Понятие производной функции (стр. 1 )

Понятие производной функции

До сих пор речь шла о производной и дифференциале в единственной «подопытной» точке . Но ведь в качестве  можно взять ЛЮБУЮ ТОЧКУ  рассматриваемого интервала! 
Из этих соображений в равенстве  проведём замену  и получим . А это ни что иное, как обозначение производной , о котором я упомянул на первом же уроке по технике дифференцирования. Символ  используется двояко – и как цельный символ производной, и как частное дифференциалов. Вторая интерпретация активно эксплуатируется в ходе решения дифференциальных уравнений.

Естественно, и в самом определении производной в точке  заменим  на :

К чему мы пришли? А пришли мы к тому, что для функции  по закону   ставится в соответствие другая функция , которая называетсяпроизводной функцией (или просто производной).

Производная  характеризует скорость изменения функции . Каким образом? Мысль идёт красной нитью с самого начала статьи. Рассмотрим некоторую точку области определения функции . Пусть функция дифференцируема в данной точке. Тогда:

1) Если , то функция  возрастает в точке . И, очевидно, существуетинтервал (пусть даже очень малый), содержащий точку , на котором функция   растёт, и её график идёт «снизу вверх».

2) Если , то функция  убывает в точке . И существует интервал, содержащий точку , на котором функция  убывает (график идёт «сверху вниз»).

3) Если , то бесконечно близко около точки  функция  сохраняет свою скорость постоянной. Так бывает, как отмечалось, у функции-константы и в критических точках функции, в частности в точках минимума и максимума.

Немного семантики. Что в широком смысле обозначает глагол «дифференцировать»? Дифференцировать – это значит выделить какой-либо признак. Дифференцируя функцию , мы «выделяем» скорость её изменения в виде производной функции . А что, кстати, понимается под словом «производная»? Функция  произошла от функции .

Термины весьма удачно истолковывает  механический смысл производной: 
Рассмотрим закон изменения координаты тела , зависящий от времени , и функцию скорости движения данного тела . Функция  характеризует скорость изменения координаты тела, поэтому является первой производной функции  по времени: . Если бы в природе не существовало понятия «движение тела», то не существовало бы и производного понятия «скорость тела».