Вопросы для самопроверки и обсуждений по темам

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ И ОБСУЖДЕНИЙ ПО ТЕМАМ

Тема 1. Преобразование Фурье и Фурье – мультипликаторы

1.  Сформулируйте определение пространства основных функций Л. Шварца.

2.  Как задается топология в счетно-нормированном пространстве основных функций?

3.  Сформулируйте понятие линейного, непрерывного оператора в счетно-нормированном пространстве. Каков критерий непрерывности оператора?

4.  Сформулируйте определения операторов сдвига, дифференцирования, свертки, умножения на функции полиномиального роста, преобразования Фурье. Будут ли эти операторы линейными и непрерывными в пространстве основных функций?

5.  Сформулируйте определение двойственного пространства (распределений). Как задается в нем топология ? Как строятся в нем линейные непрерывные операторы?

6.  Сформулируйте определения операторов сдвига, дифференцирования, умножения на функции полиномиального роста, преобразования Фурье в пространстве распределений. Будут ли эти операторы линейными и непрерывными в пространстве распределений?

7.  Дайте определение сильного преобразования Фурье интегрируемой функции. Каковы его основные свойства?

8.  Что означает совпадение сильного и слабого преобразования Фурье интегрируемой функции?

9.  Сформулируйте обобщенное неравенство Минковского для свертки. Образует ли множество интегрируемых функций сверточную алгебру?

10.  Что такое алгебра Винера?

11.  Сформулируйте определение сильного преобразования Фурье функции из . Можно ли задать его классической интегральной формулой? Ответ обосновать.

12.  Что означает совпадение сильного и слабого преобразования Фурье функции из ?

13.  Сформулируйте теорему Планшереля.

14.  Сформулируйте интерполяционную теорему Рисса - Торина.

15.  Сформулируйте теорему Хаусдорфа – Юнга о преобразованиях Фурье. Всегда ли существует сильное преобразование Фурье функции из ?

16.  Сформулируйте неравенство Юнга для сверток. Какова его связь с неравенством Гельдера и обобщенным неравенством Минковского для сверток?

17.  Как определяется Фурье – мультипликатор на пространстве основных функций?

18.  Дать определение Фурье – мультипликатора для функций из . Можно ли использовать то же определение, что для основных функций?

19.  Каково достаточное условие Фурье – мультипликатора во всех ?

20.  Сформулируйте основную теорему о Фурье – мультипликаторах в .

21.  Сформулируйте теорему Лизоркина о Фурье – мультипликаторах в . Как она применяется для оценки - норм смешанных производных через - норму оператора Лапласа?

22.  Сформулируйте теорему Михлина – Хермандера о Фурье – мультипликаторах в . Сопоставьте ее с теоремой Лизоркина.

23.  Как связаны поточечное умножение Фурье – мультипликаторов с действием соответствующих операторов?

24.  Привести примеры множеств, характеристические функции которых являются Фурье – мультипликаторами.

25.  Сформулируйте результат Ч. Феффермана по проблеме Фурье – мультипликаторов в .

Тема 2. Подпространство функций с ограниченным спектром

1. Какой вид имеет интегральное представление функций с ограниченным спектром? Как

строятся ядра представления?

2.Сформулируйте неравенство Бернштейна для производных функций с ограниченным

спектром. Какую роль в его выводе играет обобщенное неравенство Минковского для

свертки?

3. Сформулируйте неравенство разных метрик Никольского для функций с ограниченным

спектром. Какую роль в его выводе играет неравенство Юнга для свертки?

4. Сформулируйте теорему Никольского о следах функций с ограниченным спектром на

подпространствах меньшей размерности.

5. Какова связь преобразования Фурье основной функции с преобразование Фурье ее следа на подпространстве меньшей размерности?

6. Сформулируйте понятие наилучшего приближения функции с помощью функций с ограниченным спектром. Каковы общие свойства наилучших приближений?

7. Как реализуются наилучшие приближения в ?

8. Как реализуются приближения порядка наилучшего в при ?

9. Как реализуются приближения порядка наилучшего в при ?

Тема 3. Пространства дифференцируемых функций многих переменных

1. Какие формулы определяют усреднения функций по Соболеву? Опишите свойства ядер усреднения.

2. Какова связь усреднений по Соболеву и обобщенного дифференцирования?

3. Дайте определения слабых и сильных обобщенных производных по Соболеву. Какова связь

этих понятий?

4. Как приблизить локально интегрируемую функцию на открытом множестве с помощью бесконечно дифференцируемых финитных функций в пространстве ?

5. В чем состоит свойство замкнутости обобщенного дифференцирования по Соболеву?

6. Дайте определение пространства Соболева. Является ли оно банаховым?

7. Сформулируйте теорему об интегральном представлении Соболева.

8. Сформулируйте результат об оценке промежуточных производных в пространстве

Соболева. Будут ли эквивалентны соболевские нормы, содержащие только норму функции и

старших производных или также нормы всех промежуточных производных?

9. Каково условие вложения ?

10. Каково условие вложения ?

11. Сформулируйте общие свойства модулей непрерывности. Какой вывод следует из оценки

для функции ?

12. Сформулируйте теорему вложения для пространств Бесова без изменения метрики. Являются ли эти вложения строгими?

13. Приведите определения ядер операции усреднения (типа В - сплайнов) и опишите их основные свойства.

14. Каковы интегральные представления разностей через операции усреднения производных?

15. Сформулируйте основные свойства операции усреднения.

16. Каков критерий принадлежности обобщенных производных по направлению к ?

17. Сформулируйте результат о разностной характеризации пространств Соболева. Какова

связь пространств Соболева со шкалой пространств Никольского - Бесова.

18. Сформулируйте результат об эквивалентных нормах в пространствах Никольского –

Бесова с использованием обобщенных производных.

19. Сформулируйте прямую теорему теории приближений типа Джексона.

20. Как представить функции из пространств Никольского – Бесова разложениями в ряды по

функциям с ограниченным спектром? Какие конструкции при этом используются (типа

Джексона и реализации приближений порядка наилучшего).

21. Сформулируйте теорему об эквивалентных нормах в пространствах Никольского – Бесова

в терминах разложений в ряды по функциям с ограниченным спектром. Можно ли

реализовать эти разложения с помощью линейных операторов?

22. Сформулируйте теорему вложения разных метрик для пространств Никольского – Бесова.

Что означает ее неулучшаемость?

23. Как корректно определить понятие следа функции на подпространстве меньшей

размерности?

24. Сформулируйте теорему о следах для пространств Никольского – Бесова (непредельный

случай). Будут ли операторы следа и продолжения линейными в этом случае?

25. Сформулируйте теорему о следах для пространств Никольского – Бесова (предельный

случай). Будут ли операторы следа и продолжения линейными в этом случае?