Методические указания к решению задач (стр. 4 )

Пример:

«Если у человека много доброго и мало злого, то он – достойный муж. Если у человека ничего доброго и много дурного, то он – низкий человек» (Из наследия Чжан Чао).

Решение:

Обозначим: А – «У человека много доброго», В – «У человека мало злого», С – «Человек – достойный муж», D – «У человека много дурного», Е – «Человек – низкий».

((АÙВ)®С) Ù ((ØАÙD)®Е).

Теория к задачам 20-23. Таблицы истинности.

А) Напомним: суждение считается истинным, если оно соответствует действительности; и ложным, если оно не соответствует действительности. Например, «Уголь - черный» - истинное суждение, «Уголь - белый» - ложное суждение. Суждение А может быть истинным, или ложным. Если А – истинно, то отрицание А – ложно, и наоборот. Таблица истинности для отрицания ( I ):

А	ØА
И	Л
Л	И

 

Для остальных операций составим общую таблицу истинности (II):

 

А	В	АÙВ	АÚВ	АÚВ	А®В	АºВ
И	И	И	И	Л	И	И
И	Л	Л	И	И	Л	Л
Л	И	Л	И	И	И	Л
Л	Л	Л	Л	Л	И	И

 

Запомнить её легко, если понять, как она заполняется:

Конъюнкция А Ù В. «В корзине у Нелли лежат подберезовики и подосиновики». А – «В корзине у Нелли лежат подберезовики», В – «В корзине у Нелли лежат подосиновики». Тут может быть четыре варианта ситуаций. Рассмотрим эти ситуации – «смотрим в корзину». Первая ситуация: в корзине, действительно, есть подберезовики. – А - И; и, действительно, есть подосиновики В - И. Значит, общее суждение (АÙВ) будет истинным. Вторая ситуация: в корзине есть подберезовики, но нет подосиновиков: А – И, а В – Л. Значит, общее суждение, что лежат те и другие, - ложное. Третья ситуация аналогична второй. Четвертая ситуация: нет ни тех, ни других. Значит, общее суждение, что лежат те и другие – ложное. Итак, конъюнкция (АÙВ) истинна только в одном случае, если оба операнда (А и В) истинны. В остальных случаях (если хотя бы один из операндов ложен) конъюнкция ложна.

Дизъюнкция А Ú В. «В корзине у Нелли лежат подберезовики или подосиновики». Рассмотрим ситуации: 1) А-И, В-И. Значит АÚ В – истинно. 2) А-И, В-Л. Значит, АÚ В (лежат подберезовики или подосиновики) – истинно. 3) А-Л, В-И. Значит, АÚ В – тоже истинно. 4) А-Л, В-Л. Нет ни того, ни другого. Значит, АÚВ – ложь. Итак, дизъюнкция истинна, если хотя бы один операнд истинен. Дизъюнкция ложна, если только оба операнда ложны.

Строгая дизъюнкция А Ú В. «В корзине у Нелли лежали либо подберезовики, либо подосиновики». Рассмотрим ситуации: 1) А-И, В-И. Общее суждение в случае строгой дизъюнкции будет ложным. 2) А-И, В-Л. АÚ В –истинно. 3) А-Л, В-И. АÚ В –истинно. 4) А-Л, В-Л. АÚ В – ложь.

Импликация А®В. «Если через проводник проходит электрический ток, то проводник нагревается». Рассмотрим ситуации: 1) А-И (через проводник, действительно, проходит электрический ток), В – И (проводник нагревается). Общее суждение А®В будет истинным. 2) А-И (через проводник, действительно, проходит электрический ток), но В – Л (проводник не нагревается). Такая ситуация невозможна, поэтому А®В – ложь. 3) А-Л, В-И: А®В – считается истинным, потому что проводник может нагреваться и по другим причинам. 4) А-Л, В-Л: А®В – истина. Итак, импликация (А®В) истинна во всех случаях, кроме одного, когда основание (А) истинно, а следствие (В) ложно. В таком случае импликация ложна.

