Лабораторный практикум по дисциплине Численные методы

 

ГОУ СПО «Педколледж г. Орска»

 

Лабораторный практикум по дисциплине

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Специальность 050202 Информатика

3 курс, 6 семестр

 

Преподаватель:

 

2011

 

БОРАТОРНАЯ РАБОТА №1

Тема: Прямая и обратная задача теории погрешностей.

Цель: научиться применять формулы для вычисления предельной абсолютной/относительной погрешности приближенного числа (производить вычисления с наперед заданной точностью).

Содержание работы по вариантам:

№ вариа-нта	Содержание задания	Пояснения
1	Объем цилиндра вычисляют по формуле . В результате измерений были получены следующие данные: см; см. Вычислить объем цилиндра, определить предельную абсолютную и относительную погрешности вычислений.
2	Период колебаний математического маятника вычисляют по формуле . В результате измерений было получено следующее значение длины: см. Вычислить период колебаний математического маятника, определить предельную абсолютную и относительную погрешности вычислений.	см/сек2
3	Объем куба вычисляют по формуле , где а – длина ребра. В результате вычислений было получено следующее значение объема см3. С какой точностью можно вычислить длину ребра (указать предельную относительную и абсолютную погрешности)?
4	Полную поверхность усеченного конуса вычисляют по формуле , где l – образующая, R – радиус большего основания, r – радиус меньшего основания (см. рис.). С какой точностью можно вычислить , если  см,  см,  см (указать предельную относительную и абсолютную погрешности)?
5	Даны некоторые физические и астрономические постоянные: расстояние до звезды «Сириус» = км; масса Солнца =  кг; скорость света (в вакууме) = м/сек; кратчайшее расстояние от Земли до Марса (во время великого противостояния 1971 г.) = км; заряд электрона = Кл; масса электрона = г. Оценить абсолютную и относительную погрешности этих приближенных чисел.	Предельная абсолютная погрешность числа, записанного в форме с плавающей запятой (), равна произведению предельной абсолютной погрешности числа на . Напр., если , то
6	Даны приближенные числа: ; ; ; . Вычислить . Определить предельную абсолютную и относительную погрешности вычислений.	При вычислениях учитывать правила верных цифр
7	Даны приближенные записи некоторых чисел: ; ; ; ; ; . Для каждого из приближенных значений найти предельные абсолютную и относительную погрешности вычислений.	Все цифры в записи числа верные; для удобства некоторые числа можно переписать в форме с плавающей запятой
8	Объем конуса вычисляют по формуле . В результате измерения получено приближенное значение радиуса основания и высоты конуса:  см;  см. Вычислить объем конуса, оценить предельную абсолютную и относительную погрешности вычислений.
9	Вычислить значение . Значения корней взять с тремя верными десятичными знаками. Оценить относительную погрешность вычислений.
10	Скорость свободного падения тела определяется по формуле , где h – высота падения, а g – ускорение свободного падения тела. В результате вычислений было получено следующее значение м/сек. Определить высоту, с которой падало тело. Указать предельную относительную и абсолютную погрешности вычислений.	м/сек2

 

Порядок выполнения работы:

1.  записать исходные данные;

2.  определить абсолютную (относительную) погрешность заданных величин;

3.  по найденной абсолютной (относительной) погрешности вычислить относительную (абсолютную) погрешность заданных величин;

4.  вычислить значение требуемой величины;

5.  вычислить предельную абсолютную и относительную погрешности;

6.  сделать вывод о степени точности исходных расчетных данных.

 

Контрольные вопросы:

1.  Перечислите основные источники погрешностей.

2.  Каким образом классифицируются погрешности в зависимости от их источников?

3.  Какие способы записи приближенного значения некоторого точного числа вы знаете?

4.  Какие цифры в приближенной записи числа называются значащими?

5.  Какие цифры в приближенной записи числа называются верными?

6.  Какие цифры в приближенной записи числа называются сомнительными?

7.  Абсолютная погрешность.

8.  Относительная погрешность.

9.  Какой формулой выражается связь абсолютной и относительной погрешностей.

