О КОМПАКТНОСТИ В УПОРЯДОЧЕННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ С ТОПОЛОГИЕЙ 
, ,
Напомним основные определения. Пусть 
упорядоченное множество точек.
Элемент 
называется наибольшим в Х, если 
.
Множество Х называется направленным, если 
.
Топологией 
в Х называется топология, порождённая базой 
.
Множество Х с топологией обозначим 
.
Справедливо
Предложение 1. Если имеет наибольший элемент Þ - компактно.
Доказательство.
Пусть 
- наибольший в Х элемент, 
- открытое покрытие : 
Þ 
. В силу открытости множество 
содержит и окрестность 
, а так как - наибольший элемент в Х, то 
, что и говорит о компактности Х.
Следствие. Множества 
компактны 
.
Предложение 2. Пусть Х - направленное Þ компактно Û в Х есть наибольший элемент.
Доказательство.
С учётом предложения 1 осталось проверить, что компактное имеет наибольший элемент.
Возьмём открытое покрытие 
, где 
.
В силу компактности выделим из 
конечное подпокрытие: 
. Так как Х является направленным множеством, то для 
, откуда 
, тем самым 
, т. е. - наибольший в Х элемент.
Пусть 
. Известно ([1]), что непрерывность отображения f эквивалентна монотонному возрастанию.
Приведём некоторые определения из [2].
Упорядоченное множество Х называется условно полной структурой, если всякое непустое ограниченное сверху (снизу) подмножество в Х имеет sup (inf).
Упорядоченное множество Х является полной структурой, если всякое непустое подмножество в Х имеет sup и inf.
Условно полная структура, имеющая наибольший элемент, является полной.
Теорема Тарского ([2]) говорит о том, что всякое монотонно возрастающее отображение полной структуры в себя имеет неподвижную точку.
Предложение 3. Пусть Х направленное множество, являющееся условно полной структурой, - компактно; 
и f непрерывно Þ f имеет неподвижную точку.
Доказательство.
Из предложения 2 в Х существует наибольший элемент, а поэтому Х является полной структурой.
Непрерывность f эквивалентна монотонному возрастанию.
Таким образом, для Х и f выполнены условия теоремы Тарского, откуда следует существование неподвижной точки.
Список используемых источников
1. Общая топология. Основные структуры. - М., 1958.
2. Вулих в теорию полуупорядоченных пространств. - М., 1961.
