Городская олимпиада, 20 мая 2013г

 

Городская олимпиада, 20 мая 2013г.

 

Максимальный балл за каждую задачу - 7

 

2 класс. Продолжительность олимпиады – 2 часа

 

1. Расставьте числа от 1 до 9 в кружочки так, чтобы каждая стрелка вела от большего числа к меньшему (рисунок 1).

 

Решение: Например,

 

2. Уберите 10 спичек так, чтобы осталось ровно 9 квадратов одинаковых между собой. Сторона маленького квадрата равна длине спички.

 

Рисунок 2

 

Решение: Например,

 

Критерии проверки: 0 баллов оценивалось любое решение, содержащие квадраты размером 2 спички на 2 спички, спички, не принадлежащие никакому квадрату.

 

3. Леша, Руслан и Вадим собирали грибы. Леша и Руслан вместе собрали 11 грибов, Леша с Вадимом – 12 грибов, Вадим с Русланом – 13 грибов. Сколько грибов собрал каждый из ребят?

 

Решение: Леша, Руслан и Вадим вместе собрали (11+12+13)/2=18. Значит, Леша собрал 18-13=5, Вадим – 18-11=7, Руслан – 18-12=6.

Критерии проверки: только правильный ответ – 3 балла

 

4. Сколько существует двухзначных чисел, у которых вторая цифра меньше первой? Ответ нужно обосновать.

Решение: Всего двухзначных чисел 90. Нам подходят все числа, которые заканчиваются на 0 (их 9), нам не подходят все числа, у которых обе цифры одинаковые (их тоже 9). Из оставшихся чисел (90-9-9=72) нам подходит ровно половина 72:2=36. Значит, двухзначных чисел, у которых вторая цифра меньше первой, 9+36=45

10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26	27	28	29
30	31	32	33	34	35	36	37	38	39
40	41	42	43	44	45	46	47	48	49
50	51	52	53	54	55	56	57	58	59
60	61	62	63	64	65	66	67	68	69
70	71	72	73	74	75	76	77	78	79
80	81	82	83	84	85	86	87	88	89
90	91	92	93	94	95	96	97	98	99

 

Критерии проверки: только ответ (45 чисел) – 1 балл; пример с 45 числами (из которого видно, что в каждом следующем десятке чисел на 1 больше, чем в предыдущем, или аналогичный ему) без обоснования, почему больше чисел не может быть – 5 баллов; верный способ подсчета количества искомых чисел без ответа – 6 баллов.

 

				55
			?	?
		10	?	?
	?	?	8	?
1	?	?	?	?
Рисунок 3

 

5. Приведите пример расстановки чисел (рисунок 3). Число в каждом «кирпичике» равно сумме чисел в двух, стоящих под ним «кирпичиках».

Например,

	5=2+3
2	3

Решение: например,

 

				55
			25	30
		10	15	15
	3	7	8	7
1	2	5	3	4

 

3 класс. Продолжительность олимпиады – 2 часа

1. Расставьте числа от 1 до 9 в кружочки (рисунок 1) так, чтобы каждая стрелка вела от большего числа к меньшему.

 

Рисунок 1

 

Решение: см. задачу № 1 2 класса

Критерии проверки: см задачу № 1 2 класса

 

2. Уберите 10 спичек так, чтобы осталось ровно 9 квадратов одинаковых между собой (рисунок 2). Сторона маленького квадрата равна длине спички.

 

Рисунок 2

 

Решение: см. задачу № 2 2 класса

Критерии проверки: см. задачу № 2 2 класса

 

3. У Кати есть ткань семи цветов: красная, оранжевая, желтая, зеленая, голубая, синяя и фиолетовая. Катя шьет полосатые флаги (рисунок 3), при чем все цвета каждого флага различные, самая нижняя полоса обязательно фиолетового цвета, вторая сверху полоса обязательно зеленая, а красная, оранжевая и желтая полоса обязательно расположены подряд. Сколько разных флагов может сшить Катя?

 

Катя может сшить 4 флага, если сначала идет красный флаг, потом оранжевый, затем желтый.

Красный, оранжевый, желтый можно переставить 6 способами. 4*6=24 способа.

Критерии проверки: Ответ 24 без обоснования – 1 балл. Ответ 4 или 12 с обоснованием (забыли умножить на 6 способов перестановки красной, оранжевой желтой полосы или забыли, что голубую и синюю можно менять, остальное описано) – 1 балл, Приведены все 24 способа, но не четко обосновано, что других способов нет – 3 балла.

