Ответы

Ответы

Вопрос 1. Вспомните, какие соотношения (формулы) можно связать со следующими рисунками?

1)		3)		5)
2)		4)		6)

Ответ. 1) Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.

; кроме того, полезно помнить, что ; .

2) Теорема Пифагора – квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Полезно помнить обратный факт – если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других, то этот треугольник прямоугольный.

Обобщением теоремы Пифагора является теорема косинусов: c2 = a2 + b2 – 2ab cos C, где C – угол, лежащий против стороны C.

3) Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. Это соотношение часто применяется для вычисления медианы треугольника по трем его сторонам.

4m2 + c2 = 2 (a2 + b2)

4) Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные сторонам угла.

Полезно помнить связь этой теоремы с теоремой синусов: ,

R – радиус описанной окружности.

5) Произведение секущей на ее внешнюю часть зависит только от точки A и не зависит от выбора секущей:

AB2 = AN × AM = AL × AK = AC2. Часто встречается вычисление, связанное с секущей, проходящей через центр: если AO = l, то AN = l + R, AM = l – R и AB2 = (l + r)(l – r) = = l2 – r2.

Кроме того, полезно помнить о равенстве касательных: AB = AC.

6) Вписанный угол вдвое меньше центрального угла, опирающегося на эту же дугу.

Полезно помнить формулу для длины дуги l = Ra, где R – радиус окружности, a – величина центрального угла в радианах.

Вопрос 2. Что можно сказать о треугольнике со сторонами 3, 4 и 5? Как вычислить другие его элементы?

Ответ. Если AB = 3, AC = 4 и BC = 5, то прежде всего – это прямоугольный треугольник.

Легко вычислить остальные его элементы: R =  Во всяком прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен

половине гипотенузы и равен медиане треугольника, проведенной к гипотенузе.

S = × 3 × 4 = 6; S = r × p, где p – полупериметр; p = (3 + 4 + 5) = 6, r = 1. sin C = 0,6; sin B = 0,8; tg C = 0,75.

Вопрос 3. Какие формулы для вычисления площади треугольника вы знаете?

Ответ.

S = b × hb – самая простая формула; S = ac sin B; S =  – полезна для нахождения R; S = r × p – полезна для нахождения r;

S =  – формула Герона.

Вопрос 4. Какие соотношения (формулы) вы помните для правильных треугольника, четырехугольника, шестиугольника?

Ответ.	1)		; ; ; r = R = tg 30°, tg 30° = .
	2)		d = 2R = a ; S = a2; r = ; a = R.
	3)		R = a; r = ; S = 6 × .