КАФЕДРА Прочности МАТЕРИАЛОВ и конструкций
Строительная механика. Пластин и оболочек.
РГР № 1. Вычисление коэффициентов
основных квадратичных форм
Содержание задания
Для срединной поверхности тонкой оболочки постоянной толщины требуется:
1. Найти первую квадратичную форму поверхности.
2. Найти вторую квадратичную форму поверхности.
3. Вычислить гауссову и среднюю кривизну поверхности в произвольной точке поверхности
4. Построить рисунок отсека поверхности в системе «MathCAD»
Темы для научно-исследовательских работ студентов (УИРС)
1. Получить уравнения поверхности по ее заданному определению.
2. Вычислить главные кривизны поверхности.
3. Проанализировать применение системы координат при расчете упругих оболочек
Литература
1. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. – Изд. 4-е. М.: УРСС, 2003. 432 с.
2. Краткий курс дифференциальной геометрии. – М.: ГИФМЛ, 1953. – 244 с.
3. П. Курс дифференциальной геометрии. - М.: КомКнига, 2006,. –344 с.
4. , Н. Расчет оболочек сложной геометрии. М.: Изд-во УДН, 1988. – 177 с.
5. Методические указания по выполнению расчетно-графической работы по курсу «Строительная механика» Раздел « Основные сведения по дифференциальной геометрии поверхностей». – М.: Изд-во УДН, 1992. – 32 с.
6. , , М. Аналитические поверхности. Материалы по геометрии 500 поверхностей и информация к расчету на прочночть тонких оболочек. – М.: «Наука», 2006. 540 с.
7. Морозов
Выбор варианта поверхности:
1-я цифра - строка, 2-я цифра - столбец
\ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 |
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 9 | 9 | 10 |
2 | 20 | 19 | 18 | 17 | 16 | 15 | 14 | 13 | 12 | 11 |
3 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 11 | 12 | 13 | 14 |
4 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
5 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 1 |
6 | 19 | 14 | 13 | 12 | 11 | 15 | 16 | 17 | 18 | 20 |
7 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 1 | 2 |
8 | 11 | 12 | 13 | 14 | 19 | 18 | 17 | 16 | 20 | 15 |
9 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 1 | 2 | 3 |
0 | 17 | 18 | 19 | 20 | 14 | 16 | 15 | 11 | 13 | 12 |
Уравнения вариантов поверхностей
1. РАЗВЕРТЫВАЮЩИЙСЯ (ЭВОЛЬВЕНТНЫЙ) ГЕЛИКОИД
Развертывающимся геликоидом (торсом-геликоидом) называется торсовая поверхность, образованная касательными к винтовой линии постоянного шага на круговом цилиндре радиусом а.
Формы задания поверхности торса-геликоида
1) Параметрическая форма задания:
где 
b – шаг винтовой линии u = 0 (ребра возврата), v – угол, отсчитываемый от оси Ох.
2) Векторная форма задания
, 
; 
.
2. . ПРЯМОЙ КОНОИД С НАПРАВЛЯЮЩЕЙ ПАРАБОЛОЙ,
ОСЬ КОТОРОЙ ПАРАЛЛЕЛЬНА ОСИ КОНОИДА
Прямой коноид с направляющей параболой, ось которой параллельна оси коноида, можно построить, если за плоскость параллелизма взять любую координатную плоскость, за фиксированную прямую (ось коноида) принять прямую, перпендикулярную этой координатной плоскости и расположенную в другой координатной плоскости, а за направляющую параболу взять параболу, расположенную в оставшейся третьей координатной плоскости. Ось параболы должна быть параллельна фиксированной прямой.
Формы задания поверхности прямого коноида
1) Параметрическая форма задания
где v = y направляющей параболы; a – расстояние от координатной оси Oz до оси коноида..
3. НАКЛОННЫЙ КРУГОВОЙ ЦИЛИНДР
Наклонная круговая цилиндрическая поверхность образовывается прямыми образующими, пересекающими направляющую окружность, при этом оставаясь параллельными осевому направлению цилиндра, которое образует с основанием цилиндра острый угол φ.
Параметрическая форма задания):
х = х, 
4. ОДНОПОЛОСТНЫЙ ГИПЕРБОЛОИД ВРАЩЕНИЯ
Однополостный гиперболоид вращения получается вращением гиперболы x2/a2 – z2/с2 = 1 вокруг оси Оz. Это – дважды линейчатая поверхность. Через каждую точку поверхности проходят две прямые, лежащие целиком на гиперболоиде.