 

4. Разрежьте фигуру (рисунок 4) на 4 равные части так, чтобы в каждой части была ровно одна закрашенная клетка. Фигуры называются равными, если они совпадают при наложении.

 

Рисунок 4

 

Решение: Например,

 

				55
			?	?
		10	?	?
	?	?	8	?
1	?	?	?	?

Критерии:

 

5. Приведите пример расстановки чисел

 

Число в каждом «кирпичике» равно сумме чисел в двух, стоящих под ним «кирпичиках». Например,

	5=2+3
2	3

 

Решение: см. задачу № 5 2 класса

Критерии проверки: см. задачу № 5 2 класса

 

4 класс. Продолжительность олимпиады – 2 часа

1. Уберите 10 спичек так, чтобы осталось ровно 9 квадратов одинаковых между собой (рисунок 1). Сторона маленького квадрата равна длине спички.

 

Рисунок 1

 

Решение: см. задачу № 2 2 класса

Критерии проверки: см. задачу № 2 2 класса

 

2. У Кати есть ткань семи цветов: красная, оранжевая, желтая, зеленая, голубая, синяя и фиолетовая. Катя шьет полосатые флаги (рисунок 2), при чем все цвета каждого флага различные, самая нижняя полоса обязательно фиолетового цвета, вторая сверху полоса обязательно зеленая, а красная, оранжевая и желтая полоса обязательно расположены подряд. Сколько разных флагов может сшить Катя?

 

Решение: см. задачу №3 3 класса

Критерии проверки: Правильный ответ – 1 балл. Правильные комбинаторные идеи – 2-3 балла.

 

3. Разрежьте фигуру (рисунок 3) на 4 равные части так, чтобы в каждой части была ровно одна закрашенная клетка. Фигуры называются равными, если они совпадают при наложении. В решении приведите два разных способа разрезания.

Рисунок 3

 

Решение: например,

 

 

и

 

 

Критерии проверки:

				55
			?	?
		10	?	?
	?	?	8	?
1	?	?	?	?
Рисунок 4

 

4. Приведите пример расстановки чисел (рисунок 4). Число в каждом «кирпичике» равно сумме чисел в двух, стоящих под ним «кирпичиках». Например,

	5=2+3
2	3

 

Решение: см. задачу № 5 2 класса

Критерии проверки: см. задачу № 5 2 класса

 

5. Четыре сестры Камилла, Карина, Алиса, Аня заняли на музыкальном конкурсе четыре первых места. Вот что они рассказали маме о том, какие места они заняли на конкурсе. Камилла: «Я выступила лучше всех своих сестер». Карина: «Я заняла не четвертое место». Аня: «Между мной и Алисой еще одна сестра». Алиса: «Я выступила лучше Ани». Мама точно знает, что ровно одна из девочек сказала неправду. Кто из сестер не мог занять первое место? Ответ нужно обосновать.

 

Решение:

Случай 1.Пусть врет Камилла.

 

Тогда Камилла заняла не 1 место, Карина – не 4. Алиса лучше Ани и между Аней и Алисой еще одна девочка. Возможны 2 варианта:

1	Алиса
2
3	Аня
4

В этом случае у Карины – 2 место, у Камиллы – 4.

И первое место заняла Алиса

 

1
2	Алиса
3
4	Аня

В этом случае у Камиллы – 3 место, у Карины – 1.

И первое место у Карины

Случай 2.Пусть врет Карина.

Тогда Карина заняла 4 место, Камилла заняла 1 место. Алиса лучше Ани, значит, Алиса – 2 место, Аня – 3 место.

1	Камилла
2	Алиса
3	Аня
4	Карина

Тогда высказывание Ани ложно, потому что места Алисы и Ани идут подрят. Получается, что такого случая не может быть.

 

Случай 3. Пусть врет Аня

Тогда 1 место у Камиллы. Алиса выступила лучше Ани. И между Алисой и Аней не одна девочка. Значит, возможны два варианта:

1	Камилла
2	Алиса
3	Аня
4

Но в этом случае 4 место у Карины. Получили противоречие с высказыванием Карины. Такого случая не может быть.

 

1	Камилла
2
3	Алиса
4	Аня

В этом случае у Карины 2 место.

В этом случае первое место у Камиллы

 

Случай 4. Пусть врет Алиса.

