Анализ содержания КИМов по теме «Функции»

2.1 Анализ содержания КИМов по теме «Функции»

Для успешного решения задач единого экзамена по теме «Функции» необходимо умения находить область определения, множество значений функции, нули функции, промежутки знакопостоянства, точки максимума и минимума и т. п. Можно выделить два обобщенных умения, связанных с исследованием свойств функций: а) уметь «читать» график функции и «переводить» его свойства с графического языка на алгебраический (и наоборот), б) уметь работать с формулой, задающей функцию, обосновывая или проверяя наличие указанных свойств. Например, предлагается на рисунке с изображением графиков нескольких функций выбрать возрастающие на заданном промежутке функции. Для выполнения такого задания не нужно искать промежутки знакопостоянства производной данной функции или проводить доказательство на основе определения возрастающей функции. Достаточно отыскать график, который на заданном промежутке «поднимается вверх» с увеличением значений аргумента.

Другим важным умением является умение оперировать с формулой, задающей функцию. Причем работа с формулой связывает задания данного блока с другими темами курса алгебры и начал анализа. Например, при нахождении нулей функции нужно решать уравнения; при определении промежутков знакопостоянства функции — решать неравенства; при поиске области определения функции — находить область определения выражения и т. п.

Задачи третьей части блока «Функции»в экзаменационных материалах отличаются, как правило, от задач частей 1 и 2 сочетанием в условии различных элементарных функций. Различны и применяемые при решении методы. Объединяет их использование функционального подхода, т. е. исследование свойств функции, полученной из основных элементарных функций. Например, присутствие в уравнении различных типов элементарных функций есть весьма надежный признак того, что методы тождественных преобразований, замен переменных, упрощения выражений и т. п. сами по себе не приведут к ответу. Никакими «стандартными» преобразованиями синус не сведешь к логарифму, а показательную функцию не получишь из квадратичной (не приобретя при этом логарифмов). В таких ситуациях полезно использовать общие методы исследования функций на область определения и множество значений, на монотонность и экстремумы и т. д.

В ЕГЭ-2004 в части 3 впервые появились задания, условия которых в явном виде предполагали исследование функции с помощью производной. Первоначально планировалось в качестве задачи С2 предложить текстовую задачу, в которой ученики должны составить простейшую математическую модель, ввести необходимую функцию и исследовать ее на экстремум. Собственно именно так и выглядели задания С2 демонстрационного и тренировочного вариантов ЕГЭ - 2004. Однако обсуждения предложенного демонстрационного варианта и результаты апробаций показали, что, либо модель текстовой задачи должна быть примитивной и тогда получается задание недостаточно высокого уровня сложности, либо следует отказаться от хоть сколько-нибудь развернутой текстовой задачи. Дело в том, что даже сравнительно небольшие усилия по составлению нужной функции по описанной в тексте ситуации даются выпускникам с трудом. Поэтому был выбран путь, на котором математическая модель уже была составлена, т. е. включена в условие задачи. Общая идея состояла в рассмотрении движения точки по участку графика функции у = у(х) и нахождении экстремальных значений площади или периметра прямоугольника (иногда, треугольника), так или иначе связанного с этой точкой.

Результаты проведения ЕГЭ-2004 показали, что даже в такой, сильно упрощенной ситуации заметное число выпускников действует по шаблону, никак не учитывая конкретику задания. Было довольно много работ, в которых ученики дифференцировали саму функцию у = у(х), а вовсе не функцию площади или периметра. Другими словами, слепо заученный алгоритм действия («...вижу у = у{х) — нахожу производную и приравниваю ее к нулю...») заслоняет у школьников реальные представления о ситуации, описанной в условии задачи. Заметим, что в задачах С2 в 2004 году один или оба конца отрезка, на котором исследовалась функция, специально были выбраны «нехорошими», чтобы проверять не столько вычислительный, сколько более содержательный алгоритм исследования функции на монотонность.

В части 3 вариантов КИМ в 2005 году не было заданий, в условии которых в явном виде предполагалось бы исследование той или иной функции. В то же время «функциональная» составляющая была одной из основных в решении задания С5. В этих задачах на первом же этапе решения следовало проверить, что уравнение вида f(x) = g(x) с тематически разнородными частями имеет единственный корень. Как правило, функция g была линейной, а функция f в различных вариантах менялась в соответствии с тематической спецификацией, т. е. была показательной, логарифмической, степенной, или тригонометрической.

В действующих учебниках старшей школы имеются заметные различия в изложении того, как решать уравнения вида f(x) = g(x). В некоторых учебниках таких уравнений нет совсем, в некоторых они находятся среди частных примеров, или же упражнений повышенного уровня сложности. В ряде учебников в явном виде сформулировано утверждение («теорема о корне»), позволяющее разбираться с описанной ситуацией. Сформулируем эту теорему в виде правила, весьма полезного для решения уравнений функционально-графическим методом.

