Линейчатые и развертывающиеся поверхности

 

 

Линейчатые и развертывающиеся поверхности

 

Уравнение поверхности, образующей которой является прямая линия можно записать в виде

. (2.1)

 - векторное уравнение направляющей кривой; - единичный вектор, задающий направление образующей прямой линейчатой поверхности.

Дифференцируя уравнение поверхности, имеем

;  ;

; ; . (2)

Формулы  получим, положив , . Учитывая далее, что , получаем коэффициенты  и коэффициенты квадратичных форм, используя общие формулы дифференциальной геометрии:

; ; ;

; ; ;

;

;

;

Т41 = 0; ; ; Т51 = Т52 = Т53 = 0; (3)

А. Коэффициенты 1-й квадратичной формы:

;

G = 1; ; (4)

Б. Дискриминант поверхности

. (5)

В. Вектор единичной нормали к поверхности

. (6)

Г. Коэффициенты 2-й квадратичной формы

; ;

; (7)

Так как коэффициент второй квадратичной формы , то условие М = 0. является признаком того, что образующие прямые линии линейчатой поверхности являются линиями главных кривизн, а сама поверхность является развертывающейся. Это подтверждает известный в дифференциальной геометрии факт, что образующие прямые линии являются сопряженными произвольной координатной сети развертывающийся поверхности.

Таким образом, условием образования развертывающейся (торсовой) поверхности является соотношение

. (8)

Из соотношения (8) следуют два очевидных способа образования развертывающейся поверхности:

а/. Образующие линии линейчатой поверхности являются касательными к пространственной направляющая кривой. Тогда ,  и условие (8) выполняется. Пространственная направляющая, образованной таким способом развертывающейся поверхности, называется ребром возврата. Очевидно, направление векторов  в нормальной плоскости направляющей кривой не влияет на характер поверхности. Принимаем , . Тогда, получим

; ;

; ; ;

; ; ; ; ;

; ; ;

Т41 = 0; ; ; Т51 = Т52 = Т53 = 0; (9)

А. Коэффициенты первой квадратичной формы

; ; ; . (10)

B. Коэффициенты второй квадратичной формы

; . (11)

Координатная сеть не является ортогональной. Координатные линии пересекаются под угол j

. (12)

Если направляющей линией является плоская кривая, то получаемая поверхность будет плоскостью.

б/. Образующие прямые лежат в нормальной плоскости направляющей кривой - , .

При движении вдоль направляющей кривой вектор  вращается в нормальной плоскости направляющей кривой

; ;

;

;

; ;

; ; ;

; ; ;

;

;

;

Т41 = 0; ; ; Т51 = Т52 = Т53 = 0; (13)

Если направляющая - плоская кривая, c=0 и

; ;

; ; (14)

Если для нормальной линейчатой поверхности принять ; , получается резная поверхность с образующей прямой линией. Тогда

; ; ; ; ; ;

.

И в соответствии с формулами (4)-( 7) получим коэффициенты квадратичных форм:

; ; ; (12)

; ; ; ;

Главные кривизны:

; . (13)

Таким образом, если образующая прямая при движении в нормальной плоскости направляющей кривой составляет с ее нормалью переменный угол , то координатная сеть поверхности является линиями главных кривизн поверхности.

Если направляющая кривая - плоская, то поверхность образуется движением прямой, которая находится в нормальной плоскости направляющей линии и составляет с плоскостью направляющей кривой постоянный угол  - торсовые поверхности одинакового ската.

Если направляющей кривой является окружность, получаем круговой конус.

Если, для плоской кривой принимаем , получаем цилиндрическую поверхность.

Если, при направляющей плоской кривой, угол  или , то образующая прямая лежит в плоскости направляющей линии, т.е. развертывающаяся поверхность вырождается в плоскость. Этот тривиальный случай позволяет, однако, построить ортогональную криволинейную систему координат на плоскости. Одна система координатных линий описывается кривыми, конгруэнтными с направляющей линией, а другая состоит из ортогональных ей прямых линий. Систему кривых с общими нормалями называют эквидистантными кривыми, или кривыми Бертрана. Получаемую при этом систему координат можно назвать квазиполярной системой координат.

На рис. 1. представлены некоторые виды линейчатых поверхностей.

 

 

 

На рис. 1,а-г нормальные линейчатые поверхности, образованные прямой, вращающейся в нормальной плоскости направляющей кривой (q= t×u, q - угол образованный прямой с нормалью направляющей линией):

а – направляющая прямая (прямой геликоид) (0 £ и £ 2p, 0 £ v £ 1, t=1);

б – направляющая - парабола х = и,  (-1 £ и £ 1, 0 £ v £ 1, t = p);

в – направляющая - эллипс ;  (0 £ и £ 2p, -1 £ v £ 1, t=2);

г – направляющая – эвольвента круга ,  (p/2 £ и £ 4p, -1 £ v £ 2, t = 1).

На рис.1, д-з представлены торсовые поверхности одинакового ската:

д – направляющая – гипербола ; ,

(-1.5 £ и £ 1.5, 0 £ v £ 4, );

е – направляющая – циклоида , ,

(0£ и £ 2p, 0 £ v £ 4,  );

 

ж – направляющая – эвольвента круга ,

, (p/2 £ и £ 4p, 0 £ v £ 4, );

з – направляющая – эллипс , ;

(0 £ и £ 2p, 0 £ v £ 4, );

На рис 1, и- л представлены торсовые поверхности, образованные прямыми, касательными к пространственной кривой:

и – направляющая - винтовая линия , , ,

(0 £ и £ 4p, 0 £ v £ 4, а =1, b = 1);

л – направляющая – коническая спираль , ,

, (0 £ и £ 4p, 0 £ v £ 4, р = 0,1);

л – направляющая – сферическая локсодрома – ,

(-3p £ и £ 3p, 0 £ v £ 4, а =5, р = 0,158); а радиус опорной сферы.

Сферические кривые – кривые расположенные на поверхности сферы определяются уравнением , , , а – радиус опорной сферы. Тип сферической кривой определяется функцией . Сферическая локсодрома – кривая на сфере, пересекающая меридианы сферы под постоянным углом Теория сферических кривых и поверхностей на опорной сфере приведена в приложении.

На рис. 1,м-о  представлены линейчатые поверхности, образованные нормалями сферического синуса , d = 0,1; c = 0,1, p=5. (0 £ и £ 2p, 0 £ v £ 1,2,);

м – нормаль совпадает с нормалью сферы;

н – нормаль в горизонтальной плоскости;

о – нормаль в вертикальной касательной плоскости сферической кривой.

На рис 1. л – о для наглядности представлены совместно с опорной сферой, на которой лежит сферическая направляющая кривая.