Тогда Алиса выступила хуже Ани, между Аней и Алисой есть еще одна девочка, 1 место у Камиллы. Значит, у Карины оставшееся 3 место

1	Камилла
2	Ани
3	Карина
4	Алиса

В этом случае первое место заняла Камилла

 

Получается, что первое место могли занять Камилла, Карина и Алиса. Не могла занять первое место только Аня

 

Критерии проверки: Правильный ответ – 1 балл.

5 класс. Продолжительность олимпиады – 2 часа 30 минут

 

1. Для проведения тренировочной командной олимпиады пригласили всех желающих школьников из 5 «М» класса (в котором всего 20 человек) и заранее объявили, что в каждой команде – от 6 до 8 человек. Когда подсчитали количество пришедших, то выяснилось, что выполнить это условие невозможно, при этом на две команды школьников хватало. Сколько человек могло придти на олимпиаду?

Решение. Ответ 17. Из условия следует, что школьников от 12 до 20. Но все варианты, кроме 17, не подходят: 12=6+6, 13=6+7, 14=6+8, 15=7+8, 16=8+8, 18=6+6+6, 19=6+6+7, 20=6+6+8. Вариант 17 подходит, так как это меньше трех команд и больше двух.

Критерии проверки: Верный ответ без обоснования – 1 балл. Верный пример и верное доказательство того, что меньше 17 быть не может – 3 балла.

 

2. Квадратный торт массой 900 г разрезали 4 разрезами на 9 прямоугольников. Докажите, что Паша сможет выбрать из девяти получившихся кусков три, не имеющие общих сторон, суммарная масса которых не меньше 300 г.

Решение: Раскрасим 9 частей торта в три цвета, как показано на рисунке. Вес одной из цветных «областей» не меньше 900:3 = 300 г, а она состоит из частей, не имеющих общих сторон.

Критерии проверки:

 

3. Петр, Роман и Сергей учатся на математическом, физическом и химическом факультетах. Если Петр – математик, то Сергей – не физик. Если Роман – не физик, то Петр – математик. Если Сергей – не математик, то Роман – химик. Кто из них учится на математическом факультете?

Решение: Ответ Роман – физик, Сергей – математик, Петр – химик. Если Роман – не физик, то Петр – математик, а Сергей – не физик, тогда нет ни одного физика. Поэтому Роман – физик. Если Сергей – не математик, то Роман – химик, что противоречит доказанному. Поэтому Сергей – математик. Остается Петр – химик.

Критерии проверки: Верный ответ без обоснования – 1 балл. Доказательство, что кто-то не может быть математиком или аналогичные продвижения – 3 балла.

 

4. Можно ли в 5 кружков на рисунке вписать по натуральному числу так, чтобы в каждой паре кружочков, соединенных отрезком, одно число делилось на другое, а в несоединенных парах такого не было?

Решение: Можно. Например, 60 и 90 в концах диагонали, 2, 3 и 5 – в остальных.

Критерии проверки: Верный пример – 7 баллов.

 

5. Большая свеча сгорает за час и стоит 60 рублей, а маленькая сгорает за 11 минут и стоит 11 рублей. Можно ли отмерить минуту, затратив не более, чем 200 рублей? Свечи можно зажигать и тушить в любой момент времени, но нельзя ломать или резать.

Решение: Одновременно зажжем две большие свечи и одну маленькую. Когда маленькая догорит, зажжем следующую, и т. д. Кроме того, в момент, когда погаснет пятая маленькая свеча, погасим и одну большую. От неё останется 5-минутный огарок (5 = 60 – 5*11), который мы зажжем, когда погаснет вторая большая свеча. Одна минута – это промежуток времени между моментом, когда догорит огарок, и моментом, когда догорит шестая маленькая свеча. Итого мы использовали две большие свечи и шесть маленьких, то есть потратили 60*2 + 6*11 = 186 рублей.

Критерии проверки: Верный пример 7 баллов. Неточности в описании (но по сути правильный алгоритм) – 5 баллов.

 

6 класс. Продолжительность олимпиады – 2 часа 30 минут

 

1. У Сени есть пять альбомов с фотографиями. Как-то, рассматривая фотографии, он заметил, что суммарное число фотографий в любых двух альбомах принимает только три значения: 75, 88 и 101. Сколько фотографий в каждом альбоме?