5) Параметрическая форма задания:
x = x(β, α) = achαcosβ, y = y(β, α) = achαsinβ, z = z(v) = cshα.
2) Векторная форма задания
,
;
5. ЦИЛИНДРОИД С ДВУМЯ НАПРАВЛЯЮЩИМИ ОКРУЖНОСТЯМИ
ВО ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПЛОСКОСТЯХ
Пусть две окружности с одинаковым радиусом
y = 0, (x – a)2 + z2 = a2 и (y – a)2 + z2 = a2, x = 0
являются направляющими кривыми для цилиндроида, а плоскостью параллелизма служит координатная плоскость xOy. Окружности радиусом a в начале координат имеют общую касательную.
1) Параметрическая форма задания
, 
6. ВИНТОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
С ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОБРАЗУЮЩЕЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
Винтовая поверхность с параболической образующей общего положения образуется обыкновенным винтовым движением параболы Y(t) = сt2, ось Y которой повернута на угол q к винтовой оси Oz. Вершина параболы находится на расстоянии а от винтовой оси и перемещается вдоль этой оси пропорционально угловой скорости (рис 1). Шаг цилиндрических винтовых линий, лежащих на поверхности будет 2πb.
1) Параметрическая форма задания:
,
2) Векторная форма задания
,
;
7. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ГЕЛИКОИД
Гиперболический геликоид можно отнести к классу спиралевидных или к классу винтообразных поверхностей.
Формы задания поверхности гиперболического геликоида
1) Параметрическая форма задания:
2) Векторная форма задания
,
;
8. СЕДЛО В БАРАБАНЕ
Поверхность, называемая «седло в барабане» (рис. 1), является гиперболическим параболоидом (см. «Линейчатые поверхности отрицательной гауссовой кривизны»), заданным в полярных координатах.
Форма задания поверхности
1) Параметрическая форма задания:
2) Векторная форма задания
,
;
9. НОРМАЛЬНАЯ ЦИКЛИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ПЛОСКОЙ КРУГОВОЙ ЛИНИЕЙ ЦЕНТРОВ И С ОБРАЗУЮЩЕЙ ОКРУЖНОСТЬЮ ПЕРЕМЕННОГО РАДИУСА
Нормальная циклическая поверхность с плоской круговой линией центров и с образующей окружностью переменного радиуса R(u) = a(1 – dcospu) может быть отнесена как к группе циклических поверхностей с окружностями в плоскостях пучка и с плоской линией центров, так и к группе нормальных циклических поверхностей с образующей окружностью переменного радиуса. .
1) Параметрическая форма задания:
где b – радиус круговой линии центров (направляющая окружность); v – угол в плоскости образующей окружности, отсчитываемый от плоскости xOy; 
u – угол, отсчитываемый от оси Ох в сторону оси Оу; 
; R(u) = a(1 – dcospu) – переменный радиус образующей окружности.
2) Векторная форма задания
,
; 
10. ОБЕЗЬЯНЬЕ СЕДЛО
Обезьянье седло имеет точку, которая одновременно является параболической и омбилической, три хребта и три склона, так что поверхность при повороте на угол 2π/3 совпадает сама с собой. Название поверхности вызвано тем, что человек для верховой езды нуждается только в двух склонах седла, в то время как обезьяне нужен еще третий склон для хвоста.
Формы задания поверхности
1) Параметрическая форма задания :
x = x(u, v) = ucosv, y = y(u, v) = usinv, z = z(u, v) = au3sin(3v).
2) Векторная форма задания
,
;
11. Трехосный эллипсоид
Трехосный эллипсоид образуется вращением эллипса вокруг оси постоянного размера 2с. Вторая полуось эллипса при вращении описывает в нормальной плоскости к оси вращения эллипс с полуосями а, b.
Параметрическая форма задания:
12. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД
Эллиптический параболоид – незамкнутая нецентральная поверхность второго порядка. На поверхности эллиптического параболоида существует бесчисленное множество сетей переноса.
Параметрическая форма задания (рис. 2):
13. Гармоническая поверхность прямого переноса синусоиды с изменяющейся амплитудой
В настоящее время наиболее изучены поверхности, задаваемые гармоническими функциями, относящиеся к классам винтовых поверхностей, поверхностей вращения и переноса.
Одной из поверхностей, которую можно условно назвать поверхностью переноса, является гармоническая поверхность прямого переноса синусоиды с изменяющейся амплитудой.
