Программа коллоквиума

Программа коллоквиума

Неопределенный интеграл

1)  Определение первообразной. Достаточное условие существования первообразной на промежутке (без доказательства).

2)  Теорема о множестве всех первообразных (с доказательством).

3)  Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенных интегралов (с доказательством).

4)  Замена переменных в неопределенном интеграле.

5)  Интегрирование по частям.

Определенный интеграл

6)  Определение интеграла Римана.

7)  Пример вычисления определенного интеграла исходя из его определения.

8)  Необходимое условие интегрируемости функции (с доказательством).

9)  Пример того, что условие ограниченности не является достаточным для интегрируемости функции (функция Дирихле).

10)  Определение верхней и нижней суммы Дарбу. Четыре свойства сумм Дарбу (все с доказательством).

11)  Критерий интегрируемости функции (без доказательства, но на экзамене будет с доказательством).

12)  Определение колебания функции. Три свойства колебания функции (без доказательства).

13)  Альтернативная формулировка критерия интегрируемости функции (без доказательства).

14)  Четыре свойства интегрируемых функций (без доказательства).

15)  Достаточные условия интегрируемости функций:

Теорема 1. Об интегрируемости монотонной функции (без доказательства).

Теорема 2. Об интегрируемости функции, непрерывной на отрезке (без док-ва).

Следствие к теореме 2. Об интегрируемости функции, непрерывной на интервале, и имеющей односторонние пределы на его концах (без доказательства).

16)  Свойства определенного интеграла как функции промежутка интегрирования.

Теорема 1. О представлении интеграла по [a, c] в виде суммы интегралов по [a, b] и [b, c] в случае a<b<c (без доказательства, но на экзамене будет с доказательством);

Определение и .

Следствие. О представлении интеграла по [a, c] в виде суммы интегралов по [a, b] и [b, c] в случае "a, b,cR (с доказательством).

Теорема 2. Об интегрируемости кусочно-непрерывной функции (c док-вом).

17)  Теорема об оценке интеграла от неотрицательной функции (с доказательством). Следствие (с доказательством).

18)  Теорема о среднем для определенного интеграла (с доказательством). Следствие (c доказательством).

19)  Теорема о дифференцировании функции (с доказательством).

Следствие 1. О существовании первообразной непрерывной функции (с док.).

Следствие 2. Формула Ньютона-Лейбница (с доказательством).

20)  Теорема о замене переменной в определенном интеграле (без доказательства).

21)  Теорема об интегрировании по частям (с доказательством).