10.    Каким образом определяется предельная абсолютная погрешность суммы/разности приближенных значений?

11.    Каким образом определяется предельная относительная погрешность произведения/частного приближенных значений?

12.    Каким образом определяется предельная относительная погрешность корня из приближенного числа?

13.    Каким образом определяется предельная относительная погрешность степени приближенного числа?

14.    В чем заключается прямая задача теории погрешностей?

15.    В чем заключается обратная задача теории погрешностей? Что означает «произвести вычисления с заданной степенью точности»?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2

Тема: Точные и приближенные методы решения систем линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса/методом простой итерации.

Цель: научиться решать системы линейных уравнений методом Гаусса/методом простой итерации с учетом условий применимости указанных методов

Содержание работы по вариантам:

№ вариа-нта	Содержание задания	Метод решения
1		Решить систему линейных уравнений методом простой итерации
2		Решить систему линейных уравнений методом Гаусса
3		Решить систему линейных уравнений методом простой итерации
4		Решить систему линейных уравнений методом Гаусса
5		Решить систему линейных уравнений методом простой итерации
6		Решить систему линейных уравнений методом Гаусса
7		Решить систему линейных уравнений методом простой итерации
8		Решить систему линейных уравнений методом Гаусса
9		Решить систему линейных уравнений методом простой итерации
10		Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

 

 

Порядок выполнения работы (для решения системы методом простой итерации):

1.  привести систему линейных уравнений к нормальному виду, если это необходимо;

2.  проверить систему на условие применимости метода простой итерации;

3.  выбрать начальное приближение , , ;

4.  решить систему линейных уравнений, вычисляя первое, второе, третье,…, k-ое приближения, до тех пор, пока вычисленные значения , , и , , не будут совпадать с точностью до трех знаков после запятой ();

5.  осуществить проверку найденного решения системы.

 

Порядок выполнения работы (для решения системы методом Гаусса):

1.  из первого уравнения системы выразить неизвестное ;

2.  подставить значение  во второе и третье уравнения исходной системы и получить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными;

3.  из системы 2х линейных уравнений с 2 неизвестными выразить неизвестное ;

4.  подставить значение  во второе уравнение новой системы и получить уравнение с одним неизвестным ;

5.  вычислить значение , , ;

6.  осуществить проверку найденного решения системы.

 

Контрольные вопросы:

1.  Что называется системой линейных уравнений?

2.  Что означает «решить систему линейных уравнений»?

3.  Что понимают под терминами «однородная/неоднородная система уравнений»?

4.  Какой смысл вкладывают в словосочетания «система линейных уравнений совместна/несовместна»?

5.  Запишите общий вид системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

6.  Назовите два класса методов решения систем линейных уравнений. Охарактеризуйте каждый класс.

7.  Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных). Достоинства и недостатки.

8.  Алгоритм метода Гаусса (схема решения системы уравнений методом Гаусса).

9.  Итерационные методы (общая характеристика).

10.    В чем заключается принцип сжимающих отображений.

11.    Сформулируйте условия сходимости итерационного процесса.

12.    Метод простой итерации. Достоинства и недостатки.

13.    Практическая схема решения системы линейных уравнений методом простой итерации.

14.    Система с преобладающими диагональными коэффициентами.

15.    Система нормального вида.

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3

Тема: Графический метод решения уравнения.

Цель: научиться применять графический метод для локализации корней алгебраических и трансцендентных уравнений.

Содержание работы по вариантам:

№ варианта	Содержание задания	Задание
1		Построить график функции и локализовать корни уравнения на отрезке с шагом
2		Построить график функции и локализовать корни уравнения на отрезке с шагом
3		Построить график функции и локализовать корни уравнения на отрезке  с шагом
4		Построить график функции и локализовать корни уравнения на отрезке с шагом
5		Построить график функции и локализовать корни уравнения на отрезке с шагом
6		Построить график функции и локализовать корни уравнения на отрезке с шагом
7		Построить график функции и локализовать корни уравнения на отрезке с шагом
8		Построить график функции и локализовать корни уравнения на отрезке с шагом
9		Построить график функции и локализовать корни уравнения на отрезке  с шагом
10		Построить график функции и локализовать корни уравнения на отрезке с шагом

