Программа

Приложение 4

Рекомендовано МССН

ПРОГРАММА

Наименование дисциплины ТЕОРИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

Рекомендуется для направления подготовки

010100.68 «Математика»
специализация «Нелинейный анализ, оптимизация и математическое моделирование»

(указываются код и наименования направления(ий)
подготовки (специальности (ей) и/или профилей (специализаций)

Квалификация (степень) выпускника магистр

(указывается квалификация (степень) выпускника в соответствии с ФГОС)

1. Цели и задачи дисциплины: Основной целью курса является выработка у учащихся навыков формулировки и постановки различных классов экстремальных задач. Осознание важности выбора различных критериев оптимальности. Обучение учащихся различным современным методам исследования экстремальных задач и задач оптимального управления. Освоение соответствующего математического аппарата.

2. Место дисциплины в структуре ООП:

Профессиональный цикл, профильная часть.

Необходимы знания по линейной алгебре, математическому анализу, функциональному анализу, обыкновенным дифференциальным уравнениям.

3. Требования к результатам освоения дисциплины:

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций (указываются в соответствии с ФГОС ВПО):

·  ПК-4: самостоятельный анализ физических аспектов в классических постановках математических задач

В результате изучения дисциплины студент должен:

Знать: принцип Лагранжа снятия ограничений, необходимые и достаточные условия экстремума в различных классах задач оптимизации.

Уметь: исследовать задачи минимизации с ограничениями и без ограничений; ставить и формулировать подобные задачи.

Владеть: различными способами исследования задач минимизации с ограничениями; современным математическим аппаратом исследования экстремальных задач.

4. Объем дисциплины и виды учебной работы

Общая трудоемкость дисциплины составляет 6 зачетных единиц.

№	Вид учебной работы	Всего часов	Семестры
1	2	3	4
1.	Аудиторные занятия (ак. часов)	56	28	28
	В том числе:
1.1.	Лекции
1.2.	Прочие занятия
	В том числе:
1.2.1.	Практические занятия (ПЗ)
1.2.2.	Семинары (С)	56	28	28
1.2.3.	Лабораторные работы (ЛР)
	Из них в интерактивной форме (ИФ):	56	28	28
2.	Самостоятельная работа студентов (ак. часов)	160	80	80
	В том числе:
2.1.	Курсовой проект (работа)
2.2.	Расчетно-графические работы
2.3.	Реферат
2.4.	Подготовка и прохождение промежуточной аттестации	3		3
	Другие виды самостоятельной работы	157	80	77
3.	Общая трудоемкость (ак. часов)	216	108	108
	Общая трудоемкость (зачетных единиц)	6	3	3

5. Содержание дисциплины

5.1. Содержание разделов дисциплины

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Содержание раздела
1.	Как формализуются экстремальные задачи?	Простейшие примеры формализации экстремальных задач. Формализация задачи Ньютона. Задача о брахистохроне, простейшая задача о быстродействии. Изопериметрическая задача. Простейшая задача оптимального управления
2.	Правило множителей Лагранжа	Теорема Ферма. Правило множителей Лагранжа для конечномерной задачи, теорема Куна-Таккера. Доказательство в конечномерном случае
3.	Математический аппарат	Элементы выпуклого анализа. Теорема отделимости математических множеств. Теорема Дубовицкого-Мелютина
4.	Математический аппарат (продолжение)	Конусы и сопряженные конусы в банаховом пространстве. Примеры вычисления сопряженных конусов. Теорема о неявной функции. Теорема об обратной функции. Конус касательных направлений. Конус убывания функции. Теорема Люстерника о касательном конусе
5.	Принцип Лагранжа	Формулировка и доказательство принципа Лагранжа для задач с ограничениями типа равенств. Формулировка и доказательство принципа Лагранжа для задач с ограничениями типа неравенств и для задачи математического программирования. Примеры решения задач с помощью принципа Лагранжа
6.	Условия 2-го порядка	Необходимые условия первого и второго порядков. Достаточные условия второго порядка. Взаимосвязь необходимых и достаточных условий второго порядка
7.	Анормальные задачи	Некоторые свойства нелинейных отображений. Понятие об анормальной точке. Анормальные точки и принцип Лагранжа. Анормальные точки и теорема об обратной функции
8.	Классические задачи оптимального управления	Постановка различных задач оптимального управления. Задачи Больца, Майера и Лагранжа. Понятие допустимого управления. Игольчатая вариация. Принцип максимума Понтрягина
9.	Задачи оптимального управления (продолжение)	Задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями. Понятие допустимого управления. Принцип максимума Понтрягина для задач с фазовыми ограничениями. Информативность принципа максимума
10.	Задачи со смешанными ограничениями	Постановка задачи оптимального управления со смешанными ограничениями. Понятие допустимого управления
11.	Метод динамического программирования	Принцип оптимальности Беллмана. Метод динамического программирования. Уравнение Беллмана
12.	Задача управляемости	Постановка задачи управляемости. Критерий управляемости линейных систем. Критерий управляемости нелинейных систем и принцип линеаризации

