Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике.

7-11 класс.

Муниципальный этап региональной олимпиады школьников по математике.

5-6 класс.

Краснодарский край. 19 ноября 2015г.

Решения олимпиадных заданий

Общие принципы оценивания олимпиадных заданий

Каждая задача оценивается целым числом баллов от 0 до 7. Итог подводится по сумме баллов, набранных участником.

Основные принципы оценивания приведены в таблице.

Баллы

Правильность (ошибочность) решения

7

Полное верное решение.

6-7

Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение.

5-6

Решение в целом верное. Однако оно содержит ряд ошибок, либо не рассмотрение отдельных случаев, но может стать правильным после небольших исправлений или дополнений.

4

Верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев.

2-3

Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи.

1

Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения (или при ошибочном решении).

0

Решение неверное, продвижения отсутствуют.

0

Решение отсутствует.

Помимо этого обращаем внимание на следующее.

а) любое правильное решение оценивается в 7 баллов. Недопустимо снятие баллов за то, что решение слишком длинное, или за то, что решение школьника отличается от приведенного в методических разработках или от других решений, известных жюри; при проверке работы важно вникнуть в логику рассуждений участника, оценивается степень ее правильности и полноты;

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

б) олимпиадная работа не является контрольной работой участника, поэтому любые исправления в работе, в том числе зачеркивание ранее написанного текста, не являются основанием для снятия баллов; недопустимо снятие баллов в работе за неаккуратность записи решений при ее выполнении;

в) баллы не выставляются «за старание Участника», в том числе за запись в работе большого по объему текста, но не содержащего продвижений в решении задачи;

г) победителями олимпиады в одной параллели могут стать несколько участников, набравшие наибольшее количество баллов, поэтому не следует в обязательном порядке «разводить по местам» лучших участников олимпиады.

После опубликования предварительных результатов проверки олимпиадных работ Участники имеют право ознакомиться со своими работами, в том числе сообщить о своем несогласии с выставленными баллами. В этом случае Председатель жюри школьной олимпиады назначает члена жюри для повторного рассмотрения работы. При этом оценка по работе может быть изменена, если запрос Участника об изменении оценки признается обоснованным.

По результатам олимпиады создается итоговая таблица по каждой параллели с указанием балла набранного каждым Участником по каждой задаче.

Задания по математике.

1. Назовём натуральное число «хорошим», если его десятичная запись состоит из всех возможных четных цифр, причем каждая цифра встречается ровно один раз. Сколько всего существует «хороших» натуральных чисел?

2. Гарри Поттер построил куб ABCDA1B1C1D1 и отметил две диагонали каких-то двух различных граней, по одной на каждой из них. Какие значения может принимать градусная мера угла между прямыми, содержащими отмеченные диагонали?

3. Шестизначное натуральное число делится на 7 нацело. Докажите, что если последнюю его цифру переставить в начало (поставить перед первой), то полученное число тоже будет делиться на 7 нацело.

4. Решите уравнение

То есть, найдите всевозможные значения пар (x; y), при подстановке которых, данное уравнение обращается в верное равенство.

5. В треугольнике ABC углы A и С равны по 40 градусов. Биссектриса угла А пересекает сторону BC в точке D. Докажите, что AC = AD + BD.

6. В каждой клетке таблицы 5×5 стоят знаки «+» или «−» (в одной клетке – один знак). Разрешается положить крест, состоящий из пяти клеток, центральной клеткой на любую клетку таблицы. При этом, все знаки в клетках таблицы, закрытые крестом — меняются на противоположные. Можно ли с помощью таких операций поменять знаки во всех клетках таблицы на противоположные?

7. Решите систему уравнений

8. Петя на перемене перемножил все натуральные числа от 1 до 16 включительно и записал ответ на доске, но кто-то стёр 5 цифр, заменив каждую стёртую цифру на «*». В результате на доске оказалось записано:

2092278*88****.

Восстановите стертые цифры. Обоснуйте свой ответ.

9. К десятичной записи числа справа дописали десятичную запись числа . Сколько цифр содержит получившееся число? Обоснуйте свой ответ.

10. Окружность, проходящая через вершины A и C остроугольного треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках C1 и A1 соответственно. Точка F — центр описанной окружности треугольника А1BC1 . Докажите, что BF ^ AC.

11. Каждая из расположенных по кругу 2014 ламп может находиться ровно в одном из двух состояний: гореть или не гореть. Вначале горит только одна лампа. За один ход можно выбрать любую группу из 19 расположенных подряд ламп и у каждой из них поменять состояние на противоположное. Можно ли с помощью таких ходов добиться того, чтобы горели все 2014 ламп? Обоснуйте свой ответ.

12. Решите уравнение

13. Можно ли выбрать 10 различных натуральных чисел так, чтобы каждое из них делило нацело сумму остальных? Обоснуйте свой ответ.

14. Докажите, что если целые числа a, b, c таковы, что , то их произведение abc кратно 60. Обоснуйте свой ответ.

15. В пространстве заданы две точки А и B, расстояние между которыми равно 2014. Множество M состоит из всех таких точек X, для которых скалярное произведение векторов и равно 2015. Найдите наибольшее расстояние между точками заданного множества M.

16. Набор чисел: 1, 2, 3, ..., 2014 разрешается записать в строчку (слева направо) в таком порядке, что если где-то (не на первом месте) записано число m, то где-то слева от него встретится хотя бы одно из чисел m + 1 или m – 1. Сколькими способами это можно сделать? Обоснуйте свой ответ.