Ошибка разности между средними выборок (md) в зависимости от вида наблюдений (независимые, сопряженные) и объема наблюдений рассчитывается по разным формулам. Рассмотрим их ниже.
Вариант первый. Сравниваемые выборки имеют одинаковый объем наблюдений (N1 = N2) и независимы:
md =
, (1.18)
где 
и 
– ошибка средней арифметической первой и второй выборки.
Критерий Стьюдента определяют по формуле:
t = d / md = (Mбольшая – Мменьшая) / md . (1.19)
Сопоставляя критерий Стьюдента вычисленный с табличным устанавливают или отвергают с некоторой долей уверенности различия между средними арифметическими выборок.
Пример. При исследовании глубины расчленения рельефа в Северной (х1) и Центральной (х2) провинци Беларуси необходимо установить, объединять их в один геоморфологический район по степени расчленения рельефа или различать их как самостоятельные. Исходные данные и их обработка приводятся в табл. 1.5. Из полученной информации по средним арифметическим (
= 16,6 и 
= 15,2 м) различие по глубине расчленения рельефа можно признать как существенным, так и несущественным. Для объективных выводов используем критерий Стьюдента.
Таблица 1.5
Форма обработки вариант в независимых совокупностях
|
|
|
|
|
|
20 | 3,4 | 11,56 | 17 | 1,8 | 3,24 |
17 | 0,4 | 0,16 | 16 | 0,8 | 0,64 |
16 | –0,6 | 0,36 | 15 | –0,2 | 0,04 |
15 | –1,6 | 2,56 | 14 | –1,2 | 1,44 |
15 | –1,6 | 2,56 | 14 | –1,2 | 1,44 |
∑ 83 | 0 | 17,20 | 76 | 0 | ∑ 6,80 |
|
|
|
|
|
|
Определяем разницу между средними: d = 16,6 – 15,2 = 1,4. Ошибки средних по каждой выборке равны:
= 0,93;
Ошибка разности средних составляет:
md =
= 
Полученные данные подставляем в формулу (1.19) и вычисляем tф = 1,4 / 1,2 = 1,17. Число степеней свободы ν =
+
– 2 = 5 + 5 – 2 = 8.
Сопоставляем табличные значения критерия Стьюдента 2.31 и 3,36 (см. приложение 4) при Р = 0,95 и 0,99 для степени свободы ν = 8 с фактическим (расчетным) tф = 1,17. Поскольку tт (2,31 и 3,36) > tф (1,17) при обоих уровнях значимости, то разность между средними признается недостоверной (несущественной). При выделении геоморфологических районов по глубине расчленения рельефа их объединяют.
Вариант второй. Сравниваемые независимые совокупности имеют различие по объему (N1 ≠ N2). Порядок вычисления критерия Стьюдента такой же, как и при установлении достоверности в независимых выборках с одинаковым числом наблюдений. Различие состоит в вычислении по другой формуле ошибки разности средних:
md = 
. (1.20)
Вариант третий. Сравниваемые сопряженные совокупности имеют одинаковый объем выборки (N1 = N2). Ошибка разности средних определяется по формуле:
md = 
. (1.21)
Обозначения для формул (1.20) и (1.21): 
и 
– индивидуальные значения вариант первой и второй выборок соответственно; 
и 
– средние первой и второй выборочной совокупности соответственно; 
и 
– объем выборки первой и второй соответственно; di – разность между индивидуальными сопряженными вариантами в выборках; d – разность между средними сопряженных выборок.
Пример для сопряженных наблюдений. Сравним глубину расчленения рельефа в пределах конечно-моренного (х1) и донно-моренного (х2) ландшафта. Для обработки данных составляем исходную табл. 1.6.
Таблица 1.6
Форма обработки данных сопряженных наблюдений
|
| di | di2 | di – d | (di – d)2 |
20 | 17 | 3 | 9 | +1,6 | 2,56 |
17 | 16 | 1 | 1 | –0,4 | 0,16 |
16 | 15 | 1 | 1 | –0,4 | 0,16 |
15 | 14 | 1 | 1 | –0,4 | 0,16 |
15 | 14 | 1 | 1 | 0,4 | 0,16 |
∑83 | ∑76 | ∑7 | ∑13 | ∑0 | ∑3,20 |
|
|
|
|
|
|
d = 1,4 |
|
|
|
|
|
Число пар в выборках Nп = 5. Разность между средними арифметическими сопряженных выборок d = 16,6 – 15,2 = 1,4. Ошибку разницы средних рассчитываем по одной из формул:
md = 
(1.22)
md =
(1.23)
Результаты расчетов по приведенным формулам не выявили расхождений. Критерий Стьюдента получим следующий: t = 1,4 / 0,40 = 3,5. Число степеней свободы ν = Nn – 2 = 5 – 2 = 3. Для ν = 3 при Р 0,95 и 0,99 табличное значение критерия Стьюдента 3,18 и 5,84 соответственно (см. прил. 4). Поскольку tф > tт при Р0,95, то различие по глубине расчленения рельефа в сравниваемых ландшафтах признается существенным. Такие ландшафты образуют самостоятельные группы.
Если при проведении эксперимента не учитывать сопряженность и независимость выборок, то можно получить противоположный вывод.
При сравнении средних, полученных на основе большого объема наблюдений при соблюдении нормального распределения, определение достоверности и различий средних можно выполнить упрощенно:
(M1 – M2)2 / (m12 + m22) ≥ 9.
Различия средних арифметических можно считать статистически достоверными, если получена величина 9 и более, если меньше – недостоверными. Пример нахождения сходства и отличия выборок с помощью критерия Стьюдента в MS Excel приведен в прил. 10.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