Форма задания гармонической поверхности
1) Форма задания
, 
, 
Функция, описывающая поверхность, является решением уравнения Лапласа (см. «Поверхности, задаваемые гармоническими функциями»).
14. ОБТЕКАТЕЛЬ ЦИКЛОИДАЛЬНОГО ТИПА
Поверхность обтекателя циклоидального типа образовывается вращением циклоидальной кривой x = x(t) = a(t + sint), z = z(t) = c(1 + cost) вокруг оси Oz. Если принять a = c, то образующая кривая становится обыкновенной циклоидой.
Параметрическая форма задания: 
;
где γ – угол, отсчитываемый от координатной оси Ох в сторону оси Оу.
2) Векторная форма задания
,
;
15. БАШМАЧНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
Башмачная поверхность представляет собой поверхность прямого переноса образующей параболы по направляющей кубической параболе. Обе параболы лежат во взаимно перпендикулярных плоскостях.
Формы задания поверхности переноса параболы
по кубической параболе
1) Явная форма задания: 
В сечениях поверхности плоскостями x = const лежат параболы, а в сечениях поверхности плоскостями y = const – кубические параболы.
16. ВИНТОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ, ОБРАЗОВАННАЯ БИНОРМАЛЯМИ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ВИНТОВОЙ ЛИНИИ
Поверхность бинормалей цилиндрической винтовой линии
r = r(φ) = acosφi + asinφj + pφk является конволютной винтовой поверхностью, векторное уравнение которой имеет вид:
r = r(u, φ) = ρ(φ) +uβ,
где β – единичный вектор бинормали;
g – единичный вектор, направленный по касательной к проекции винтовой линии на плоскость xOy.
1) Параметрическая форма задания:
где u – параметр, определяющий положение текущей точки на бинормали
2) Векторная форма задания
,
; 
.
17. ГЕЛИКОИД ДИНИ
Геликоид Дини образовывается обыкновенным винтовым движением трактрисы. Одно семейство линий кривизны геликоида Дини состоит из сферических линий. Трактрисы поверхности, образуют второе семейство ее линий кривизны. Поверхность пересекается с плоскостью трактрисы под постоянным углом, в частности, для псевдосферы этот угол равен прямому. Псевдосфера есть частный случай геликоида Дини.
Формы задания поверхности геликоида Дини
1) Параметрическая форма задания
где u – угол между винтовой осью и касательной к трактрисе.
2) Векторная форма задания
,
; ;
18. ВИНТОВАЯ СИНУСОИДАЛЬНАЯ ПОЛОСА
Винтовая синусоидальная полоса образуется обыкновенным винтовым движением синусоиды Y(v) = csin(90o + nπv/d) = сcos(nπv/d), X(v) = v. Местная ось Y пересекает винтовую ось под углом π/2, а ось Х параллельна винтовой оси. Шаг цилиндрических винтовых линий, лежащих на поверхности, будет постоянным и равным 2πb.
Формы задания винтовой синусоидальной полосы
1) Параметрическая форма задания :
где n – число целых полуволн синусоиды, помещающихся на отрезке длиной d; c – амплитуда синусоиды; 
2) Векторная форма задания
; 
;
;
19. ЗОНТИК УИТНИ (ЗОНТИК КАРТАНА)
Зонтик Уитни является линейчатой поверхностью отрицательной гауссовой кривизны. Поверхность содержит двойную линию. Зонтик Уитни имеет и другое название – зонтик Картана. Можно изготовить соответствующую бумажную модель зонтика, изогнув квадрат с разрезом и сомкнув края разреза через лист бумаги.
Формы задания зонтика Уитни
2) Параметрическая форма задания: x = x(r,t) = rt, y = y(r) = r, z = z(t) = t2.
20. ПСЕВДО-РАЗВЕРТЫВАЮЩИЙСЯ ГЕЛИКОИД
Псевдо – развертывающийся геликоид образовывается проекциями касательных винтовой линии постоянного шага на плоскость, перпендикулярную к оси винтовой линии. Эта поверхность является частным случаем конволютного геликоида. Наименьшее расстояние между образующей прямой и осью геликоида называется эксцентриситетом (плечом) геликоида.
Угол φ между касательной к винтовой линии l и прямолинейной образующей поверхности можно определить по формуле: tgφ = b/a. Поверхность псевдо-развертывающегося геликоида используется при проектировании сверл по дереву.
Формы задания поверхности псевдо-развертывающегося геликоида
1) Параметрическая форма задания (рис.1):
2) Векторная форма задания
,
; 
;
