Устойчивость пузырьковых кластеров и многопузырьковая сонолюминесценция

УДК 533.2

УСТОЙЧИВОСТЬ ПУЗЫРЬКОВЫХ КЛАСТЕРОВ
И МНОГОПУЗЫРЬКОВАЯ СОНОЛЮМИНЕСЦЕНЦИЯ

Институт механики УНЦ РАН

В последнее время большое внимание уделяется исследованию явления сонолюминесценции как одиночного пузырька, так и множества пузырьков (так называемых пузырьковых облаков или кластеров), что объясняется важными перспективами использования этого явления в химической технологии, например, инициирование и ускорение химических реакций, дегазация жидкости и т. п. Интерес к исследованию пузырьковых кластеров также вызван тем, что кластер более устойчив к сильным акустическим полям, чем одиночный пузырек. Экспериментальное исследование динамики пузырьков в кластере связано с большими трудностями, поэтому развитие моделей, описывающих колебания пузырькового кластера под действием акустического поля, весьма важно.

Рассматривается множество газовых пузырьков, сосредоточенных в конечном объеме безграничной слабосжимаемой вязкой жидкости. Пузырьки условно помещаются внутрь жидкой сферы. Граница этой сферы принимается за условную границу кластера. Тогда кластер можно интерпретировать как большую каплю, содержащую в себе жидкость и множество микропузырьков. Считаем, что размеры кластера меньше длины акустической волны, тогда волны, распространяющиеся в нем, будут успевать выровнять давление, и его можно считать однородным [1]. Радиальные движения такой условной границы кластера и радиусов пузырьков в случае полидисперсного кластера (то есть кластера, содержащего пузырьки различных начальных радиусов) удовлетворяют следующей системе уравнений [2]:

,	(1)
, ,	(2)
,	(3)
, ,	(4)
.	(5)

Здесь n – число фракций с различными начальными радиусами пузырьков, R=R(t) – радиус кластера, ai=ai(t) – радиус пузырька в i-той фракции, pc=pc(t) – давление жидкости внутри кластера, pai – давление газа около стенки пузырька i-той фракции, pI – внешнее давление, rl – плотность жидкости, Cl – скорость звука в жидкости, p0 – начальное давление в жидкости, DP – амплитуда внешнего давления, w – угловая частота, a0i – начальный радиус пузырька i-той фракции, s – коэффициент поверхностного натяжения, – коэффициент динамической вязкости жидкости, – показатель адиабаты, Ni – число пузырьков в i-той фракции и t – время. Случай монодисперсного кластера (кластера с пузырьками одного начального радиуса) имеем при n=1.

В данной работе исследуется диффузионная устойчивость пузырьков в двухфракционном кластере, то есть в кластере, содержащем пузырьки двух различных начальных радиусов. Под диффузионной устойчивостью понимаем, что масса газа в пузырьке не меняется за период колебания акустического поля.

При расчете средней концентрации газа в жидкости около стенки пузырька i-ой фракции, которая является функцией, зависящей от радиусов пузырьков обеих фракций, использовались формулы, аппроксимирующие уравнение диффузии [3], где радиус пузырьков ai находится из системы уравнений (1)-(5) при n=2. Здесь и далее использовались следующие значения физических параметров: rl=103 кг/м3, Сl=1500 м/с, p0=105 Па, s=0.073 Н/м, m=10-3 Па. с, g=1.4, значение начального радиуса пузырька – R0=10-3 м и угловая частота – w=2p.(20 кГц).

(а) Осредненная газовая концентрация около стенки пузырьков в двух фракциях в зависимости от начальных радиусов	(b) Кривые равновесия для пузырьков двух фракций при =0.12
Рис.1. Диффузионная устойчивость в двухфракционном кластере для DP=1.5 атм

На рис. 1(a) показана осредненная концентрация газа около стенки пузырька для каждой фракции как функция начальных радиусов a01, a02 для амплитуды внешнего давления DP = 1.5 атм. Здесь число пузырьков в фракциях N1=3000 и N2=7000. Темная поверхность соответствует пузырькам первой фракции, светлая поверхность – второй фракции. Тогда, для некоторого диапазона значений начальной концентрации газа в жидкости существуют равновесные кривые , соответствующие случаю, когда масса газа в пузырьке за период не меняется.

