Расчет двухслойного конденсатора

РОСЖЕЛДОР

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Ростовский государственный университет путей сообщения»

(РГУПС)

, ,

РАСЧЕТ ДВУХСЛОЙНОГО КОНДЕНСАТОРА

Практикум к расчетно-графической работе № 10

Ростов-на-Дону

2008

УДК 624.31.61

Осипов, В. А.

Расчет двухслойного коденсатора: практикум к расчетно-графической работе № 10 / , , ; Рост. гос. ун-т путей сообщения. – Ростов н/Д, 2008. – 15 c. : ил. Библиогр. : 2 назв.

Составлен в соответствии с программой курса «Теоретические основы электротехники» и содержат необходимые сведения для выполнения расчетно- графической работы «Расчет двухслойного конденсатора».

Предназначен для студентов электротехнических специальностей.

Рецензент канд. техн. наук, доц. (РГСУ)

Учебное издание

РАСЧЕТ ДВУХСЛОЙНОГО КОНДЕНСАТОРА

Практикум к расчетно-графической работе № 10

Редактор

Техническое редактирование и корректору

Подписано в печать 05.09.08. Формат 60´84/16.

Бумага офсетная. Ризография. Усл. печ. л. 0, 93.

Уч.- изд. л. 0,88. Тираж 60 экз. Изд. № 16. Заказ №

Ростовский государственный университет путей сообщения.

Ризография РГУПС.

Адрес университета: 344038, г. Ростов н/Д, пл. им. Ростовского Стрелкового Полка Народного Ополчения, 2.

Ó Ростовский государственный университет путей сообщения, 2008

Содержание

1 Задание и исходные данные

2 Пример выполнения расчета

3 Расчет емкости и запаса энергии в электрическом поле конденсатора

4 Некоторые замечания и методические рекомендации

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 Задание и исходные данные

 

Рис. 1

Дан двухслойный конденсатор; цилиндрический или сферический, с радиусами r1, r2, r3 (рис.1). Наружная обкладка конденсатора заземлена, а к внутренней подведен положительный заряд q. Относительные диэлектрические проницаемости слоев e1 и e2. В случае цилиндрического конденсатора длина по образующей – Числовые данные приведены в таблицах А, Б и В.

Требуется:

1 Построить графики изменения напряженности и потенциала электрического поля вдоль радиуса.

Задачу решить:

- пользуясь теоремой Гаусса,

- пользуясь уравнением Лапласа-Пуассона.

2 Вычислить емкость и запас энергии в электрическом поле конденсатора.

Исходные данные, для выполнения расчета:

Таблица А

Первая цифра варианта	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
r1 (см)	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0	4,5	5,0
r2 (см)	1,5	2,0	4,0	5,0	3,0	3,5	6,0	7,0	8,0	12,0
r3 (см)	2,0	2,5	5,0	6,0	4,0	4,5	6,5	8,5	8,5	14,0
(м)	1,0	1,5	2,0	1,0	2,5	3,5	4,0	4,5	5,0	5,5

Таблица Б

Вторая цифра варианта	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
e1	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0	6,0	7,0	8,0	6,0	8,0
e2	3,0	4,0	5,0	6,0	7,0	8,0	1,0	2,0	3,0	4,0
Вид конденсатора	цилиндрический	сферический

Таблица В

Третья цифра варианта	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
q (мкКл)	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0	4,5	5,0	5,5

2 Пример выполнения расчета

Дан двухслойный цилиндрический конденсатор (рис. 1), со следующими параметрами:

e1 = 5, e2 = 8, r1 = 1 см, r2 = 4 см, r3 = 6, q = 6 мкКл, = 2 м.

1 Выполним расчет изменения напряженности и потенциала вдоль радиуса, используя теорему Гаусса:

.

Т. е. поток вектора напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность равен сумме свободных зарядов, находящихся внутри этой поверхности, разделенной на произведение e∙e0.

Рассмотрим это выражение, применительно к заданному цилиндрическому конденсатору. Элемент поверхности dS (вектор, изображающий элемент поверхности) перпендикулярен поверхности цилиндра, и направлен в сторону внешней (по отношению к объему внутри поверхности) нормали.

Известно, что линии напряжённости электрического поля всегда пересекают линии равного потенциала под прямым углом. Так как по условию задачи заряжена только внутренняя обкладка, в силу осевой симметрии конденсатора, нормали к эквипотенциальным линиям и нормали к обкладкам конденсатора будут совпадать. Таким образом, вектора Е и dS в рассматриваемом случае будут пересекать поверхность конденсатора под прямым углом, а угол между этими векторами будет равен «0». Если учесть, что числовое значение напряженности поля во всех точках поверхности, вдоль которой ведется интегрирование, неизменно (в силу осевой симметрии конденсатора) выражение можно переписать:

.

В рассматриваемом случае поверхность интегрирования ­– поверхность цилиндра

и окончательно получаем:

.

