

·    для перевода отрицательного числа (-a) в двоичный дополнительный код нужно сделать следующие операции:

o        перевести число a-1 в двоичную систему счисления;

o        сделать инверсию битов: заменить все нули на единицы и единицы на нули в пределах разрядной сетки (см. пример Р-00 далее).

 

Что нужно знать:

·    принципы кодирования чисел в позиционных системах счисления

·    чтобы перевести число, скажем, 12345N, из системы счисления с основанием  в десятичную систему, нужно умножить значение каждой цифры на  в степени, равной ее разряду:

4 3 2 1 0 ← разряды

1 2 3 4 5N = 1·N4 + 2·N3 + 3·N2 + 4·N1 + 5·N0

·    последняя цифра записи числа в системе счисления с основанием  – это остаток от деления этого числа на

·    две последние цифры – это остаток от деления на , и т.д.

·    число 10N записывается как единица и N нулей:

·    число 10N-1 записывается как N девяток:

·    число 10N-10M = 10M · (10N-M – 1) записывается как N-M девяток, за которыми стоят M нулей:

·    число 2N в двоичной системе записывается как единица и N нулей:

·    число 2N-1 в двоичной системе записывается как N единиц:

·    число 2N–2K при K < N в двоичной системе записывается как N–K единиц и K нулей:

·    поскольку , получаем , откуда следует, что

·    число 3N записывается в троичной системе как единица и N нулей:

·    число 3N-1 записывается в троичной системе как N двоек:

·    число 3N – 3M = 3M · (3N-M – 1) записывается в троичной системе как N-M двоек, за которыми стоят M нулей:

·    можно сделать аналогичные выводы для любой системы счисления с основанием a:

o   число aN в системе счисления с основанием a записывается как единица и N нулей:

o   число aN-1 в системе счисления с основанием a записывается как N старших цифр этой системы счисления, то есть, цифр (a-1):

o   число aN – aM = aM · (aN-M – 1) записывается в системе счисления с основанием a как N-M старших цифр этой системы счисления, за которыми стоят M нулей:

Пример задания:

Р-06. Сколько единиц в двоичной записи восьмеричного числа 17318?

Решение:

1)      для решения достаточно знать двоичные коды чисел от 1 до 7, поскольку для перевода восьмеричного числа в двоичную систему можно достаточно каждую цифру отдельно записать в виде тройки двоичных (триады):

2)      17318 = 001 111 011 0012

3)      в этой записи 7 единиц

4)      Ответ: 7

Ещё пример задания:

Р-05. Укажите наименьшее четырёхзначное восьмеричное число, двоичная запись которого содержит 5 единиц. В ответе запишите только само восьмеричное число, основание системы счисления указывать не нужно.

Решение:

5)      вообще, минимальное двоичное число, содержащее 5 единиц – это 111112, но в восьмеричной системе оно записывается как 37 – двухзначное число

6)      минимальное четырёхзначное восьмеричное число – 10008 = 1 000 000 0002, для решения задачи в конце этого числа нужно заменить четыре нуля на единицы:

1 000 001 1112 = 10178

7)      Ответ: 1017

Ещё пример задания:

Р-04. Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 519?

Решение:

8)      проще всего представить заданное число в виде суммы степеней числа 2:

519 = 512 + 7 = 29 + 4 + 3 = 29 + 22 + 2 + 1 = 29 + 22 + 21 + 20