Тема 1. Лекция 2. Матрицы и действия над ними

Тема 1.

Лекция 2. Матрицы и действия над ними.

Основные вопросы

1. Матрицы и действия над ними.

1.1. Общие определения, связанные с понятием матрицы.

1.2. Действия над матрицами.

2. Обратная матрица.

1. Матрицы и действия над ними.

Матрицы, впервые появившиеся в середине 19-го века в работах англий-ских математиков У. Гамильтона (1805-1865) и А. Кэли (1821-1895), в настоя-щее время весьма широко используются в прикладной математике, они зна-чительно упрощают рассмотрение сложных систем уравнений.

1.1. Общие определения, связанные с понятием матрицы.

Если при рассмотрении систем линейных уравнений из коэффициентов при неизвестных составить таблицы вида

или , то такие таблицы называются матрицами.

В общем случае матрицей называется прямоугольная таблица, состав-ленная из чисел или каких-либо других объектов. В дальнейшем будем рассматривать матрицы, составленные из вещественных чисел.

Матрицы обозначают одной буквой, например,

где круглые скобки, или двойные черточки – знак матрицы,

а числа а11 , а12 ,… - элементы матрицы.

Каждая матрица имеет определенные размеры (m×n) , т. е. количество строк m и количество столбцов n .

В общем, матрица имеет вид

, т. е. номер строки i меняется от 1 до m , номер столбца j – от 1 до n .

Разновидности матриц.

Если число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадрат-ной , тогда говорят о её порядке. Квадратная матрица имеет определитель, составленный из элементов матрицы и обозначаемый (например, для матрицы А) .

Не следует смешивать понятия определителя и матрицы. Матрица есть только таблица, а определитель есть число, и он всегда квад-ратной формы.

Если определитель квадратной матрицы отличен от нуля, то матрица на-зывается невырожденной, если же он равен нулю, то матрица – вырожден-ная.

Квадратная матрица, у которой равны нулю все элементы, кроме стоя-щих на главной диагонали, называется диагональной .

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной и обычно обозначается буквой Е.

Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой (нуль-матрицей).

Матрица может содержать только один столбец, тогда она называется матрицей-столбцом, или только одну строку, тогда она называется матри-цей-строкой.

Матрицы, имеющие одинаковое число строк и число столбцов, а также равные соответствующие элементы, называются равными .

Так, если , то А = В при условии, что

Матрицы А и В называются соответственными, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Наглядно это можно показать так (рис.3.3):

к n

m A и

В к

Рис.3.3. Схематическое представление соответственных матриц.

В процессе дальнейшего изучения укажем ещё ряд матриц (симметри-ческая, транспонированная и др.).

1.2. Действия над матрицами.

Над матрицами можно производить следующие действия (операции): сложение, умножение матриц, а также обращение матриц.

1. Сложение матриц. Заметим, что складывать можно только матрицы одинаковых размеров.

Определение 3. Суммой двух матриц и называется матрица элементы которой определяются равенством .

Обозначается : С=А+В .

Пример 1. .

Сложение матриц подчиняется переместительному закону, т. е. А+В=В+А, и сочетательному закону, т. е. (А+В)+С=А+(В+С).

2. Умножение матриц на число.

Определение 4. Произведением матрицы А на число λ называется ма-трица

Матрица записывается как -А и называется матрицей, противоположной матрице А.

3. Умножение матриц. Отметим, что перемножать можно только соответственные матрицы .

Определение 5. Произведением имеющей m строк и k столбцов, на матрицу , имеющей k строк и n столбцов, называется матрица , имеющая m строк и n столбцов, у которой элемент Cij равен сумме произведений элементов i – той строки матрицы А и j - го столбца матрицы В, т. е.

.

Обозначается .

Пример 2.

Можно показать, что умножение матриц подчиняется сочетательному зако-ну и распределительному закону но не подчиняется переместительному закону, т. е. АВ ≠ ВА.

Замечание. Единичная матрица Е перестановочна с любой матрицей А того же порядка, что и матрица Е, т. е. АЕ = ЕА = А, т. е. только в этом случае умножение матриц подчиняется пере-местительному закону.

Убедимся в этом на примере матриц второго порядка

2. Обратная матрица. Рассмотрим так называемую обратную матрицу, понятие которой вводится только для квадратной матрицы.

Определение 6. Матрица А-1 называется обратной для квадратной мат-рицы А , если АА-1 = А-1А = Е.

Не любая матрица может иметь обратную.

Справедлива следующая теорема: Для существования обратной матрицы А-1 необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А был не равен нулю () , т. е. чтобы матрица А была невырожденной . При составлении обратной матрицы осуществляется, так называемое, транспонирование матрицы.

Определение 7. Матрица АТ называется транспонированной по от-ношению к матрице А , если столбцы матрицы А явля-ются строками матрицы АТ . Таким образом, транспо-нирование – это переход от матрицы А к АТ, заклю-чающийся в замене соответствующих столбцов мат-рицы А строками.

Пример 3. Пусть

. Транспонированной матрицей АТ будет .

Алгоритмы составления обратной матрицы.

1. Вычислить определитель матрицы А , т. е. (если ∆ ≠ 0, то мат-рица А имеет обратную).

2. Вычислить алгебраические дополнения всех элементов определителя матрицы А, т. е. Аij .

3. Составить матрицу В путем замены в матрице А каждого элемента его алгебраическим дополнением, т. е. аij заменить на Аij .

4. Составить транспонированную матрицу ВТ по отношению к матрице В , поменяв местами в матрице В её строки и столбцы.

5. Разделив все элементы матрицы ВТ на определитель ∆ , составить обратную матрицу А-1, т. е.

.

6. Проверка. Найти произведение АА-1 , которое должно быть равно матрице Е .

Пример 4. Найти матрицу, обратную матрице

Решение.

1) , следовательно существует А-1 ;

2)

3)

4)

5)

6) Проверка.

Вывод: Обратная матрица А-1 составлена правильно.