(МИФ-2, №4, 2005)
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ
Представленные материалы содержат элементарные сведения о самых распространенных задачах с параметрами – обратные уравнения и неравенства. В конце статьи прилагаются контрольные задания.
Понятия темы
1. Уравнение 
(неравенство 
) называется уравнением (неравенством) с параметром а и переменной х, если ставится задача для каждого действительного числа а, решить это уравнение (неравенство) относительно х.
2. Решить уравнение (неравенство) с параметром а – это значит, для каждого действительного значения а найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению (неравенству), или установить, что таких значений нет.
3. Значения параметра а, при которых уравнение (неравенство ) качественно изменяется (меняется вид записи или изменяется количество корней) называются контрольными значениями.
Примечания:
1. Общих способов нахождения контрольных значений параметров и решения уравнений и неравенств нет, поэтому на конкретных примерах различных типов и видов уравнений и неравенств рассмотрим теоретические и практические основы уравнений и неравенств с параметрами.
2. Задачи, сводящиеся к решению уравнений (неравенств) с параметрами могут быть сформулированы по-разному. Самые распространенные формулировки:
- решить уравнение (неравенство) при всех а;
- установить количество корней уравнения (решений неравенства) в зависимости от а.
Примеры решения уравнений и неравенств с параметрами
Пример 1. Решить уравнение 
Решение. 1) Заменим данное уравнение равносильным ему: 
…(*)
2) Найдем контрольные значения параметра а: а(а+1)=0, а1 = 0, а2 = -1.
3) Решим уравнение (*) на каждом подмножестве множества действительных чисел:
.
а) Пусть а = 0, тогда уравнение (*) примет вид 
. Такое уравнение не имеет корней;
б) Пусть а = -1, тогда уравнение (*) примет вид 
. Корнями такого уравнения являются любые действительные числа. в) Пусть 
, тогда из уравнения (*) следует 
.
4) Обобщим полученные результаты и запишем ответ: если а = 0, то уравнение корней не имеет; если а = -1, то 
; если , то .
Пример 2. Решить неравенство 
.
Решение. 1) Найдем контрольные значения а: а1 = 0, а2 = -1.
2) Решим данное неравенство на каждом подмножестве множества действительных чисел: 
, 
, 
, 
, 
.
а) Пусть a < -1, из данного неравенства следует 
; б) Пусть a = -1, тогда данное неравенство примет вид 
, а такое неравенство не имеет решений;
в) Пусть –1<a<0, тогда из данного неравенства следует 
, так как а(а+1)<0;
г) Пусть а = 0, тогда данное неравенство имеет вид 
, но такое неравенство не имеет решений; д) Пусть a > 0, тогда из данного неравенства следует .
3) Обобщим полученные результаты и запишем ответ:
если a < -1 или a > 0, то ; если а = 0 или a = -1, то неравенство решений не имеет; если –1<a<0, то .
Пример 3. Для каждого а найдите число корней уравнения 
.
Решение. 1) Используя определение модуля действительного числа, заменим данное уравнение на совокупность двух смешанных систем и решим их:
а) 
б) 
2) Обобщим полученные результаты и запишем ответ:
если a < -2, то 
; если 
, то 
;
если 
, то 
, 
; если 
, то .
Пример 4. Решить неравенство для каждого действительного а 
.
Решение. Так как 
и 
- это те значения х, при переходе через которые меняется знак или числителя или знаменателя левой части данного неравенства, то и рассмотрим три случая взаимного расположения а и 
на числовой прямой и для каждого случая найдем решение.
1) Пусть 
тогда неравенство выполняется при 
или 
.
2) Пусть 
, тогда неравенство принимает вид 
или 
и выполняется при всех х, отличных от .
3) Пусть 
тогда неравенство выполняется при 
или 
.
Обобщим полученные результаты и запишем ответ:
если , то или ; если , то , кроме ;
если , то или .
Пример 5. Решить уравнение 
.
Решение. 1) Найдем первое контрольное значение а: а – 2 = 0, а1= 2.
2) Пусть а = 2, тогда данное уравнение примет вид: 4х + 1 = 0 , т. е. 
.
3) Пусть 
, результат решения зависит от дискриминанта.
а) 
б) 
в) 
4) Обобщим полученные результаты и запишем ответ:
если а = 2, то ; если 
то 
;
если а = 1, то х = -1; если а = 6, то х = 1,5; если 
или 
, то корней нет.
Пример 6. Решить неравенство 
Решение. 1) Найдем контрольное значение а: а = 0.
2) Пусть а = 0, неравенство примет вид 
.
3) Пусть 
, тогда неравенство будет иметь решение только при условии, что дискриминант 
, т. е. 
.
Учитывая знак а, будем иметь 
.
4) Пусть 
, тогда условие () будет выполнено и решение исходного неравенства будет иметь вид 
или 
.
5) Обобщим полученные результаты и запишем ответ:
если , то или ; если а = 0, то ;
если то ;
если 
, то неравенство решений не имеет.
Контрольное задание для учащихся 9 классов (правила оформления – на обложке)
М.9.2.1. Решите уравнения:
а) 
б) 
; в) 
.
М.9.2.2. Решите неравенства:
а) 
б) 
; в) 
.
М.9.2.3. При каких а уравнение 
имеет единственный корень?
М.9.2.4. При каких а уравнение 
имеет решение, удовлетворяющее условию 
?
