Расчетно-графическая работа «Теория векторного поля»

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

«ТЕОРИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ»

Составители: преподаватели кафедры Вычислительных методов и уравнений математической физики.

Вариант №1

1.  Найти производную поля в точке А(1,2,1) в направлении, образующем равные острые углы с осями координат.

2.  Найти угол между градиентом скалярных полей и в точке .

3.  Показать, что поле вектора потенциально, найти потенциал поля.

4.  Найти векторные линии поля градиентов функции .

5.  Вычислить работу силы при перемещении по линии из точки А(2,0,1) в точку В(0,4,1).

6.  Вычислить поток поля через плоский треугольник с вершинами в точках А(2,0,0), B(0,-1,0), C(2,0,4). Нормальный вектор плоскости образует острый угол с осью Ох.

7.  Найти поток поля через полусферу в направлении внешней нормали.

8.  Проверить формулу Стокса для вектора , принимая за поверхность интегрирования боковую поверхность пирамиды, ограниченную плоскостями , а за контур интегрирования – линию пересечения её с плоскостью z = 0.

9.  Доказать, что .

10.  Вычислить , где и постоянные векторы, а - радиус-вектор точки.

Вариант №2

1.  Дано скалярное поля . Найти Построить поверхность уровня для

2.  Найти производную скалярных полей в точке по направлению нормали к поверхности S:, образующей тупой угол с положительным направлением оси Oz.

3.  Показать, что поле вектора потенциально, найти потенциал поля.

4.  Найти векторные линии поля градиентов функции .

5.  Вычислить работу силы при перемещении по линии (L): из точки в точку

6.  Вычислить поток поля через часть поверхности , лежащую в I октанте и отсеченную плоскостями z = 0, z = 3, в направлении внешней нормали.

7.  Найти поток поля через часть поверхности отсеченную плоскостями y = 3 в направлении внешней нормали.

8.  Проверить формулу Стокса для поля вектора , принимая за поверхность интегрирования – поверхность, лежащей в I октанте образованную поверхностью и плоскостями x = 0, z = 0, а за контур интегрирования – линию пересечения этой поверхности с плоскостью

у = 0.

9.  Доказать, что вектор ортогонален к , если - дифференцируемые скалярные функции.

10.  Найти , где и , .

Вариант №3

1.  Найти градиент поля , где , М(x, y,z). Построить поверхность уровня поля, соответствующие значениям

2.  Найти производную скалярных полей в точке по направлению нормали к поверхности S:, образующей тупой угол с положительным направлением оси Oz.

3.  Показать, что поле вектора потенциально, найти потенциал поля.

4.  Найти векторные линии поля градиентов функции .

5.  Вычислить работу силы при перемещении по линии от точки до точку

6.  Вычислить поток поля через часть поверхности , лежащую в IV октанте, в направлении внешней нормали.

7.  Найти поток поля через замкнутую поверхность, образованную полусферой и параболоидом , в направлении внешней нормали.

8.  Проверить формулу Стокса для поля вектора , принимая за контур интегрирования окружность, а за поверхность интегрирования – поверхность цилиндра натянутую на этот контур.

9.  Доказать, что вектор , где - дифференцируемая функция.

10.  Найти , где -радиус-вектор точки, - произвольная дважды дифференцируемая функция. В каком ?

Вариант №4

1.  Найти вектор напряженности электрического поля, потенциал которого имеет вид , где - постоянный вектор, - радиус-вектор точки поля. Построить поверхности равного потенциала для , если .

2.  Найти производную скалярных полей в точке по направлению нормали к поверхности S:, образующей острый угол с положительным направлением оси Oz.

3.  Показать, что поле вектора потенциально, найти потенциал поля.

4.  Найти векторные линии поля вектора .

5.  Вычислить работу силы при перемещении по линии (L) от точки к точке если линия (L) – меньшая дуга кривой

6.  Вычислить поток поля через часть поверхности , лежащую в IV октанте, в направлении внешней нормали.

7.  Найти поток поля через часть поверхности отсеченную плоскостями z =1, в направлении внешней нормали.

8.  Проверить формулу Стокса для поля вектора , принимая за поверхность интегрирования эллипс y = 0, а за поверхность интегрирования – часть поверхности цилиндра , и

9.  Доказать, что .

10.  Найти , где , а .

Вариант №5

1.  Потенциал некоторого электростатического поля имеет вид , где “а” и “b” - константы. Найти длину и направление вектора напряженности поля. Какую форму имеют эквипотенциальные поверхности для a > 0, b > 0?

2.  Найти производную скалярных полей в точке по направлению нормали к поверхности S:, образующей тупой угол с направлением оси Oz.

3.  Показать, что поле вектора потенциально, найти потенциал поля.

4.  Найти векторные линии поля вектора .

5.  Вычислить работу вектора силы по меньшей дуге окружности от точки до точке

6.  Вычислить поток поля через плоский треугольник с вершинами в точках А(-4,0,0), B(0,2,0), C(-4,0,4). Нормальный вектор плоскости образует с осью Oy острый.

7.  Найти поток поля через границу пространственной области в направлении внешней нормали.

8.  Проверить формулу Стокса для поля вектора , принимая за контур интегрирования астроидуа за поверхность интегрирования – часть плоскости xoy, ограниченную астроидой.

9.  Доказать, что поле вектора соленоидально, если , - дифференцируемые скалярные функции.

