Метод контурных токов

 

2.3. Метод контурных токов

 

Метод контурных токов (МКТ) является одним из основных методов расчета ЭЦ, которым широко пользуются на практике. При расчете цепи этим методом полагают, что в каждом независимом контуре протекает свой контурный ток, направление которого выбирается произвольно. Уравнения составляют относительно контурных токов. После их нахождения их определяют токи ветвей через контурные токи.

Для цепи, содержащей NН.К = NB – NУ +1 – NИ.Т. независимых контуров, каноническая система контурных уравнений имеет вид:

 

R11IK1 + R12IK2 + … + R1NIKN = E11;

R21IK1 + R22IK2 + … + R2NIKN = E22;

…………………………………………………  (2.3)

RN1IK1 + RN2IK2 + … +RNNIKN = ENN,

 

где R11, R22, … , RNN  - собственные сопротивления 1 – го, 2 – го, …,

N–го контура (сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в контур);

RKN, RLM = RML – взаимные (общие) сопротивления L – го и M – го контуров;

E11, E22, …, ENN - алгебраическая сумма ЭДС, входящих в 1 – ий,

2 – ой, … N – ый контур.

 

Правила составления уравнений по МКТ

Уравнения составляются для независимых контуров. Направление обхода контуров совпадают с выбранными произвольно направлениями контурных токов.

Если контурные токи, протекающие через общее сопротивление для двух контуров, направлены встречно то падение напряжения на нем записывается со знаком «-», если согласно – со знаком «+».

Если направление ЭДС в контуре совпадает с направлением контурного тока, то эта ЭДС записывается в уравнение со знаком «+», если не совпадает – со знаком «-».

Ток в любой ветви определяется как алгебраическая сумма контурных токов, протекающих по этой ветви. Со знаком «+» берется контурный ток, совпадающий по направлению с током ветви и со знаком «-» - направленный противоположно.

 

Если цепь содержит Nт источников тока, то кроме независимых контуров, необходимо выбрать контура, в которые входили бы источники тока. Контурные токи в них будут известны и равны токам источникам тока.

Порядок расчета по МКТ

 

1.     Определяется число уравнений;

2.     Выбираются независимые контуры;

3.     Произвольно выбираются направления токов ветвей и контурных токов;

4.     Составляется и решается система контурных уравнений;

5.     Определяются токи ветвей.

 

 

Пример: Для цепи рис. 2.7 определить токи ветвей с помощью МКТ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.7.

Решение:

NB = 6; NУ = 4; NT = 1;

NН.К. = 6 – 4 + 1 – 1 = 2;

IK1(R1 + R2 + R3) + IK2R3 + IK3R2 = E1 – E3

IK1R3 + IK2(R3 + R4) – IK3R4 = E2 – E3

IK3 = J

Токи ветвей равны:

I1 = IK1; I2 = IK2; I3 = - IK1 – IK2;

I4 = IK2 – J; I5 = – IK1 – J.

 

2.4. Метод узловых напряжений

 

Методом узловых напряжений (МУН) можно определить значения токов и напряжений в электрической цепи, если найти потенциалы узлов, отсчитанные относительно некоторого одного узла, называемого базисным или опорным. Потенциал базисного узла принимается равным нулю. Напряжения в узлах цепи, отсчитанные относительно опорного, называются узловыми напряжениями.

Для цепи, имеющей  независимых узлов, каноническая система узловых уравнений имеет вид:

1

1

G11U1 – G12U2 – … – G1NUN = SEG + SJ

2

2

– G11U1 + G22U2 – … – G2NUN = SEG + SJ

………………………………………………… (2.4)

N

N

– GN1U1 – GN2U2 – … – GNNUN = SEG + SJ

 

 

где G11, G22 … GNN – собственные проводимости 1 – го, 2 – го …

N – го узлов, равные сумме проводимостей ветвей, сходящихся в 1 – м,

2 – м … N – м узле;

GKM = GMK – взаимные (общие) проводимости между узлами К и М, равные сумме проводимостей ветвей, содержащие эти узлы;

1

2

SEG, SEG … SEG – алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей,

примыкающих к 1 – му, 2 – му … N – му узлу, на их проводимости;

N

N

1

2

SJ, SJ …SJ – алгебраическия сумма токов источников тока,

присоединенных к соответствующему узлу.

 

Правила составления уравнений по МУН

Со знаком «+» в уравнение по МУН записывается узловое напряжение того узла, относительно которого составляется уравнение, все остальные – со знаком «-».

Задающие токи источников ЭДС и тока берутся со знаком «+», если направление источников ориентированно к узлу, относительно которого составляется уравнение, и со знаком «-» - если от узла.

При наличии в схеме ветви с идеальным источником ЭДС необходимо принять за опорный узел один из узлов к которому присоединена данная ветвь. Тогда узловое напряжение другого узла будет равным величине ЭДС.

Порядок расчета по МУН

1.     Определяется число уравнений;

2.     Выбирается опорный узел;

3.     Составляется и решается система уравнений по МУН;

4.     По закону Ома определяются токи ветвей.

 

Пример: Для цепи рис 2.8 составить уравнения по МУН и определить токи ветвей.

 

 

Рис. 2.8

Решение:

Примем U3 = 0;

 

 

 

 

 

Токи ветвей определяются по закону Ома через найденные значения узловых напряжений: