Самостоятельная работа 5

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 5

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ И ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ.

Сдать 1.04.2012

ВАРИАНТ 1.

ЗАДАНИЕ 1. На параболе взяты две точки с абсциссами и . Через эти точки

проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней параллельна секущей?

ЗАДАНИЕ 2. Зависимость температуры Т тела от времени задана уравнением Т=½ t2-2t+3. C какой

скоростью нагревается это тело в момент времени t=10 с?

ЗАДАНИЕ 3. Найдите величину силы F, действующую на точку массой m, движущуюся по закону (м) при t=3 сек.

ЗАДАНИЕ 4. Вычислить приближенно при помощи дифференциала: а) в) cos 1510

ЗАДАНИЕ 5. Найти d2y :

ВАРИАНТ 2.

ЗАДАНИЕ 1. Определить, под каким углом кривая пересекает ось абсцисс.

ЗАДАНИЕ 2 Зависимость пути от времени при прямолинейном движении тела массой 12 кг задана

уравнением s=t2+2t+3. Найти кинетическую энергию тела Ek= через 5 секунд после начала движения.

ЗАДАНИЕ 3. Доказать, что если тело движется по закону , то его ускорение равно

пройденному пути.

ЗАДАНИЕ 4. Вычислить приближенно при помощи дифференциала: а) в)

ЗАДАНИЕ 5. Найти d2y :

ВАРИАНТ 3.

ЗАДАНИЕ 1. Найти точки, в которых касательные к графикам функций и

параллельны.

ЗАДАНИЕ 2. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении двух тел задана

уравнениями s1=⅔ t3+t2-t+14; s2=⅔ t3-½ t2+11t-8. В какой момент времени их скорости будут равны?

ЗАДАНИЕ 3. Тело массой m движется по закону . Доказать, что сила,

действующая на тело, постоянна.

ЗАДАНИЕ 4. Вычислить приближенно при помощи дифференциала: а) в) log11

ЗАДАНИЕ 5. Найти d2y :

ВАРИАНТ 4.

ЗАДАНИЕ 1. Найдите точки, в которых касательная к параболе перпендикулярна прямой

.

ЗАДАНИЕ 2. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении двух тел задана

равнениями s1=⅓ t3+2t2-45; s2=½ t2+4t+115. В какой момент времени их скорости будут равны?

ЗАДАНИЕ 3. Найти момент времени t, в который ускорение точки, движущейся прямолинейно по

закону , равно нулю. Какова при этом скорость точки?

ЗАДАНИЕ 4. Вычислить приближенно при помощи дифференциала: а) в) e2,01

ЗАДАНИЕ 5. Найти d2y :

ВАРИАНТ 5.

ЗАДАНИЕ 1. Записать уравнения касательных к кривой в точках пересечения её с осью

ОХ.

ЗАДАНИЕ 2. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки задана уравнением

s=⅓ t3-2t2+3. Вычислить ее скорость в момент времени t=3 сек.

ЗАДАНИЕ 3. Найти скорость и ускорение точки, движущейся прямолинейно по закону

в момент t=1.

ЗАДАНИЕ 4. Вычислить приближенно при помощи дифференциала: а) в) tan590

ЗАДАНИЕ 5. Найти d2y :

ВАРИАНТ 6.

ЗАДАНИЕ 1. Записать уравнение касательных к гиперболе в точках с абсциссами ,

.

ЗАДАНИЕ 2. Количество электричества, протекшее через проводник за t секунд, определяется по

формуле Q=2t2+3t+1 (кулонов). Найти силу тока в конце пятой секунды.

ЗАДАНИЕ 3. Найти скорость и ускорение точки, движущейся прямолинейно по закону

в момент t=1.

ЗАДАНИЕ 4. Вычислить приближенно при помощи дифференциала: а) в) arcsin 0,6

ЗАДАНИЕ 5. Найти d2y :

ВАРИАНТ 7.

ЗАДАНИЕ 1. У параболы проведена касательная в точке (2; 1). Найти угол наклона

касательной к оси ОХ.

ЗАДАНИЕ 2. Точка движется прямолинейно по закону s= . Найти ее скорость в

момент t=2,25.

ЗАДАНИЕ 3. Точка движется прямолинейно по закону . Показать, что ускорение движения

пропорционально кубу скорости.

ЗАДАНИЕ 4. Вычислить приближенно при помощи дифференциала: а) в)

ЗАДАНИЕ 5. Найти d2y :

ВАРИАНТ 8.

ЗАДАНИЕ 1. Найти координаты точки, в которых касательная к параболе образует

угол в 1350 с осью ОХ.

ЗАДАНИЕ 2. Движение точки задана уравнением s=¼ t4-4t3+16t2. В какие моменты времени точка

была в начальном пункте? В какие моменты времени скорость ее равна нулю?

