МОДЕЛИ КОНТУРОВ ПЛОСКИХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ
ИЗОБРАЖЕНИЙ НА БАЗЕ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО1
2, 2
2 Марийский государственный технический университет, 424000, Йошкар-Ола,
пл. Ленина 3. Тел. (8362) 455412. E-mail: [email protected]
Представлены математические модели дискретных и непрерывных контуров плоских и пространственных изображений на базе теории функции комплексного переменного. Представление контуров плоских и пространственных изображений в виде функций комплексной или кватернионной переменных соответственно позволяет привлечь для их анализа и обработки теорию функции комплексной переменного.
Введение
В работах [1,2] рассмотрены подходы к обработке изображений, основанные на обработке контуров изображений, которые содержат информацию о форме объекта, его масштабе и угловом положении. Контуры изображений полностью характеризуют их форму и позволяют создать простые аналитические описания, инвариантные к переносу, повороту и масштабированию изображений. Рассмотрение контуров изображений как комплекснозначных сигналов и представление их в линейном комплекснозначном пространстве позволяет получить меру близости двух контуров в виде их скалярного произведения, инвариантную к преобразованиям переноса, поворота и масштабирования. Особый интерес вызывает вопрос применения в качестве базы теории комплексной переменной для обработки и анализа контуров изображений. Теория аналитических функций комплексного переменного представляет множество полезных математических моделей [3,4]. Многие математические теоремы упрощаются, если рассматривать действительные переменные как частный случай комплексных переменных. Комплексные переменные используют для описания двумерных векторов, а также двумерных скалярных и векторных полей. Кроме того, аналитические функции комплексного переменного реализуют конформные отображения одной плоскости на другую.
Целью данной работы является анализ возможности привлечения теории комплексного переменного для решения задач обработки контуров как плоских, так и пространственных изображений.
Модели контуров плоских изображений
Пусть контур некоторого изображения задан на плоскости 
точками, соединенными векторами 
, 
. Каждой точке можно сопоставить комплексную координату 
. Таким образом, если для любого натурального числа указано комплексное число 
, то можно считать, что задана последовательность:
. (1)
Если изменяется, подчиняясь тем или иным условиям, например, 
задает контур изображения, то мы имеем дело с комплексной переменной, заданной на плоскости 
комплексного переменного 
(рис. 1).
Рис. 1. Контур 
на плоскости комплексного
переменного
Если в контуре некоторую точку 
с координатой 
устремить к точке 
с координатой 
, т.е. 
, 
и 
, то количество точек, определяющих контур , стремится к бесконечности, т.е. 
, и переходим к понятию непрерывный контур [5]. При этом непрерывный контур 
как непрерывную замкнутую кривую, заданную на комплексной плоскости, представляют в виде:
, (2)
где 
– любое в диапазоне от 0 до 
; –длина контура; 
и 
– действительная и мнимая компоненты функции 
. При многократном обходе вдоль замкнутой кривой контур 
можно представить в виде периодической функции с периодом , т.е. 
, 
.
Математические модели в виде контуров и позволяют описывать контуры изображений объектов, заданных на плоскости.
Модели контуров пространственных
изображений
Для описания формы пространственных изображений наиболее перспективным видится применение аппарата кватернионов. Так в работе [2] для описания изображения пространственного объекта были использованы кватернионные сигналы 
. К кватернионным сигналам приводит упорядоченное в трехмерном пространстве множество точек 
, задающее групповой точечный объект.
Если в пространстве выбрать некоторую точку 
и принять ее в качестве начала системы отсчета, то, сформировав пучок из векторов 
, соединяющих т. с точками множества 
, каждый из этих векторов можно рассматривать как чисто векторный кватернион
,
,
где 
, 
и 
– мнимые единицы. Заданное таким образом множество точек называется кватернионным сигналом (КТС) .
Пространственный контур 
определяется как первая разность векторов, задаваемых мнимыми кватернионами КТС 
[2]:
, (3)
где 
.
Начало системы отсчета, в которой задан разностный кватернион 
, находится в конечной точке вектора, задаваемого кватернионом 
, .
Если пространственный контур задан точками, соединенными векторами 
, , то каждой точке в пространстве сопоставляется кватернионная координата 
. Если для любого натурального числа указан мнимый кватернион 
, то можно считать, что задана последовательность и мы имеем дело с кватернионной переменной, заданной в пространстве 
кватернионного переменного 
(рис. 2).
Рис. 2. Пространственный контур 
в пространстве кватернионного переменного
В том случае если векторы пространственного контура определены полными кватернионами 
, например, векторы элементарных КТС вида [2]:
,
,
то переходим к понятию гиперконтур. Функция кватернионного переменного 
может быть определена или во всем пространстве , или лишь в некоторой области пространства . У всякой области отличают внутренние ее точки и точки поверхности или гиперконтура. Характерным свойством внутренних точек является то свойство, что не только они сами, но и их некоторая окрестность целиком принадлежит области, т.е. точка 
будет внутренней точкой области, если этой области принадлежит целиком некоторая достаточно малая гиперсфера с центром . Точки гиперконтура не являются внутренними точками области, но в сколь угодно малой окрестности точки контура находятся внутренние точки области. Таким образом, под областью подразумевается обычно лишь совокупность внутренних точек области. Если же к области присоединяется и гиперконтур, то такую область называют замкнутой.
Произвольный кватернион можно представить суммой двух комплексных чисел, одно из которых умножено на мнимую единицу, не совпадающую с мнимой единицей, используемой в комплексном числе. Целесообразность введения комплексных представлений кватернионов объясняется возможностью использования аппарата комплексных чисел для действий с кватернионами и выполнения коммутативного умножения.
Заключение
Представление контуров плоских и пространственных изображений в виде функций комплексной или кватернионной переменных соответственно позволяет привлечь для их анализа и обработки теорию функции комплексной переменного.
Список литературы
1. Введение в контурный анализ и его приложение к обработке изображений и сигналов/Под ред. . – М.: Физматлит, 2002.
2. Комплекснозначные и гиперкомплексные системы в задачах обработки многомерных сигналов/ Под ред. . – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
3. . Справочник по математике. – М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. литературы, 1977.
4. Смирнов высшей математики. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы. Т. 2, ч. 2. изд. 5. 1951.
5. Хафизов непрерывных комплекснозначных сигналов, задающих контуры изображений плоских изображений// Вестник Казанского государственного технического университета им. , 2006. № 4. С. 24-27.