Эквиваленция АºВ. «В нормальных условиях вода замерзает тогда и только тогда, когда температура опускается ниже нуля градусов по Цельсию». Обозначим: А – «Вода замерзает», В – «Температура ниже нуля градусов». Рассмотрим ситуации: 1) А-И, В-И. Общее суждение будет истинным. 2) А - И, В -Л: Вода замерзает, а температура не ниже нуля градусов. А º В – ложно. 3) А - Л, В - И: А º В – ложно. 4) А - Л, В – Л (Вода не замерзает, температура не ниже нуля градусов): Общее суждение (А º В) – истинно, так как соответствует действительности.

Таблицы I и II будут опорными для составления таблиц истинности к разным формулам.

Теория к задаче 21. Формула считается логическим законом (тождественно истинной формулой), если при любых интерпретациях переменной она принимает значение истина.

Задачи 20 и 21. Построить таблицы истинности. Определить, является ли выражение логическим законом.

Пример 1: Составить таблицу истинности для выражения: ((А®В) ÙØВ)®ØА.

Решение: Сначала определяем порядок выполнения операций. Ясно, что сначала мы можем вычислить значениях в столбцах (А®В) [1] и ØВ [2]. После конъюнкции (А®В) ÙØВ) [3] вычисляем ØА [4]. И затем вычисляем значения главного знака формулы - импликации ® [5] между (А®В) ÙØВ) [3] и ØА [4]. Для выполнения каждой операции смотрим в опорную таблицу истинности соответствующих операций. Например, третье действие – конъюнкция «(А®В)ÙØВ» [столбец 3] в первой строке интерпретаций принимает значение «Л», так как И [1] Ù Л [2] = Л.

 

Порядок операций ®	1	3	2	5	4
А	В	((А®В)	Ù	ØВ)	®	ØА
И	И	И	Л	Л	И	Л
И	Л	Л	Л	И	И	Л
Л	И	И	Л	Л	И	И
Л	Л	И	И	И	И	И

 

Пример 2: Составить таблицу истинности для выражения

((А®В)Ù(ВÚС))®(АÚС). Определить, является ли выражение логическим законом.

Решение: Так как в данном выражении три суждения – А, В и С, то в таблице необходимо рассмотреть 8 интерпретаций значений переменных.

Порядок операций ®	1	3	2	5	4
А	В	С	((А®В)	Ù	(ВÚС))	®	(АÚС)
И	И	И	И	И	И	И	И
И	И	Л	И	И	И	И	И
И	Л	И	Л	Л	И	И	И
И	Л	Л	Л	Л	Л	И	И
Л	И	И	И	И	И	И	И
Л	И	Л	И	И	И	Л	Л
Л	Л	И	И	И	И	И	И
Л	Л	Л	И	Л	Л	И	Л

 

В главном знаке (столбец 5) выражение принимает значение «ложь» в шестой строке интерпретаций. Поэтому данная формула не является логическим законом.

 

 

 

 

 

Теория к задаче 22. Законы пронесения отрицания

Ø (А Ù В) º ØА Ú ØВ; Читается: отрицание конъюнкции эквивалентно дизъюнкции отрицаний.

Ø (А Ú В) º ØА Ù ØВ;

Ø (А ® В) º А Ù ØВ;

Ø Ø А º А.

Задача 22. Произведите отрицание данного суждения, используя законы пронесения отрицания:

Пример 1: «Он был летом то ли на Щучьем озере, то ли на Гусином озере».

Ø (А Ú В) º ØА Ù ØВ;

Решение: «Неверно, что он был летом то ли на Щучьем озере, то ли на Гусином озере» эквивалентно «Он не был летом ни на Щучьем озере, ни на Гусином озере».

Пример 2: «Если воду охлаждать, то ее объем уменьшится».

Ø (А ® В) º А Ù ØВ;

Решение: «Неверно, что если воду охлаждать, то ее объем уменьшится» эквивалентно «Воду охлаждали, но ее объем не уменьшился».

Теория к задаче 23. Для решения многих логических задач необходимо выяснить: является ли одна формула логическим следствием других.

Определение: Из множества формул F1, F2, …Fn логически следует формула F, тогда и только тогда, когда импликация (F1ÙF2Ù…ÙFn)®F – является логическим законом.