Двумерная обратная задача геоэлектрики

 

Двумерная обратная задача геоэлектрики

,

Евразийский Национальный Университет имени Гумилева, Казахский Национальный Педагогический Университет имени Абая

[e-mail], [e-mail]

 

Введение

В настоящей работе приведены экспериментальные исследования по прогнозированию месторасположения археологических объектов кургана расположенного на территории Казахстана с использованием георадара. Для решения обратной задачи принята математическая модель двумерной задачи для уравнения геоэлектрики в линеаризованной постановке. Построен итерационный метод наискорейшего спуска. Выписаны градиенты функционалов и соотвествующие им сопряженные задачи.

 

1. Постановка задачи и данные геологических профилей исследуемых объектов

 

Постановка задачи состояла в следующем: выявление внутренней структуры строения кургана (оставшиеся от надмогильных сооружений и мавзолеев) расположенного на территории Республики Казахстан; геофизическое обследование структуры грунта на предмет обнаружения древних захоронений и культовых сооружений под землей.

Работа состояла из следующих частей: описание объекта и ее физическое состояние; топографическая съемка объекта и план разметки кургана для проведения георадарных измерений; данные геологических профилей исследуемых объектов; экспертное заключение по прогнозированию исследуемого объекта; математическая модель обратной задачи. Экспериментальные работы выполнены геофизическим комплексом Лоза-В, с использованием антенны 150см (150МГц), шаг по профилю 20см, глубина зондирования до 256 нс. (Рис. 1.)

Объекты исследования: большой курган, малый курган и перешеек (Рис. 2.). Измерения с прибором GPR проведены с использованием 1,5 метровой антенной с интервалом снятия данных порядка - 20 см.

Первый объект «Большой курган» занимает площадь 41 метр х 48 метр.

Второй объект «Малый курган» занимает площадь : 21 метр х 29,30 метр.

Третьий объект – «Перешеек» занимает- 4 метра х 14 метр. На «Большом кургане» профиль измерено 3 метровой антенной между линиями 10-13 с шагом 30см. Второй профиль измерен 3 метровой антенной между линиями 21-24 в обратном направлений, с шагом 30см с запсом измерения на 22 метра.

 

Рис.1. Ход выполнения работы и разметка площадей

 

Рис. 2. Общий вид на площадку 1 с Севера («Большой курган»).

Рис. 3. Горизонтальный разрез по профилям площадки №1 Большого кургана на уровне 44 нсек (264 см). ( A – предполагаемые археологические объекты).

 

В центральной части площадки Большого кургана, на глубине 240160-170 см, продолжает регистрироваться «подквадратный» археологический объект размерами 10 на 12 метров. Объект может представлять собой архетиктурную конструкцию из необработанного камня..

Рис. 4. Разрез по профилям площадки №2 Малого кургана на уровне 39 нсек (234 см).

 

На площадке Малого кургана, на глубине 264 см, продолжают регистрироваться фрагменты конструкции из необработанного камня, образующие «подквадратную» форму, ориентированную так же, как и объект в Большом кургане.

 

2. Экспертное заключение по прогнозированию исследуемого объекта.

 

Объект № 1. «Большой курган» – круглый холм с углублением на вершине. Грунт представляет собой тонкий приповерхностный слой песка, каменно-песочную смесь.

В результате площадного 3Д обследования в массиве «Большого кургана» обнаружен объект правильной геометрической формы размерами (10 х. 12 м). Объект уверенно выделяется на фоне геологической структуры насыпного грунта массива кургана. Есть основания предположить, что обнаруженный объект, по конструкции и размерам, подобным, обнаруженным ранее в этом районе, является архитектурной конструкцией из необработанного камня, входящей в комплекс центрального захоронения. Следует отметить, что в центральной части с южного склона кургана регистрируются следы погребенной ямы, что может свидетельствовать о возможном несанкционированном проникновении в захоронение.

Объект № 2. «Малый курган» – круглый холм, углублением на вершине. На вершине проходит углубленная дорога. Грунт представляет собой тонкий приповерхностный слой песка, каменно песочную смесь.