На рис. 1(b) изображены равновесные кривые для = 0.12. Стрелки показывают направление изменения начального радиуса пузырька (рост или растворение): толстые стрелки – для первой фракции, тонкие стрелки – для второй фракции. Заметим, что равновесные кривые для различных фракций пересекаются только при a01=a02 (случай монодисперсного кластера). Таким образом, возможны три различных сценария: пузырьки в обеих фракциях будут растворяться или расти; пузырьки одной фракции будут растворяться или расти, а пузырьки другой фракции будут стремиться к своему равновесному радиусу; пузырьки обеих фракций будут стремиться к одному и тому же радиусу. Это означает, что со временем кластер станет либо монодисперсным, либо исчезнет вследствие растворения пузырьков, либо будет расти, пока пузырьки не разрушатся из-за неустойчивости поверхности.

В данной работе было проведено также исследование устойчивости сферической поверхности пузырька в монодисперсном кластере. Для этого считаем, что пузырьки совершают колебания с нарушением сферической симметрии и возмущенная поверхность пузырька имеет следующий вид:

,

где a=a(t) – сферический радиус пузырька (радиус пузырька при сферически-симметричных колебаниях), a2=a2(t) – амплитуда возмущения поверхности, Y2 – поверхностная сферическая гармоника второго порядка.

(a)	(b)
Рис. 2. Фазовые диаграммы неустойчивых колебаний пузырьков в монодисперсном кластере в пространстве параметров (DP,a0)

Были рассчитаны области устойчивых колебаний поверхности пузырьков в кластере в пространстве параметров (DP,a0) (рис.2). Здесь сферический радиус пузырька a=a(t) находился из системы уравнений (1)-(5) при отсутствии акустического излучения (Сl®¥) и вязкости (m=0), а амплитуда возмущения поверхности для второй моды a2=a2(t) рассчитывалась по уравнению Плессета [4], которое с помощью подстановки может быть сведено к виду уравнения Хилла:

,

(6)

где

.

Здесь m – номер сферической гармоники (в нашем случае m = 2). Известно (см., например, [5]), что для уравнения Хилла имеет место устойчивость (все решения ограничены при , если для постоянной Ляпунова выполнено неравенство или неустойчивость показательного типа, если . Постоянная Ляпунова имеет следующий вид

где – период функции (то есть в нашем случае – период колебания пузырька); – два линейно независимых решения уравнения (6).

На рис. 2 черным цветом изображены точки, неустойчивые по критерию Ляпунова. Число пузырьков в кластере N = 104. В диапазоне параметров для амплитуды давления DP и начального радиуса пузырька a0, показанных на рис. 2(a), поверхность пузырька в кластере более устойчива, чем поверхность одиночного пузырька при тех же параметрах [6]. В расширенной области параметров (рис. 2(b)) устойчивые области (белые точки) наблюдаются также и при больших значениях амплитуды внешнего давления DP. Таким образом, пузырек в монодисперсном кластере может быть устойчив даже в сильных акустических полях, тогда как одиночный пузырек того же начального радиуса принципиально неустойчив при сильных внешних воздействиях.

Литература

1. Нигматулин многофазных сред. Т. 1, 2.– М.: Наука, 1987.

2. , , Насибуллаева БГУ, 1999. – Т. 2.– С. 12.

3. Fyrillas M. M., Szeri A. J. // J. Fluid Mech, 1994. – V. 277.– P. 381.

4. Plesset M. S. // J. Appl. Math., 1954.–V. 25(1).

5. Смирнов высшей математики. Т. III, Ч.2. – М.: Наука, 1974.