Мотивация познавательной деятельности путём рассмотрения софизмов, парадоксов, задач со «скрытой» ошибкой
Развитию познавательной активности учащихся, сознательному усвоению учебного материала помогает рассмотрение математических софизмов. Математический софизм — это ложное утверждение, которое имеет вид верного. Каждый софизм имеет одну или несколько скрытых ошибок. Найти ошибку в софизме — означает осознать её, а осознание ошибки предупреждает повторение этой ошибки в других математических рассуждениях. Разбор софизмов способствует развитию наблюдательности, критического мышления учащихся, заставляет внимательно продвигаться вперёд, следить за точностью формулировок, правильностью записей и обобщений, за правильностью выполнения определённых операций.
Так, при изучении в 8 классе темы «Арифметический квадратный корень» можно разыграть настоящую математическую комедию, которая стимулирует познавательную активность, повысит интерес к изучению темы, поможет развитию внимания учащихся.
Математическая комедия: 2 = 3. Запишем очевидное равенство
4-10 = 9-15.
К обеим частям этого равенства прибавим число 6 
. Получим числовое выражение :
4-10 + 6 = 9-15 + 6
Выполним очевидные преобразования:
Извлекая квадратный корень из обеих частей последнего равенства, получим:
Прибавим к обеим частям равенства число 
получим: 2 = 3.
Найдите ошибку в приведённых рассуждениях.
2) Математическая комедия: 2
2 = 5. Запишем очевидное равенство
16-36 = 25- 45.
Прибавив к обеим частям равенства одинаковые числа, получим:
16-36 + 
-= 25-45 +
Выполним очевидные преобразования:
откуда 
, поэтому 4 = 5.
Найдите ошибку в приведённых рассуждениях.
Приведённые математические софизмы должны предостеречь учащихся от необдуманных преобразований выражений, содержащих квадрат двучлена.
При изучении темы «Числовые неравенства» можно предложить учащимся следующие софизмы:
1) Софизм «4>12».
К обеим частям очевидного неравенства 7 > 5 прибавим число -8.
Получим:
7-8>5-8, или -1>-3.
Умножив последнее неравенство на -4, получим:
(-1)• (-4)>(-3)• (-4), или 4>12.
Найдите ошибку в приведённых рассуждениях.
2) Софизм «Нуль больше любого положительного числа».
Пусть а — произвольное положительное число. Тогда а-1<а. Умножив обе части неравенства на (-а), получим:
-а2 +а<-а2.
Прибавив к обеим частям полученного неравенства а2, получим: а< 0.
Найдите ошибку в приведённых рассуждениях.
При изучении темы «Логарифмические неравенства», можно предложить математический софизм « 3 > 7 ».
Прологарифмировав очевидное неравенство
В чём состоит ошибочность рассуждений?
Одним из удивительных изобретений человечества являются парадоксы.
Под парадоксом понимают рассуждение, в котором формулируется вопрос, требующий ответа «да» или «нет», но ни один из них не подходит. Иначе можно сказать так: в процессе доказательства могут создаться условия (ситуации) для одновременного доказательства истинности и ложности определённого высказывания. При этом доказательство истинности высказывания непременно приводит к его ложности, и наоборот. Парадоксы открыли в глубокой древности, и, вероятно, тогда же возникли важные проблемы о том, в чём подводят некоторые обычные методы рассуждений.
Задача 1. Парадокс «Лжец» древнегреческого жреца, философа и поэта Эпименида (VII в. до н. э.), который жил на острове Крит. Великий парадокс Эпименида заключается в словах «То, что я утверждаю сейчас — ложно». Докажите, что это утверждение является парадоксом, то есть если оно истинно, то оно и ложно, и наоборот.
Примечание. Впоследствии парадокс Эпименида приобрёл более современное звучание: «Мысль изречённая есть ложь!», но если задуматься — суть парадокса осталась прежней.
Задача 2. Парадокс Рассела — парадокс, сформулированный известным британским логиком Бертраном Расселом в 1901 году. Этот парадокс называют также «парадоксом брадобрея». Одному деревенскому брадобрею приказали брить всякого, кто сам не бреется, и не брить того, кто сам бреется. Как он должен поступить с самим собой?
Задача 3. Парадокс «Протагор и Еватл». У знаменитого софиста Протагора был ученик Еватл, обучавшийся праву. По заключённому между ними договору Еватл должен был заплатить за обучение лишь в том случае, если выиграет свой первый судебный процесс. Если же он этот процесс проиграет, то вообще не обязан платить. Но закончив обучение, Еватл не стал участвовать в процессах. Это длилось долго, терпение Протагора иссякло, и он подал на своего ученика в суд. Таким образом, для Еватла это был первый процесс. Протагор рассуждал так:
Каким бы ни было решение суда, Еватл должен будет заплатить мне. Он либо выиграет этот свой первый процесс, либо проиграет. Если выиграет, то заплатит в силу нашего договора. Если проиграет, то заплатит согласно решению суда.
Еватл же ответил Протагору:
Действительно, я либо выиграю процесс, либо проиграю его. Если выиграю, то решение суда освободит меня от обязанности платить. Если решение суда будет не в мою пользу, значит, я проиграл свой первый процесс и не заплачу в силу нашего договора.
Кто прав: Протагор или Еватл?
Примечание. Существует ещё много популярных формулировок этого парадокс
