Применение теории Флоке в задачах моделирования дифракции света На фотонных кристаллах
Российский Университет Дружбы Народов, *****@***ru
В работе рассматривается применение теории Флоке к задачам моделирования дифракции света на периодических средах, когда необходимо решать систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме с периодическими коэффициентами. Исследовано дисперсионное уравнение для одномерного фотонного кристалла, с помощью которого можно установить области, в которых распространение электромагнитных волн невозможно.
Ключевые слова – теория Флоке, фотонные кристаллы, дифракция света в периодических средах.
1. Введение
На сегодняшний день фотонные кристаллы применяются во многих современных оптических устройствах микроэлектроники, инфокоммуникациях, и представляют большой интерес для изучения. Используя их свойства можно достигать практически полного отражения для любых углов световых волн определенной частоты, также с их помощью можно разделять световые волны различной длины. Фотонный кристалл представляет собой слоисто-периодическую среду, поэтому для моделирования дифракции света в фотонных кристаллах нужно уметь решать систему уравнений Максвелла с периодическими коэффициентами. Для нахождения общего периодического решения можно воспользоваться теорией Флоке, которая рассматривается в данной работе.
2. Постановка задачи
Согласно теории Флоке общее периодическое решение может быть записано в виде [1]:
(1)
где ck - произвольные постоянные, φk - периодические функции с периодом ω, αk - характеристический показатель.
Преимущество данного подхода по сравнения с классическими методами состоит в том, что существенно упрощаются вычислительные схемы и таким образом легче и быстрее решать задачи для двухмерных и трехмерных кристаллов.
В качестве примера рассматривается дифракция света в одномерном фотонном кристалле вдоль направления z, тогда диэлектрическая проницаемость является периодической функцией вида
, (2)
причем 
, где d – период.
Рассмотрим случай распространения волны вдоль оси z для ТЕ-моды. Находим решение уравнений Максвелла в однородном слое. Учитывая равенство тангенциальных компонент поля на границах раздела двух сред, получим систему уравнений, связывающую неопределенные коэффициенты в слоях с диэлектрической проницаемостью ε1 и ε2. Из этой системы получаем уравнения, которые связывают неопределенные коэффициенты в соседних ячейках. Решая полученные уравнения с использованием (1) и учитывая условие периодичности, получаем следующую систему:
(3)
В системе (3) множитель 
является собственным значением матрицы коэффициентов. Собственные векторы, отвечающие этим значениям, являются решениями уравнения (3). Тогда получаем общее периодическое решение, коэффициенты которого не зависят от номера ячейки n:
(4)
Далее, решая характеристическое уравнение системы (3) относительно множителя , получим дисперсионное уравнение, которое устанавливает зависимость между блоховским волновым числом K, частотой ω и х-составляющей kx волнового вектора:
(5)
Из уравнения (5) можно установить, если K принимает комплексные значения, блоховская волна является затухающей, и, следовательно, распространение электромагнитных волн невозможно, образуются так называемые запрещенные зоны. В области, где волновое число K вещественное, блоховские волны будут распространяться, этот случай соответствует разрешенным зонам [2].
3. Выводы
Используя теорию Флоке, в результате получаем общее периодическое решение, коэффициенты которого не зависят от номера ячейки. Результаты дисперсионной зависимости представлены на рис. 2. Темные зоны соответствуют вещественному K, в этой области электромагнитные волны будут распространяться. Светлые области соответствуют комплексным значениям K, это запрещенные зоны.
Рис.1. Зонная структура для ТЕ-волн (ω измеряется в единицах с/d, kx в единицах 1/d)
Литература
1. Дж. Сансоне. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Том I, - М.: Издательство иностранной литературы, 1958.
2. А. Yariv, P. Yeh. Оптические волны в кристаллах: Пер. с англ. – М.: Мир, 1987.
Application of Floquet theory for modeling problems of light diffraction on photonic crystals
A. A. Tyutyunnik
Peoples’ Friendship University of Russia, *****@***ru
The Application of Floquet theory to the problem of simulation of diffraction on periodic media is examined in this paper, when necessary to solve Maxwell’s equation in differential form with periodic coefficients. The dispersion equation for one-dimensional photonic crystal, that can be used to identify areas in which the propagation of electromagnetic waves is impossible, was investigated.
Key words – the Floquet theory, photonic crystals, diffraction of light in periodic media.