 

 

Порядок выполнения работы:

1.  проанализировать уравнение, определить его тип и выбрать способ построения графика;

2.  выяснить область определения функций, входящих в уравнение;

3.  определить максимально возможное число корней уравнения;

4.  построить график(и) функции(й), используя процессор электронных таблиц MS Excel:

- создать таблицу вида

 

x	g(x)	h(x)

 

- значения x внести с помощью команды ЗАПОЛНИТЬ→ПРОГРЕССИЯ (арифметическая)

- вычислить значения функции(й) (ячейки в которых находятся вычисленные значения функций отформатировать таким образом. чтобы число десятичных знаков после запятой совпадало по порядку величины с шагом арифметической прогрессии)

- с помощью команды ВСТАВКА→ДИАГРАММА→ГРАФИК построить график функции;

5.  по графику функции определить приближенные корни уравнения;

6.  осуществить проверку найденного решения;

7.  перечертить эскиз графика в тетрадь.

 

Контрольные вопросы:

1.  Запишите общий вид уравнения с одной переменной.

2.  Почему уравнение, записанное в виде  всегда можно представить как равенство двух функций ? Приведите примеры.

3.  Что понимают под термином «корень уравнения»?

4.  Алгебраические уравнения. Примеры.

5.  Трансцендентные уравнения. Примеры.

6.  Запишите общий вид любого алгебраического уравнения.

7.  Сформулируйте основные свойства алгебраических уравнений любой степени.

8.  Что означает «решить уравнение с одной переменной»?

9.  Перечислить и охарактеризовать этапы численного решения алгебраического/трансцендентного уравнения с одной переменной.

10.    Этапы решения уравнения графическим методом.

11.    Каким образом по графику функции определить корень уравнения?

12.    Достоинства и недостатки графического метода решения уравнений с одной переменной.

 

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4

Тема: Приближенное решение алгебраического/трансцендентного уравнения различными методами.

Цель: научиться применять методы локализации и уточнения корня для решения алгебраических и трансцендентных уравнений с учетом условий применимости указанных методов.

Содержание работы по вариантам:

№ варианта	Содержание задания	Метод решения
1		Решить уравнение методом простой итерации с точностью ,
2		Решить уравнение методом касательных с точностью ,
3		Решить уравнение методом половинного деления с точностью ,
4		Решить уравнение методом простой итерации с точностью ,
5		Решить уравнение методом половинного деления с точностью ,
6		Решить уравнение методом простой итерации с точностью ,
7		Решить уравнение методом касательных с точностью ,
8		Решить уравнение методом половинного деления с точностью ,
9		Решить уравнение методом простой итерации с точностью ,
10		Решить уравнение методом касательных с точностью ,

 

Порядок выполнения работы:

1.  проанализировать уравнение, определить его тип;

2.  выяснить область определения функций, входящих в уравнение;

3.  определить максимально возможное число корней уравнения;

4.  указать приближенное значение корня на отрезке локализации, найденное графическим методом;

5.  проверить условие применимости требуемого метода, если это необходимо;

6.  решить уравнение указанным методом;

7.  осуществить проверку найденного решения.

 

Контрольные вопросы:

1.            Уравнение, корень уравнения, алгебраические и трансцендентные уравнения. Примеры алгебраических и трансцендентных уравнений.

2.            Сформулируйте теоремы о свойствах непрерывных функций, проиллюстрируйте их с помощью графиков.

3.            Методы уточнения корня.

4.            Метод половинного деления.

5.            Достоинства и недостатки метода половинного деления.

6.            Метод касательных (метод Ньютона).

7.            Перечислите требования, которым должна удовлетворять функция  для решения уравнения методом касательных.

8.            Типы расположения дуги кривой функции , удовлетворяющей требованиям метода касательных.

9.            Геометрическая иллюстрация метода касательных.

10.  Вывод формулы для метода касательных.