10.  Найти , где ,-радиус-вектор точки,

Вариант №6

1.  Потенциал некоторого электростатического поля имеет вид , где “а” и “b” - константы. Найти модуль и направление вектора напряженности поля. Какую форму имеют эквипотенциальные поверхности в случае a > 0, b > 0?

2.  Найти производную скалярных полей в точке по направлению нормали к поверхности S:, образующей острый угол с положительным направлением оси Oz.

3.  Показать, что поле вектора потенциально, найти потенциал поля.

4.  Найти векторные линии поля вектора .

5.  Вычислить работу вектора силы при перемещении по линии .

6.  Вычислить поток поля через часть поверхности лежащую в II октанте и отсеченную плоскостями z = 0, z = 1 в направлении внешней нормали.

7.  Найти поток поля через часть поверхности , отсеченную плоскостью z = -2, в направлении внешней нормали.

8.  Проверить формулу Стокса для поля вектора , принимая за поверхность интегрирования – поверхность, лежащую в первом октанте, образованную параболоидом а за контур интегрирования – линию пересечения этой поверхности с плоскостью x = 0.

9.  Доказать, что где - дифференциальная функция.

10.  Найти и , для поля вектора , где

- радиус-вектор точки.

Вариант №7

1.  Потенциальная энергия части имеет вид , где - модуль радиуса - вектора частицы, - постоянная величина. Найти силу действующую на частицу. Какую форму имеют поверхности, для которой модуль вектора силы постоянен? Изобразить эти поверхности для случаев

2.  Найти производную скалярных полей в точке по направлению нормали к поверхности S:, образующей острый угол с положительным направлением оси Oz.

3.  Показать, что поле вектора потенциально, найти потенциал поля.

4.  Найти векторные линии поля вектора .

5.  Вычислить циркуляцию вектора вдоль контура .

6.  Вычислить поток поля через часть поверхности , лежащую в I октанте, в направлении внешней нормали.

7.  Найти поток поля через границу выпуклой области, заключенной между поверхностями и , в направлении внешней нормали.

8.  Проверить формулу Стокса для поля вектора , принимая за контур интегрирования окружность , а за поверхность интегрирования – поверхность цилиндра и .

9.  Доказать, что если , - дважды дифференцируемые скалярные функции.

10.  Найти и , для поля вектора , где

- радиус-вектор точки.

Вариант №8

1.  Потенциал энергия частицы имеет вид Найти силу , действующую на частицу. Построить эквипотенциальные поверхности в случае u = 0, u = 1, u = 4.

2.  Найти производную функции в точке в направлению градиента функции .

3.  Показать, что поле вектора потенциально, найти потенциал поля.

4.  Найти векторные линии поля вектора .

5.  Вычислить работу вектора силы при перемещении по меньшей дуге кривой от точки к точке .

6.  Вычислить поток поля через часть поверхности , лежащую в II октанте, в направлении внешней нормали.

7.  Найти поток поля через часть поверхности , отсеченную плоскостью z = 2, в направлении внешней нормали.

8.  Проверить формулу Стокса для поля вектора , принимая за контур интегрирования часть параболы и замыкающей её прямой z = 2, x = 0, а за поверхность интегрирования часть поверхности z = 2, ограниченную этим контуром.

9.  Доказать, что где , - дифференцируемые функции. Проверить, что .

10.  Для поля вектора найти потенциал, , и векторные линии, если - радиус-вектор точки.

Вариант №9

1.  Потенциал энергия частицы имеет вид Найти силу , действующую на частицу. Какой вид имеют эквипотенциальные поверхности поля, в котором находится частица? Изобразить эти поверхности в случае

2.  Найти производную скалярного поля в точке по направлению нормали к поверхности , образующей тупой угол с положительным направлением оси Oz.

3.  Показать, что поле вектора потенциально, найти потенциал поля.

4.  Найти векторные линии поля вектора .

5.  Вычислить работу вектора силы при перемещении по кривой от точки к точке

6.  Вычислить поток поля через плоский четырех с вершинами в точках М1(1,-2,4), М2(3,2,4), М3(-1,2,4), М4(-3,-2,4) в направлении оси Oz.

7.  Найти поток поля через замкнутую поверхность, ограничивающую пространственную область , в направлении внешней нормали.

8.  Проверить формулу Стокса для поля вектора , принимая за контур интегрирования окружность , а за поверхность интегрирования – любую поверхность, натянутую на эту окружность.

9.  Доказать, что где - дифференцируемая функция.

10.  Найти и для вектора где - радиус-вектор точки.

Вариант №10

1.  Потенциал энергия частицы имеет вид Найти силу , действующую на частицу. Какой вид имеют эквипотенциальные поверхности поля, в котором находится частица? Изобразить эти поверхности в случае

2.  Найти производную скалярного поля по направлению вектора в точке М, если .

3.  Показать, что поле вектора потенциально, найти потенциал поля.

4.  Найти векторные линии поля вектора .

5.  Вычислить работу силы при перемещении по прямой из точки к точке

6.  Вычислить поток поля через часть поверхности , лежащую в I октанте и отсеченную плоскостями y = 1, y = 4, в направлении внешней нормали.

7.  Найти поток поля через замкнутую поверхность, ограничивающую область , в направлении внешней нормали.

8.  Проверить формулу Стокса для поля вектора , принимая за контур интегрирования окружность , а за поверхность интегрирования – полусферу, натянутую на этот контур.

9.  Вычислить где . Доказать, что пространственное поле вектора будет соленоидальным только тогда, когда

10.  Найти , где - постоянный вектор, .