Теор. Уравнение f(x) = g(x) имеет на промежутке ровно один корень, если выполняются следующие условия:

1) функции в левой и правой частях уравнения непрерывны на промежутке;

2) одна из этих функций возрастает, а другая убывает на промежутке;

3) на промежутке есть два числа а и b такие, что

Задания С5 из вариантов ЕГЭ-2006 на первом шаге состоит в решении логарифмического неравенства, на втором шаге используются тождественные преобразования выражений, и на заключительном этапе по существу нужен функционально-графический подход к решению уравнений. После этого в решении снова используются функции. В данном случае, это обычная квадратичная функция, правда, ограниченная на объединение двух промежутков.

Как мы видим, для решения задания такого уровня сложности нужны и решения неравенств, и тождественные преобразования выражений, и исследование элементарных функций.

Аналогичным образом, и в заданиях С5 на ЕГЭ-2007 проверялись, как умения производить тождественные преобразования, так и умения решать обычные, алгебраические уравнения, так и навыки решения уравнений функционально-графическими методами.

Исследование функций было существенно в заданиях СЗ в ЕГЭ - 2006. Так же, как и ЕГЭ-2004 было решено включить задание на нахождение экстремальных значений тех или иных числовых характеристик плоских фигур. Вообще, задания на нахождение наибольшего значения площадей многоугольников или наименьшего значения их периметра весьма типичны для практико-ориентированных заданий, демонстрирующих возможности исследования функций с помощью производной. Такие задачи есть во всех учебниках старшей школы.

В ЕГЭ-2006 было решено несколько усложнить эти стандартные ситуации, перейдя к невыпуклым многоугольникам, добавив при этом некоторые ограничения возможных размеров их сторон.

В самых общих чертах, задание СЗ в ЕГЭ-2008 напоминало задание СЗ из ЕГЭ-2007: тоже задача с параметром, тоже решение неравенств, тоже исследование функций. Однако функций было две, и они не сводились к одной функции. Кроме того, вид функций были сложнее (не квадратические), и рассматривать приходилось не одно неравенство с параметром, а совокупность двух неравенств.

Также в заданиях СЗ на ЕГЭ-2008 вместо произведения двух выражений рассматривалось их отношение, сами выражения были более сложными и строгое неравенство было заменено на нестрогое. Кроме того, требовалось не забыть проверить, что значение переменной, при котором числитель достигает наименьшего значения входит в ОДЗ знаменателя.

Привожу примеры 3 уроков итогового повторения по теме «Функции».

2.2 Конспекты дополнительных уроков по теме «Функции»

Урок 1. Функции

Цели: - повторить и систематизировать имеющиеся знания по теме

«Функции»;

- отработка навыков находить область определения, множество

значений функции, нули функции, точки максимума и

минимума.

Оборудование: мультимедийный проектор, компьютер, презентация.

Ход урока

I. Решите устно (презентация):

1. На графике показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. На оси абсцисс отмечается время суток в часах, на оси ординат значение температуры в градусах. Определите по графику наибольшую температуру воздуха 15 августа.

Ответ: наибольшая температура воздуха 15 августа – 140 С.

2. На рисунке показан график изменения температуры воздуха. Сколько часов температура была выше 22 градусов?

Ответ: 8 часов.

3. График какой из перечисленных функций изображен на рисунке?

1) y = log2x;

2) y = 2x;

3) y = (0,5)x;

4) y = log0,5x.

Ответ: y = 2x.

4. График, какой из перечисленных функций изображен на рисунке?

Ответ: 4.

5. На одном из рисунков изображен график функции Укажите этот рисунок.

Ответ: 1.

6. На одном из рисунков изображен график функции у = ех. Укажите этот рисунок.

Ответ: 2.

7. На одном из рисунков изображен график функции у = 3х – 1.Укажите этот рисунок.

Ответ: 4.

II. Актуализация знаний.

Что называется областью определения функции?

Областью определения D (y) функции у = f(x) называется множество всех значений аргумента х, для которых выражение f(x) имеет смысл.

1.  Найдите область определения функции

Решение. Числитель и знаменатель дроби определены при все действительных значениях х. Поэтому найдем все значения х, при которых знаменатель обращается в нуль, и исключим их из множества действительных чисел:

3х+4 – 9 = 0; 3х+4 = 32; х + 4 = 2; х = - 2.

Итак, данная функция определена при всех значениях х, кроме - 2.

Ответ: (- ∞; - 2)∩( - 2; +∞).

2.  Найдите область определения функции у = log0,5(3 - 2х).

Решение. По определению логарифма получаем 3 - 2х > 0, следовательно, 3 > 2х, т. е. х < 1,5.

Ответ: (- ∞; 1,5).

3.  Функция задана графиком. Укажите область определения этой функции.

Решение. На оси Ох выделим множество значений аргумента, для которых, исходя из графика, можно указать соответствующие значения функции. Таким промежутком является промежуток [-4; 4). Таким образом, областью определения функции является промежуток [-4; 4).