11.  Каким образом выбирается начальное приближение при решении уравнения методом касательных.

12.  Сформулируйте условие сходимости метода Ньютона.

13.  Запишите условие прекращения итерационного процесса по методу Ньютона.

14.  Метод последовательных приближений (метод простой итерации).

15.  Условия применимости метода простой итерации.

16.  Геометрическая иллюстрация метода последовательных приближений для решения уравнения с одной переменной.

17.  Связь метода Ньютона с методом простой итерации.

18.  Вычисление корня любой степени методом простой итерации.

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5

Тема: Математическая обработка результатов опытов. Составление эмпирических формул методом наименьших квадратов.

Цель: научиться составлять эмпирические формулы методом наименьших квадратов.

Задание: Составить эмпирическую формулу методом наименьших квадратов, используя подходящее приближение (линейное, квадратичное, в виде показательной функции, в виде степенной функции).

Содержание работы по вариантам:

№ варианта	Содержание задания
1	Влияние температуры  на ход хронометра :   t, °C -20 -15,4 -9 -5,4 -0,6 +4,8 +9,4 2,6 2,01 1,34 1,08 0,94 1,06 1,25
2	Зависимость между величинами  и  выражена таблицей:   x 0 3 5 8 10 14 17 20 22 24 y 1,02 2,5 3,92 5,16 6,82 8,36 10,74 11,82 13,64 12,96
3	Зависимость напряжения конденсатора от времени :   t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 U 100 75 55 40 30 20 15 10 10 5 5
4	Зависимость между давлением  и удельным объемом выражается формулой . Результаты измерений даны в таблице:   0,50 0,64 0,66 0,76 0,87 1,03 1,19 1,40 1,65 3,69 3,20 2,76 2,37 2,03 1,73 1,43 1,23 1,03
5	Зависимость между величинами  и  выражена таблицей:   1,00 1,50 2,50 3,00 4,50 5,10 6,20 67 101 168 202 301 334 404
6	Зависимость между величинами  и  выражена таблицей:   -0,50 -0,30 -0,10 0,20 0,60 0,80 1,00 3,20 2,60 2,10 1,90 2,50 3,10 4,00
7	Зависимость между величинами  и  выражена таблицей:   2,00 3,00 5,00 7,00 9,00 11,00 5,60 5,00 4,00 3,20 2,50 2,00
8	Зависимость между величинами  и  выражена таблицей:   0,0 1,0 2,0 4,0 6,0 7,0 9,0 10,0 6,0 7,4 9,3 11,9 15,2 16,6 19,4 21,1
9	Зависимость между величинами  и  выражена таблицей:   1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 2,0 2,5 2,8 4,3 6,0 7,9 10,0   Найти приближающую функцию в виде многочлена второй степени
10	Зависимость между величинами  и  выражена таблицей:   1,1 1,7 2,4 3,0 3,7 4,5 5,1 5,8 0,3 0,6 1,1 1,7 2,3 3,0 3,8 4,6

 

Порядок выполнения работы:

1.  составить точечный график функции по данным таблицы (на миллиметровой бумаге);

2.  по расположению точек определить вид приближающей функции (линейная, квадратичная, показательная, степенная);

3.  произвести необходимые вычисления по методу наименьших квадратов;

4.  составить формулу с учетом вычисленных параметров;

5.  найти значения приближающей функции в данных точках и сравнить их с табличными данными;

6.  построить график приближающей функции и убедиться в том, что точки, полученные на опыте, близки к графику составленной эмпирической формулы.

 

Контрольные вопросы:

1.            Постановка задачи о составлении эмпирических формул. Идея построения эмпирической формулы.

2. Этапы составления эмпирической формулы.

3. Примеры эмпирических формул.

4. Метод наименьших квадратов.

5. Общая характеристика метода наименьших квадратов. Уклонение. Квадратическое уклонение.

6. Составление эмпирических формул методом наименьших квадратов.

7. Линейное приближение по методу наименьших квадратов.

8. Квадратичное приближение по методу наименьших квадратов.

9. Приближение по методу наименьших квадратов в виде показательной функции.