ЗАДАНИЕ 3. Определить момент t, когда ускорение прямолинейного движения, совершаемого по

закону , равно нулю. Какова при этом скорость?

ЗАДАНИЕ 4. Вычислить приближенно при помощи дифференциала: а) в) arctan0,95

ЗАДАНИЕ 5. Найти d2y :

ВАРИАНТ 9.

ЗАДАНИЕ 1. Найти угол наклона касательной к кубической параболе в точке с абсциссой

.

ЗАДАНИЕ 2. Пуля вылетает из пистолета вверх со скоростью 300 м/сек. Найти скорость пули в

момент t=10 сек и определить, сколько времени пуля поднимается вверх. Сопротивление воздуха не учитывается. ( Высота s (м) , которую достигает за t секунд тело, брошенное вертикально вверх со скоростью v0 м/с, орпределяется из формулы s=v0 t-4,9t2 )

ЗАДАНИЕ 3. Точка движется так, что её скорость , где . Найти ускорение

движения как функцию скорости.

ЗАДАНИЕ 4. Вычислить приближенно при помощи дифференциала: а) в) arcsin0,54

ЗАДАНИЕ 5. Найти d2y :

ВАРИАНТ 10.

ЗАДАНИЕ 1. Какой угол образует с осью абсцисс касательная к параболе ,

проведенная в точке М0(2; 3)? Составить уравнение этой касательной.

ЗАДАНИЕ 2. С крыши дома, имеющего высоту, равную 50 м, брошен вертикально вверх мяч со

скоростью 20 м/с. Найти: 1) скорость подъема в конце второй секунды; 2) момент начала падения; 3) наибольшую высоту подъема относительно поверхности земли. ( Высота s (м) , которую достигает за t секунд тело, брошенное вертикально вверх со скоростью v0 м/с, орпределяется из формулы s=v0 t-4,9t2 )

ЗАДАНИЕ 3. Точка массы m движется по закону - постоянные

величины. Доказать, что сила, действующая на точку, постоянна.

ЗАДАНИЕ 4. Вычислить приближенно при помощи дифференциала: а) в)

ЗАДАНИЕ 5. Найти d2y :

ВАРИАНТ 11.

ЗАДАНИЕ 1. Записать уравнения нормалей к кривой в точках пересечения её с осью

ОХ.

ЗАДАНИЕ 2. Тело, масса которого m=3 кг, движется прямолинейно по закону s=1+t+t2, где s - (см), а

t - (сек). Найти кинетическую энергию (Ek= ) тела через 5 секунд после начала движения.

ЗАДАНИЕ 3. Вращающееся маховое колесо, задерживаемое тормозом, за t сек поворачивается на

угол , где a, b, c- положительные постоянные. Определить угловую скорость и ускорение вращение колеса. Когда колесо остановится?

ЗАДАНИЕ 4. Вычислить приближенно при помощи дифференциала: а) в) sin930

ЗАДАНИЕ 5. Найти d2y :

ВАРИАНТ 12.

ЗАДАНИЕ 1. Составьте уравнения касательных к графику функции ,

параллельных прямой .

ЗАДАНИЕ 2. Угол поворота шкива в зависимости от времени определяется из равенства φ=t2+3t-5.

Найти: 1) среднюю угловую скорость в промежутке времени от t=3 до t=5. 2) угловую скорость в момент времени t=5.

ЗАДАНИЕ 3. Определить силу, под действием которой материальная точка массы m совершает

колебательное движение по закону

ЗАДАНИЕ 4. Вычислить приближенно при помощи дифференциала: а) в) log101

ЗАДАНИЕ 5. Найти d2y :

ВАРИАНТ 13.

ЗАДАНИЕ 1. Составьте уравнения касательных к графику функции , угловые

коэффициенты которых равны 8.

ЗАДАНИЕ 2. Тело вращается вокруг оси, причем закон изменения угла φ в зависимости от времени t

задан равенством φ=0,1t2. Найти угловую скорость вращения тела в момент t=5.

ЗАДАНИЕ 3. Тело движется по прямой линии по закону . Определить скорость и

ускорение движения тела в момент времени t.

ЗАДАНИЕ 4. Вычислить приближенно при помощи дифференциала: а) в) e0,25

ЗАДАНИЕ 5. Найти d2y :

ВАРИАНТ 14.

ЗАДАНИЕ 1. Найдите точки, в которых касательная к параболе параллельна прямой

.

ЗАДАНИЕ 2. Угол φ, на который поворачивается колесо через t секунд, определяется из равенства

φ=аt2-вt+с, где а, в,с- постоянные величины. Найти: 1) угловую скорость вращения колеса; 2) момент его остановки.

