1. Составление исходных дифференциальных уравнений
Задача №8
Найти выходную величину y(t) системы, описываемой уравнением 
, при задающем воздействии, которое изменяется по гармоническому закону 
.
Решение
При прохождении гармонического сигнала через линейную систему его частота не изменяется, а изменяются только его амплитуда А и начальная фаза α. Т. е. на выходе системы сигнал в общем виде будет:
Учитывая, что 
подставим эти выражения выходного сигнала в дифференциальное уравнение системы,
или
Используя тригонометрическую теорему о “синусе суммы двух углов”, запишем
.
Отсюда:
и 
,
,
,
.
После подстановки получим
.
2. Определение устойчивости систем автоматического регулирования
Задача №8
Определить предельный коэффициент усиления системы автоматического регулирования (САР) с применением критерия Найквиста.
Передаточная функция САР в разомкнутом состоянии
.
Решение
Исходным выражением для определения устойчивости по критерию Найквиста является передаточная функция разомкнутого контура системы WP(p)
Сделаем в этой формуле подстановку p = jω
Представим это выражение через амплитудно-частотную А(ω) и фазо-частотную φ(ω) функции
На основании этих выражений на комплексной плоскости строится график амплитудно-фазовой частотной характеристики (АФЧХ).
Примеры АФЧХ с неизменяемыми постоянными времени Т1, Т2 и Т3 и изменяемым коэффициентом усиления k показаны на рис. 2.1.
Для построения графиков условно было принято: Т1 = 1с; Т2 = 2 с и Т3 = 3 с. Изменялся коэффициент усиления:
- k = 5 – график зелёного цвета;
- k = 10 – график сиреневого цвета;
- k = 15 – график синего цвета.
АФЧХ разложены на действительную и мнимую части, а графики построены с помощью программы “Advanced Grapher”.
Рис. 2.1. Примеры АФЧХ разомкнутого контура САР
При ω = 0 все графики находятся на оси Р, и значение координаты абсцисса численно равно коэффициенту усиления.
При ω → ∞ все графики стремятся в точку с координатами: 0; j0.
Разомкнутая САР может быть устойчива или неустойчива. На практике наиболее часто встречающийся случай, когда разомкнутая САР устойчива, поэтому для этого случая критерий Найквиста имеет следующую формулировку:
если разомкнутая система автоматического управления устойчива, то замкнутая система автоматического управления будет устойчива, если амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы W(jω) не охватывает точку -1; j0 при изменении ω от 0 до ∞.
Чтобы рассмотреть поведение графиков АФЧХ вблизи “критической точки” с координатами (-1; j0), на рис. 2.2 примеры АФЧХ показаны в увеличенном масштабе.
Здесь видно, при k > 10 графики АФЧХ охватывают “критическую” точку, это значит, что, согласно критерию Найквиста, при таком усилении данная САР в замкнутом состоянии будет неустойчива. Для обеспечения устойчивости необходимо, чтобы коэффициент усиления разомкнутой САР был меньше 10 с “запасом”.
График зелёного цвета (k = 5) - замкнутая САР устойчива, график синего цвета (k = 15) – замкнутая САР неустойчива, график сиреневого цвета (k = 10) – замкнутая САР находится на границе устойчивости.
Рис. 2.2. Примеры АФЧХ разомкнутого контура САР (увеличено)