10.  Приближение по методу наименьших квадратов в виде степенной функции.

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6

Тема: Решение прямой и обратной задачи интерполирования.

Цель: научиться записывать интерполяционный многочлен в форме Лагранжа, Ньютона; применять интерполирование для отыскания значений функции по таблице.

Содержание работы по вариантам:

№ варианта	Содержание задания
1	Функция  задана таблицей:   1 2 4 7 3 2 4 10   Найти приближенное выражение этой функции в виде многочлена третьей степени. Вычислить значение функции при , . По точкам построить график многочлена.
2	Функция  задана таблицей:   1 2 4 1,23 3,48 1,64   Найти приближенное выражение функции в виде многочлена второй степени. Вычислить значение функции при , . По точкам построить график многочлена.
3	Функция  задана таблицей:   1,2 2,4 3,8 6,4 2,64 4,56 1,86 5,34   Найти приближенное выражение функции в виде многочлена третьей степени. Вычислить значение многочлена при . По точкам построить график многочлена.
4	Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции  на отрезке  с узлами интерполяции , , , . Вычислить, пользуясь полученным многочленом, .
5	Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции  на отрезке :   1 2 3 4 5 0,00000 0,30103 0,47712 0,60206 0,69897   С помощью этого многочлена вычислить , .
6	Зная, что , , , , построить на отрезке  интерполяционный многочлен Лагранжа, дающий приближенное выражение функции . Пользуясь этим многочленом, вычислить , , .
7	Дана таблица значений длины эллипса  с полуосями  и  в зависимости от отношения полуосей . Таблица дается для  см.   0,4 0,5 0,6 0,7 46,03 48,44 51,05 53,82   Вычислить, пользуясь квадратичной интерполяцией Лагранжа, длину эллипса с полуосями  см; см.
8	Дана таблица функции :   1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 0,9340 0,9523 0,9661 0,9763 0,9838 0,9891   Найти, применяя квадратичное интерполирование по Ньютону: ; .
9	Функция  дана таблицей:   1,5 1,6 1,7 1,8 0,5118 0,4554 0,3980 0,3400   Найти, применяя квадратичное интерполирование по Ньютону, . По точкам построить график многочлена.
10	Имеются табличные значения синуса:   0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,295520 0,389418 0,479426 0,564642 0,644218 0,717356 0,783327   Используя интерполяционные формулы Ньютона, найдите значение при ,

 

Порядок выполнения работы:

1.  по данным задания составить таблицу (если это необходимо);

2.  вычислить конечные (табличные) разности (для интерполяционного многочлена в форме Ньютона);

3.  в соответствие с заданием записать выражение для приближающей функции (в виде целой рациональной функции/в форме Лагранжа/в форме Ньютона);

4.  произвести необходимые вычисления;

5.  записать полученный интерполяционный многочлен;

6.  вычислить с помощью найденного интерполяционного многочлена значения функции в точках ;

7.  построить по точкам график (если это необходимо).

 

Контрольные вопросы:

1.  Понятие «интерполирование», «приближающая функция», «узлы интерполяции».

2.  Какое требование накладывается на приближающую функцию.

3.  В чем заключается прямая задача интерполирования.

4.  В чем заключается обратная задача интерполирования.

5.  Проиллюстрируйте с помощью графика прямую и обратную задачи интерполирования.

6.  Каким образом решается задача нахождения приближающей функции в виде многочлена (целой рациональной функции).

7.  Как применяется интерполирование для отыскания значений функции по таблице.

8.  Когда узлы интерполяции считаются «равноотстоящими».

9.  Линейная интерполяция.

10.          Квадратичная интерполяция.

11.          Каким образом решается задача нахождения приближающей функции в виде интерполяционной формулы Лагранжа.

12.          Конечные (табличные) разности (первого, второго порядков). Таблица конечных разностей.

13.          Каким образом решается задача нахождения приближающей функции в виде интерполяционной формулы Ньютона.

14.          Первая и вторая интерполяционные формулы Ньютона.

15.          В каком случае применяется первая/вторая интерполяционные формулы Ньютона.

