Программа коллоквиума

Программа коллоквиума

Поток математиков второй семестр, 2015

I.  Теория групп

1.  Определение группы, подгруппы, нормального делителя, критерии

2 Гомоморфизмы групп, свойства

3. Группа подстановок S_n определение операции, проверка свойств

4.Знакопеременная подгруппа, A_n

5.Произведение подгрупп

6.Подгруппы, порождённые данным множеством, циклическая подгруппа.

7.Циклы в подстановках, независимые циклы, примеры

8. Порядок элемента, свойства.

9.Система образующих в симметрической группе подстановок

10.Циклические группы, подгруппы, порядок подгруппы и группы

11.Фактор-группы, построение

12.Теорема Лагранжа со следствием

13.Орбита элемента, стабилизатор, связь орбиты со стабилизатором

14. Первая теорема о гомоморфизме

15*.Вторая теорема о гомоморфизме ( лемма)

16.Третья теорема о гомоморфизме

17. Центр групп, свойства

18. Коммутант группы, свойства

19. Разрешимые группы, определение и критерий

20*. Разрешимость группы треугольных невырождениых матриц

21. Неразрешимость группы подстановок при n>4.

22*.Разрешимость группы подстановок при n < 5

II**. Теория Галуа

1.  *Алгебраические расширения Определение и основные свойства

2.  *Минимальный многочлен элемента, свойства

3.  Теорема о конечном алгебраическом расширении

4.  Теорема об эквивалентности условий для конечного расширения

5.  *Алгебраическое замыкание, поле разложения многочлена

6.  Сепарабельные расширения, критерий сепарабельности многочлена

7.  *Теорема о сепарабельности конечного поля

8.  Теорема о конечной подгруппе в мультипликативной группе поля

9.  *Гомоморфизмы полей, примеры

10.  Теорема о конечном сепарабельном расширении, простое расширение

11.  Определение расширения Галуа. Лемма Штейница

12.  * Группа автоморфизмов расширения полей, определение

13.  * Порядок группы автоморфизмов

14.  * Нормальные и сепарабельные расширения, связь с расширением Галуа

15.  *Формулировка теорема Галуа, доказательство простейших свойств

16.  *Свойства полей Галуа, Группа автоморфизмов

17.  *Свойства полей Галуа, условие для подрасширений

18.  Соответствие Галуа и формулировка основной теоремы теории Галуа

Замечания

1.  Вопросы из второй главы для желающих получить удовлетворительную оценку знать не обязательно

2.  Вопросы из второй главы для желающих ответить на оценку хорошо отмечены одной звёздочкой

3.  Очень желаю сдать коллоквиум до экзаменов, и вообще желаю ответить на ту оценку, на которую считал себя готовым ( ой) получить