Решение: Ответ: 31, 44, 44, 44, 57. Для каждого альбома выпишем число фотографий в нём. Среди этих чисел есть одинаковые (иначе, добавляя одно к остальным, получили бы четыре разных суммы). Сумма двух одинаковых – число чётное, то есть 88. Значит, все одинаковые числа равны 44. Теперь ясно, что все чётные числа равны 44 (иначе вместе с 44 не получим 88), а каждое нечётное равно либо 75 – 44 = 31, либо 101 – 44 = 57, причём оба эти случая реализуются. Отсюда ответ.

Критерии проверки: Только ответ – 2 балла.

 

2. Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся в одну сторону с постоянными скоростями. В тот момент, когда велосипедист догнал пешехода, мотоциклист отставал от них на 6 км. В тот момент, когда мотоциклист догнал велосипедиста, пешеход отставал от них на 3 км. На сколько километров велосипедист обгонял пешехода в тот момент, когда пешехода догнал мотоциклист?

Решение: Ответ: на 2 км. В первый момент мотоциклист отставал от пешехода на 6 км, во второй – опережал на 3 км. Значит, мотоциклисту потребовалось в два раза больше времени, чтобы догнать пешехода, чем на то, чтобы после этого догнать велосипедиста. Соответственно, велосипедист к моменту «встречи» пешехода и мотоциклиста обогнал пешехода на 2/3 от 3 км, то есть на 2 км.

Критерии проверки: Только ответ – 2 балла. Если к ответу добавлялись рассуждения, в которых, по сути, автор фиксировал одну из скоростей без обоснования этого приема, то – 3 балла.

 

3. Было 12 карточек с надписями «Слева от меня – ровно 1 ложное утверждение», «Слева от меня – ровно 2 ложных утверждения», …, «Слева от меня – ровно 12 ложных утверждений». Петя разложил карточки в ряд слева направо в каком-то порядке. Какое наибольшее число утверждений могло оказаться истинными?

Решение: Ответ: 6. Пример. Числа на карточках идут в таком порядке: 7, 1, 8, 2, 9, 3, 10, 4, 11, 5, 12, 6. Тогда все утверждения с числами больше 6 – ложны, так как даже общее число карточек слева меньше заявленного на карточке. Значит, утверждение с числом 1 истинно, поэтому истинно и утверждение числом 2, и т. д. – истинны утверждения с числами не больше 6. Оценка (доказательство того, что больше не может быть). Если истинных утверждений больше 6, то ложных – меньше 6. Но тогда все карточки с числами от 6 до 12 «лгут», поэтому ложных – больше 6. Противоречие.

Критерии проверки: Только ответ «6 карточек» - 1 балл. Ответ с примером – 3 балла.

 

4. Можно ли в 6 кружков на рисунке вписать по натуральному числу так, чтобы в каждой паре кружочков, соединенных отрезком, одно число делилось на другое, а в несоединенных парах такого не было?

Решение: Ответ: нельзя. Допустим, мы расставили числа нужным образом. Пусть в большом треугольнике стоят числа a ≥ b ≥ c, и b еще соединено отрезком с числом d в малом треугольнике. Ясно, что a кратно b, a b кратно c. Если b кратно d, то и a кратно d. Но a и d не соединены отрезком. А если, наоборот, d кратно b, то d кратно и c, что по той же причине противоречит условию.

Критерии проверки:

 

5. Большая свеча сгорает за час и стоит 60 рублей, а маленькая сгорает за 11 минут и стоит 11 рублей. Можно ли отмерить минуту, затратив не более, чем 150 рублей? Свечи можно зажигать и тушить в любой момент времени, но нельзя ломать или резать.

Решение: Зажжем одну большую свечу и последовательно, одну за другой, пять маленьких. В тот момент, когда погаснет пятая маленькая свеча, зажжем сразу две маленьких и погасим одну из них одновременно с тем, как погаснет большая свеча. Тем самым мы получим два огарка, каждый из которых рассчитан на 6 минут. Теперь зажжем новую маленькую свечу и последовательно, один за другим, эти два огарка. Одна минута – это промежуток времени между моментом, когда догорит маленькая свеча, и моментом, когда догорит второй огарок. Итого мы использовали одну большую свечу и 5 + 2 + 1 = 8 маленьких, то есть потратили 60 + 8*11 = 148 рублей.

Критерии проверки: Если рассуждения сводились к тому, что надо взять одну свечу за 60р и восемь за 11 рублей, без дальнейших продвижений, то за это ставился 1 балл.