ЗАДАНИЕ 3. Вращающееся маховое колесо, задерживаемое тормозом, за t секунд поворачивается

на угол - постоянные положительные величины. Определить: 1) угловую скорость и ускорение вращения; 2) момент остановки колеса.

ЗАДАНИЕ 4. Вычислить приближенно при помощи дифференциала: а) в) cos590

ЗАДАНИЕ 5. Найти d2y :

ВАРИАНТ 15.

ЗАДАНИЕ 1. Докажите, что касательная, проведенная к графику функции , ни в какой точке

не может быть параллельна оси ОХ.

ЗАДАНИЕ 2. Тело движется прямолинейно по закону s= . Найти: 1) скорость движения

точки для любого момента времени; 2) при каких значениях t скорость точки рана нулю.

ЗАДАНИЕ 3. Высота s(м), которой достигает за t секунд тело, брошенное вертикально вверх со

скоростью м/сек, определяется уравнением . Найти скорость и ускорение движения в моменты t=3 сек и t=10 сек, если м/сек. (сопротивление воздуха не учитывается)

ЗАДАНИЕ 4. Вычислить приближенно при помощи дифференциала: а) в) log9,5

ЗАДАНИЕ 5. Найти d2y :

ВАРИАНТ 16.

ЗАДАНИЕ 1. Под каким углом к положительному направлению оси ОХ проведена касательная к

кривой в точке её с абсциссой, равной ?

ЗАДАНИЕ 2. Зависимость между количеством х вещества, получаемого в некоторой химической

реакции, и временем t выражается уравнением х= А(1-е-кt). Определить скорость реакции.

ЗАДАНИЕ 3. Найти силу F, действующую на материальную точку массы m, которая движетс

я прямолинейно по закону .

ЗАДАНИЕ 4. Вычислить приближенно при помощи дифференциала: а) cot290 в)

ЗАДАНИЕ 5. Найти d2y :

ВАРИАНТ 17.

ЗАДАНИЕ 1. Составьте уравнение касательной, проведенной к графику функции в точках

его пересечения с осью Оу.

ЗАДАНИЕ 2. Найти скорость точки, движущейся прямолинейно по закону s= в момент

времени t=1.

ЗАДАНИЕ 3. Тело движется прямолинейно по закону , где a и b- постоянные числа.

Показать, что ускорение его движения всегда равно пройденному пути.

ЗАДАНИЕ 4. Вычислить приближенно при помощи дифференциала: а) log0,9 в) 41,2

ЗАДАНИЕ 5. Найти d2y :

ВАРИАНТ 18.

ЗАДАНИЕ 1. В какой точке касательная к графику функции параллельна прямой

?

ЗАДАНИЕ 2. Найти скорость точки, движущейся прямолинейно по закону s=2sint в момент времени

t=π/4.

ЗАДАНИЕ 3. Тело совершает прямолинейное движение по закону . Определить скорость и

ускорение движения в момент t=0

ЗАДАНИЕ 4. Вычислить приближенно при помощи дифференциала: а) в) 22,1

ЗАДАНИЕ 5. Найти d2y :

ВАРИАНТ 19.

ЗАДАНИЕ 1. В какой точке касательная к параболе наклонена к оси ОХ под углом

00?

ЗАДАНИЕ 2. Определить момент t, когда скорость прямолинейного движения, совершаемого по

закону s= - t3+3t2-5, равна нулю.

ЗАДАНИЕ 3. Пуля, попадая в твердое тело, движется по закону - скорость,

с которой пуля входит в тело; k- постоянная положительная величина. Найти ускорение движения пули.

ЗАДАНИЕ 4. Вычислить приближенно при помощи дифференциала: а) в)

ЗАДАНИЕ 5. Найти d2y :

ВАРИАНТ 20.

ЗАДАНИЕ 1. В какой точке касательная к параболе наклонена к оси ОХ под углом

450?

ЗАДАНИЕ 2. Пуля вылетает из пистолета вверх со скоростью 300 м/сек. Найти скорость пули в

момент t=10 сек и определить, сколько времени пуля поднимается вверх. Сопротивление воздуха не учитывается. ( Высота s (м) , которую достигает за t секунд тело, брошенное вертикально вверх со скоростью v0 м/с, орпределяется из формулы s=v0 t-4,9t2 )

ЗАДАНИЕ 3. В период разгона маховик вращается по закону . Через какое время после

начала движения угловая скорость маховика будет равна рад/сек? Чему будет равно угловое ускорение тела в этот момент?

ЗАДАНИЕ 4. Вычислить приближенно при помощи дифференциала: а) log21,9 в)

ЗАДАНИЕ 5. Найти d2y :