Так как в результате выполненных расчётов необходимо построить зависимость E = f(r), в пределах каждого слоя рассчитаем порядка 10 точек. Первая точка должна находиться на поверхности внутреннего электрода, последняя – на границе раздела двух диэлектриков:

В/м.

Необходимо обратить внимание на то, что на границе раздела двух диэлектриков будет наблюдаться резкий скачёк напряжённости, поэтому значение напряжённости в этой области необходимо рассчитывать дважды: первый раз – задавшись значением e1, второй раз – значением e2.

Результаты расчетов сведем в таблицу 1:

Таблица 1

r, м	E, В/м	r, м	E, В/м
0,01	1079563,86	0,04	168681,85
0,013	830433,74	0,042	160649,38
0,016	674727,41	0,044	153347,14
0,019	568191,50	0,046	146679,87
0,022	490710,84	0,048	140568,21
0,025	431825,54	0,05	134945,48
0,028	385558,52	0,052	129755,27
0,031	348246,41	0,054	124949,52
0,034	317518,78	0,056	120487,04
0,037	291774,02	0,058	116332,31
0,04	269890,96	0,06	112454,57

Для расчета значения потенциала в диэлектрике заданного конденсатора воспользуемся соотношением:

.

Так как задан цилиндрический конденсатор, наиболее целесообразно воспользоваться записью выражения градиента потенциала в цилиндрической системе координат.

В силу осевой симметрии системы последние два слагаемые в выражении градиента потенциала обращаются в «0». С учетом этого для определения модуля напряженности поля можно записать:

Или

Значение потенциала в приделах первого слоя диэлектрика, со значением e = e­1, когда значение r лежит в пределах r1 ≤ r ≤ r2, определим, пользуясь выражением:

,

а когда значение r лежит в пределах r2 ≤ r ≤ r3, определим, как

.

Для определения постоянных интегрирования воспользуемся граничными условиями. По условию задачи внешняя обкладка конденсатора заземлена, следовательно, ее потенциал равен нулю. Выражение для определения потенциала внешней обкладки конденсатора можно записать как:

.

Отсюда находим постоянную интегрирования С2.

В.

Значение постоянной интегрирования С1 определим исходя из того, что потенциал на границе раздела двух диэлектриков будет одинаков. Таким образом, при значении r = r2 будет выполняться условие:

.

После подстановки числовых значений:

Находим значение постоянной интегрирования. С1= -32014,04. Для построения зависимости j = f(r) зададимся несколькими значениями «r». Результаты расчетов сводим в таблицу 2.

Таблица 2

r, м	j, В	r, м	j, В
0,01	17701,72	0,04	2735,78
0,013	14869,33	0,042	2406,58
0,016	12627,73	0,044	2092,70
0,019	10772,49	0,046	1792,77
0,022	9189,82	0,048	1505,61
0,025	7809,77	0,05	1230,17
0,028	6586,32	0,052	965,54
0,031	5487,51	0,054	710,90
0,034	4490,28	0,056	465,51
0,037	3577,43	0,058	228,74
0,04	2735,78	0,06	0,00

2 Выполним расчет изменения напряженности и потенциала вдоль радиуса, используя уравнение Пуассона – Лапласа.

Так как для расчета задан цилиндрический конденсатор, наиболее целесообразно раскрыть Ñ2j в цилиндрической системе координат.

В данном случае расчет модуля напряженности поля и потенциала проводится для цилиндрического конденсатора, поэтому в силу осевой симметрии изменения потенциала вдоль образующей конденсатора (координата «z») не будет.

Руководствуясь аналогичными соображениями можно утверждать, что при неизменном значении «r» изменения значения потенциала также не будет, т. е. значение потенциала не зависит от угла «a». Таким образом, два последних слагаемых в выражении Ñ2j обращаются в «0».

Таким образом, можно записать:

Проинтегрируем левую и правую часть по ∂r:

Как было ранее получено:

Следовательно:

Так как в толще диэлектрика будут отсутствовать свободные заряды, r = = 0. Частный вид уравнения Пуассона, когда r = 0, называют уравнением Лапласа.

Окончательно записываем:

В этом выражении С1 – постоянная интегрирования, определяемая из граничных условий. На определении постоянной С1 остановимся более подробно.

Известно [1, стр. 26], что вектор электрического смещения D в любой точке диэлектрика, непосредственно примыкающей к поверхности проводящего тела, численно равен поверхностной плотности заряда σ на поверхности проводящего тела в данной точке. Таким образом:

Значение D может быть определено, исходя из выражения:

В рассматриваемом примере в качестве заряженного проводящего тела выступает внутренняя обкладка конденсатора с радиусом r1, заряженная зарядом «q». Обкладка имеет форму цилиндра. С большой степень точности можно утверждать, что весь заряд располагается на боковой поверхности цилиндра, следовательно величину σ определяем по выражению:

Напряженность на поверхности внутренней обкладки конденсатора определим из выражения:

В.