5.2 Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами

№ п/п	Наименование обеспе-чиваемых (последую-щих) дисциплин	№ № разделов данной дисциплины, необходимых для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1	2	3	4	5	6	7	8	…
1.	Нет обеспечиваемых (последующих) дисциплин

5.3. Разделы дисциплин и виды занятий

№ п/п	Наименование раздела	Лекц.	Практические занятия и лабораторные работы	СРС	Всего
ПЗ/С	ЛР	из них в ИФ
1.	Как формализуются экстремальные задачи?		4		4	13	17
2.	Правило множителей Лагранжа		4		4	13	17
3.	Математический аппарат		4		4	13	17
4.	Математический аппарат (продолжение)		4			13	17
5.	Принцип Лагранжа		4		4	13	17
6.	Условия 2-го порядка		4		4	13	17
7.	Анормальные задачи		4		4	13	17
8.	Классические задачи оптимального управления		4		4	13	17
9.	Задачи оптимального управления (продолжение)		6			13	19
10.	Задачи со смешанными ограничениями		6		6	13	19
11.	Метод динамического программирования		6		6	13	19
12.	Задача управляемости		6		6	14	20
13.	Промежуточный контроль					3	3
	Итого:		56		46	160	216

5.4. Описание интерактивных занятий

№ п/п	№ раздела	Тема интерактивного занятия	Вид занятия	Трудо­емкость (час.)
1.	1.	Как формализуются экстремальные задачи?	беседа	4
2.	2.	Правило множителей Лагранжа	беседа	4
3.	3.	Математический аппарат	беседа	4
4.	4.	Принцип Лагранжа	круглый стол	4
5.	5.	Условия 2-го порядка	беседа	4
6.	6.	Анормальные задачи	беседа	4
7.	7.	Классические задачи оптимального управления	игра	4
8.	8.	Задачи со смешанными ограничениями	беседа	6
9.	9.	Метод динамического программирования	беседа	6
10.	10.	Задача управляемости	беседа	6

6. Лабораторный практикум: Не предусмотрен.

7. Практические занятия (семинары):

№ п/п	№ раздела дисциплины	Тематика практических занятий (семинаров)	Трудо-емкость (час.)
1.	1.	Как формализуются экстремальные задачи?	4
2.	2.	Правило множителей Лагранжа	4
3.	3.	Математический аппарат	4
4.	4.	Математический аппарат (продолжение)	4
5.	5.	Принцип Лагранжа	4
6.	6.	Условия 2-го порядка	4
7.	7.	Анормальные задачи	4
8.	8.	Классические задачи оптимального управления	4
9.	9.	Задачи оптимального управления (продолжение)	6
10.	10.	Задачи со смешанными ограничениями	6
11.	11.	Метод динамического программирования	6
12.	12.	Задача управляемости	6

8. Примерная тематика курсовых проектов (работ): Не предусмотрены.