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7

Тема: Численное интегрирование. Приближенное вычисление геометрических величин.

Цель: научиться применять формулы приближенного вычисления интегралов (формулу трапеций и формулу Симпсона) для решения задач численного интегрирования, вычисления площади плоской фигуры, объема тел; оценивать точность приближенного вычисления интегралов

Содержание работы по вариантам:

№ вариа-нта	Содержание задания	Пояснения
1	Вычислить площадь зеркала водоема по данным чертежа (см. рис.), применяя формулу трапеций (длины указаны в метрах).
2	Для вычисления работы пара в цилиндре паровой машины вычисляют площадь индикаторной диаграммы, представляющей собой графическое изображение зависимости между давлением пара в цилиндре и ходом поршня (см. рис.). Ординаты точек линий ABD и ED соответствующие абсциссам  обозначены соответственно  и  . Вычислить с помощью формулы Симпсона площадь диаграммы, если ,  мм.	индикаторная диаграмма паровой машины.
6,2 2,4 1,2 0,9 0,8 0,7 0,7 0,8 0,9 1,3 2,9 54,6 48,7 31,4 22,6 20,1 18,9 15,9 12,6 10,4 6,3 3,8
3	Скорость  движения автомобиля (в км/ч) в зависимости от времени выражается графиком (см рис.). Если , то путь, пройденный телом, выражается интегралом Пользуясь графиком скорости, найти пройденный путь за время от 0 ч до 2 ч.
4	Длина дуги  гиперболы  от точки с абсциссой  до точки с абсциссой  выражается интегралом . Применяя формулу Симпсона, полагая , вычислить длину дуги гиперболы, заключенной между точками A(2; 5) и B(10; 1).
5	Длина эллипса с полуосями и  выражается формулой: , где Вычислить с помощью формулы Симпсона длину эллипса, если  м,  м .
6	Объем тела, вырезанного из цилиндра радиуса  цилиндром радиуса  , если оси цилиндров пересекаются под прямым углом (см. рис.), выражается интегралом Вычислить объем такого тела, пользуясь формулой трапеций , полагая см, см.
7	Длина полуволны синусоиды выражается интегралом . Вычислить , пользуясь формулой Симпсона ().
8	Вычислить площадь земельного участка (см. рис.), используя формулу трапеций. Результаты измерений: м,  и – см. таблицу.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 120 162 174 186 188 175 124 0
9	Вычислить емкость сосуда, имеющего форму тела вращения, осевое сечение которого изображено на рис. Расстояние между двумя соседними плоскостями – 1 дм, диаметры  (в дм) круговых сечений плоскостями, перпендикулярными оси, и площади сечений  приведены в таблице.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 2,75 3,16 4,38 5,23 6,04 4,86 2,94 1,63 1,87 5,94 7,84 15,07 21,48 28,65 18,55 6,79 2,08 2,75
10	Вычислить интеграл , пользуясь малой формулой Симпсона (результат будет точным).

 

Порядок выполнения работы:

1.  записать необходимую для вычислений формулу численного интегрирования;

2.  проанализировав условие задачи, выяснить соответствие между исходными данными и величинами, записанными в формуле;

3.  вычислить недостающие для расчета данные, если это необходимо;

4.  выполнить расчет по формуле;

5.  оценить точность полученного результата по правилу удвоения.

 

Контрольные вопросы:

1.            Постановка задачи численного интегрирования. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл. Формула Ньютон-Лейбница.

2.            Геометрический смысл определенного интеграла.

3.            Формулы приближенного вычисления интегралов (формулы механических квадратур).

4.            Формула Симпсона.

5.            Графическая иллюстрация формул приближенного вычисления интегралов.

6.            Оценка точности приближенного вычисления интегралов. Правило удвоения.

7.            Оценка погрешности формулы трапеций.

8.            Оценка погрешности формулы Симпсона.

9.            Вычисление площади плоской фигуры. Общая формула для вычисления площади плоской фигуры.

10.  Вычисление объемов тел. Общая формула для вычисления для вычисления объема тела.