В результате площадного 3Д обследования в массиве «Малого кургана» обнаружены фрагменты конструкции из необработанного камня, образующие «подквадратную» форму больших размеров, ориентированную так же, как и объект в Большом кургане.

Объект № 3. «Перешеек между курганами» – относительно ровный с уклоном в начале и в конце. Грунт представляет собой тонкий приповерхностный слой песка, каменно песочную смесь.

Результаты экспериментальных и теоретических исследований были изложены на международных конференциях [1]-[4] в соавторстве с профессором .

 

3. Алгоритм решения обратной задачи

 

Рассмотрим постановки двумерной обратной задачи геоэлектрики [5], об определении ε(z, y) из соотношений:

(1)

(2)

(3)

по заданной дополнительной информации:

(4)

Здесь:  компонента электромагнитного поля, - диэлектрическая проницаемость, считаем, что проводимость и магнитная проницаемость µ - известны.

Предположим что , имеем следующую структуру:

= (5)

Полагаем, что функции удовлетворяют следующим условиям [5]:

1.                

2.                 Существуют константы М1, М2, М3 такие что при всех  имеем место  имеем место (6)

3.                 Функция  отлична от нуля при

4.                

Тогда в силу этих предположении, время пробега на глубину h, равно  и граница

Проведем линеаризацию, представим решение u(z,y,t) граничной задачи (1)-(3) в виде:

(7)

Здесь:  есть решение следующей граничной задачи:

(8)

(9)

- фиксированное значение переменной.

Для функции u(z,y,t) , имеем следующую граничную задачу:

(10)

(11)

(12)

Дополнительная информация для обратной задачи об определении коэффициента  из соотношений (8), (9) можно взять:

(13)

Дополнительная информация для обратной задачи об определении коэффициента  из соотношении (10)- (12) примем:

(14)

Где:  , таким образом решение задачи об обратном определении  определим по следующей схеме:

1.                 Решаем обратную задачу (8), (9), (13) и находим

2.                 Решая прямую задачу (8), (9) на глубину h, находим

3.                 Решаем обратную задачу (10)-(12), (14) находим  по заданным , g(y,t)

Для решения обратных задач применяем оптимизационный метод [6].

Пусть q(z) – приближенное решение обратной задачи (8), (9), (13).

Рассмотрим квадратичный функционал

(15)

Приближение , определим методом наискорейшего спуска [7]:

Здесь: - коэффициент спуска, а градиент функционала (15), определяется из соотношения:

Где: - есть решение соответствующей сопряженной задачи [6].

Пусть p(z,y) – есть приближенное решение обратной задачи (10)-(12), (14), рассмотрим функционал:

(16)

Используем как и выше, итерационный метод:

Где градиент функционала (16), определяется по формуле:

Здесь функция = считается уже вычисленной на предыдущем этапе, а  есть решение следующей сопряженной задачи:

 

Литература:

1.    K.T. Iskakov, B.B. Sholpanbaev Application of georadar Loza-B for the study of ciric-rabat and mounds in the kyzyl-orda region / The 4 Congress of the Turkic Word Mathematical Society (TWMS) Baku, Azerbaijan, 1-3 July, 2011. 470-471 p.

2. S.I. Kabanikhin, K.T. Iskakov, B.B. Sholpanbaev Analysis of the measurements inhomogeneties (archaeological objects) using Georadar. The 8 th Congress of International Society for Analysis, its Applications, and Computation (ISAAC-2011). Moscow. Russia. 22-27 August 2011. 292-293 p.

3. , , . Применение георадара для обнаружения археологических объектов. Международная конференция. Актуальные проблемы современной математики, информатики и механики. -20 лет независмости РК. Алматы. 28-30 сентябрь 2011. С. 319-320.

4. ., . Результаты применения георадара по исследованию археологических объектов. Третья международная научная школа конференция – Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач. Новосибирск. 10-15 октября 2011. С. 26-27.

5. , . Обратная задача геоэлектрики. М.: Наука, 1991. - 303с.

6. , Оптимизационные методы решения коэффициентных обратных задач НГУ, Новосибирск, 2001. - 315 с.

7. . Методы решения экстремальных задач, М.: Наука, 1981. – 400 с.