9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:

а) основная литература:

1. , Тихомиров экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

2. Гирсанов по математической теории экстремальных задач. Ижевск: РХД, 2004.

3. Арутюнов экстремума. Анормальные и вырожденные задачи. М.: Факториал, 1997.

4. , Тихомиров управление: Учебник для вузов. 2-е изд. М.: Физматлит, 2005.

5. , , Магарил-Ильяев максимума Понтрягина: Доказательства и приложения. М.: Факториал Пресс, 2006.

б) дополнительная литература:

1. , , Тихомиров задач по оптимизации. М.: Физматлит, 2008.

в) программное обеспечение:

не требуется

г) базы данных, информационно-справочные и поисковые системы:

не требуются

10. Материально-техническое обеспечение дисциплины:

Общий аудиторный фонд:

поточные аудитории Зал № 1, Зал № 2, 485, 495, 497 в учебном корпусе РУД, ул. Орджоникидзе, д. 3 (проекторы –3 шт., ксероксы – 2 шт., сканеры – 2 шт.); групповые аудитории в учебном корпусе РУДН, ул. Орджоникидзе, д. 3 на 3, 4 и 5 этажах.

11. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины:

Балльно-рейтинговая система оценки уровня знаний

Соответствие систем оценок (используемых ранее оценок итоговой академической успеваемости, оценок ECTS и балльно-рейтинговой системы (БРС) оценок текущей успеваемости) (В соответствии с Приказом Ректора № 000 от 01.01.2001 г.):

Баллы БРС	Традиционные оценки в РФ	Баллы для перевода оценок	Оценки	Оценки ECTS
86 – 100	5	95 - 100	5+	A
86 - 94	5	B
69 – 85	4	69 - 85	4	C
51 – 68	3	61 - 68	3+	D
51 - 60	3	E
0 – 50	2	31 - 50	2+	FX
0 - 30	2	F

Студенты обязаны сдавать все задания в сроки, установленные преподавателем. Отсрочка в сдаче домашнего задания считается уважительной только в случае болезни студента, что подтверждается наличием у него медицинской справки. Студент допускается к итоговому контролю с любым количеством баллов, набранным в семестре, но при условии, что у него имеется теоретическая возможность получить не менее 31 балла. Если в итоге за семестр студент получил менее 31 балла, то ему выставляется оценка F и он должен повторить дисциплину в установленном порядке. Если же в итоге студент получил не менее 31 балла, т. е. Fx, то ему разрешается добор необходимого (до 51) количества баллов путём повторного одноразового выполнения предусмотренных итоговых контрольных мероприятий; при этом аннулируются, по усмотрению преподавателя, соответствующие предыдущие результаты. Ликвидация задолженностей проводится в период с 07.02 по 28.02 (с 07.09 по 28.09) по согласованию с деканатом. Итоговая контрольная работа (итоговый контроль) содержит от 3 до 6 вопросов (или заданий). На подготовку к ответу отводится 1 час, после чего производится устный опрос студента. Оценивается работа из 60 баллов независимо от оценки, полученной в семестре.

Балльно-рейтинговая система

Раздел

Тема

Формы контроля уровня освоения ООП

Опрос

Тест

Коллоквиум

Реферат

Выполнение ЛР

Выполнение ДЗ

Выполнение РГР

Выполнение КР

Выполнение КП

Работа на занятии

Работа на Инт. Занятии

Экзамен

Прочие формы контроля

Баллы темы

Баллы раздела

Теория экстремальных задач

Правило множителей Лагранжа

6

4

40

50

100

Классические задачи оптимального управления

6

4

40

50

Разработчик:

Зав. кафедрой	Кафедра нелинейного анализа и оптимизации
Должность	Название кафедры	Инициалы, фамилия

Заведующий кафедрой нелинейного анализа и оптимизации

название кафедры, инициалы, фамилия