По известному значению напряженности поля определяем постоянную интегрирования С1:

В.

В пределах первого слоя диэлектрика, с e = e1 значение модуля напряженности электрического поля определяем по выражению:

.

Для второго слоя диэлектрика с e = e2 величина модуля напряженности определяется аналогично:

Для определения постоянной интегрирования С2 воспользуемся известным правилом: [1, стр. 27] на границе раздела двух диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями нормальные составляющие вектора электрического смещения равны. Как указывалось ранее,

,

а вектор напряженности в силу осевой симметрии системы имеет только нормальную составляющую, то и вектор электрического смещения имеет только нормальную составляющую. Таким образом, можно записать:

.

Окончательно получаем:

Используя полученное выражение, находим значение С2:

В.

В пределах второго слоя диэлектрика, с e = e2, значение модуля напряженности электрического поля определяем по выражению:

Результаты расчетов сведем в таблицу 3:

Таблица 3

r, м	E, В/м	r, м	E, В/м
0,01	1079563,86	0,04	168681,85
0,013	830433,74	0,042	160649,38
0,016	674727,41	0,044	153347,14
0,019	568191,50	0,046	146679,87
0,022	490710,84	0,048	140568,21
0,025	431825,54	0,05	134945,48
0,028	385558,52	0,052	129755,27
0,031	348246,41	0,054	124949,52
0,034	317518,78	0,056	120487,04
0,037	291774,02	0,058	116332,31
0,04	269890,96	0,06	112454,57

Для расчета изменения потенциала вдоль радиуса воспользуемся соотношением, приведенным ранее:

Для первого слоя диэлектрика значение потенциала определим по выражению:

для второго слоя:

Последовательность определения постоянных интегрирования С4 и С2 такая же, как и в случае, когда для расчета применялась теорема Гаусса. Вначале необходимо рассчитать значение С4, руководствуясь тем соображением, что потенциал внешней обкладки равен нулю.

Постоянную интегрирования С3 определяем по известному значению потенциала на границе раздела двух диэлектриков:

Запишем расчетные формулы:

- для первого слоя диэлектрика:

- для второго слоя диэлектрика:

Результаты расчетов сводим в таблицу 4.

Таблица 4

r, м	j, В	r, м	j, В
0,01	17701,72	0,04	2735,78
0,013	14869,33	0,042	2406,58
0,016	12627,73	0,044	2092,70
0,019	10772,49	0,046	1792,77
0,022	9189,82	0,048	1505,61
0,025	7809,77	0,05	1230,17
0,028	6586,32	0,052	965,54
0,031	5487,51	0,054	710,90
0,034	4490,28	0,056	465,51
0,037	3577,43	0,058	228,74
0,04	2735,78	0,06	0,00

Попарно сравнивая значения, записанные в таблицах 1 и 2 со значениями, в таблицах 3 и 4 приходим к выводу, что они одинаковые. Следовательно расчет выполнен верно.

По данным таблицы 1 и 2 строим зависимости E = f(r) и j = f(r).

Рис. 2

3 Расчет емкости и запаса энергии

в электрическом поле конденсатора

Для расчета величины емкости воспользуемся соотношением:

Перепишем это выражение:

Емкость заданного двухслойного конденсатора:

Емкость по слоям:

.

Емкость конденсатора (как двух независимых конденсаторов, соединенных последовательно):

.

Величину запасенной энергии определим как:

4 Некоторые замечания и методические рекомендации

В данном практикуме рассмотрен пример расчета двухслойного цилиндрического конденсатора, однако в задании к расчетной работе приводится также и двухслойный сферический конденсатор. Подход к решению задачи такого типа полностью аналогичен рассмотренному примеру, с некоторыми оговорками.

1 При расчете поверхностной плотности заряда на внутренней обкладке конденсатора заряд необходимо отнести к площади поверхности внутреннего электрода. Для цилиндрического конденсатора площадь определяется выражением:

а для сферического:

2 Для определения значения потенциала, с использованием теоремы Гаусса необходимо учесть, что градиент потенциала в сферической системе координат записывается как:

,

однако с учетом центральной симметрии можно записать:

3 Для выполнения расчета сферического конденсатора, с использованием уравнения Пуассона-Лапласа необходимо произвести раскрытие Ñ2j в сферической системе координат:

В этом выражении два последних слагаемых для рассматриваемой задачи равны нулю, в силу центральной симметрии и уравнение Пуассона принимает вид:

После умножения левой и правой части на R­2 и последующего интегрирования получаем:

Учитывая, что левая часть полученного выражения – модуль напряженности, а объемная плотность заряда – r = 0, так как интегрирование ведем в области, где отсутствуют свободные заряды, получаем:

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 Бессонов, Л. А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле / . – М. : Высш. школа, 1986. – 264 с.

2 Нейман, Л. Ф. Теоретические основы электротехники. Т. 2 / , . – М. : Энергия, 1967.