Ответ: [-4; 4).

Что называется областью значений функции?

Множеством значений Е(у) функции у = f(x) называется множество всех таких чисел у0 для каждого из которых найдется число хо такое, что: f(xо)= у0.

Найдите область значений функции f(x) = -5 cos х.

Решение. Областью значений функции у = cos х является промежуток [-1; 1], т. е. -1 ≤ cos х ≤ 1.

Умножая все члены неравенства на -5 и меняя знак неравенства на противоположный, получаем: -5 ≤ -5 cos х ≤ 5.

Ответ: [-5; 5].

Дайте определение четной и нечетной функции.

Функция у = f(x) называется чётной, если для любого х принадлежащего D(f) число - х также принадлежит D(f) и при этом справедливо равенство f(-x)= f(x). График чётной функции симметричен относительно оси Оу.

Функция у = f(x) называется нечётной, если для любого x принадлежащего D(f) число - х также принадлежит D(f) и при этом справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

1.  Укажите рисунок, на котором изображен график четной функции.

Решение. График четной функции симметричен относительно оси ординат. Такой график изображен только на рис. 1.

Ответ: 1.

2. Укажите нечетную функцию. 1) у=cosx; 2) у = log5x; 3) у= 4) у=5х.

Решение. Функция у =cos x является четной.

Областью определения функции у = log5x является промежуток (0; +∞), т. е. не выполняется условие: для любого х из области определения значение - х также принадлежит этой области. Следовательно, функция у = log5x не является нечетной.

Область определения функции у = при нечетных n - множество всех действительных чисел, причем . Значит, эта функция нечетная.

Область определения функции у = ах — множество всех действительных чисел, но , а значения 5х и 1/5х - совпадают только при х = 0. Следовательно, функция у = 5х не является нечетной.

Ответ: у = 5х.

2. Какая из функций, заданных графиком, возрастает на промежутке [а; b]?

Какая функция называется возрастающей?

Функция у = g(x) возрастает на промежутке [а; b], если для любых двух значений аргумента х1 и х2 этого промежутка из неравенства х1 < х2 следует g(x1) < g(x2).

Ответ: график 3, т. к. Для любых x1 и х2 из промежутка [а; b] из неравенства x1< х2 следует g(x1)<g(x2), т. е. функция у=g(x) возрастает на [а;b].

2.  Найдите точки максимума функции f(х) = х3 - Зх2.

Решение. Производная данной функции — многочлен Зх2 – 6x, значит, она определена во всех точках и обращается в нуль в точках x=0 и х=2. В точке 0 производная меняет знак с плюса на минус, в точке 2 - с минуса на плюс. По признакам точек максимума и минимума функции получаем, что точка 0 является точкой максимума, а точка 2 - точкой минимума функции f(x) = х3 - Зх2.

Ответ: 0.

3. По графику производной у = h’(x) функции у=h(x), изображенному на рисунке, укажите точку минимума функции у = h(x) на промежутке (а; b).

Дайте определение максимума функции?

Если функция дифференцируемая на (а;b) и непрерывная на [а;b] функция f(x) достигает своего наибольшего значения на отрезке [а;b] либо на концах отрезка, либо в одной из своих точек максимума, принадлежащих интервалу (а;b).

Дайте определение минимума функции?

Если функция дифференцируемая на (а;b) и непрерывная на [а;b] функция f(x) достигает своего наименьшего на отрезке [а; b] значения либо на концах отрезка, либо в одной из своих точек минимума, принадлежащих интервалу (а; b).

Решение. Производная у = h’(x) функции у = h(x) определена во всех точках промежутка (а; b) и обращается в нуль в точках -1 и 3. В точке -1 производная меняет знак с плюса на минус, а в точке 3- с минуса на плюс. Следовательно, по признакам точек максимума и минимума получаем, что точка 3 — точка минимума функции у = h(x).

Ответ: точка 3 – точка минимума.

3.  Найдите нули функции у = log2(2x - 3).

Что называется нулём функции?

Нулём функции называется значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

Решение. Решим уравнение log2(2x - 3)=0; 2x-3=20 ; 2x-3=1; 2x = 4; x=2.

Ответ: функция обращается в нуль в точке 2.

4.  По графику функции у = f(x), изображенному на рисунке, найдите все нули функции.

Решение: Нули функции — абсциссы точек пересечения графика с осью Ох. На рисунке это точки -2 и 4.

Ответ: -2 и 4.

Дайте определения производной и первообразной функции.

Пусть функция у = f(х) определена в точке х и некоторой её окрестности (интервале, содержащем точку х). Дадим аргументу х приращение дельта х (положительное или отрицательное), такое, чтобы не выйти из указанной окрестности. Найдем соответствующее приращение функции и составим отношение . Если существует предел этого отношения при дельта х→ 0, то этот предел называется производной функции у=f(х) в точке х и обозначается f’(x):

Пусть f(x)— некоторая функция, определённая на интервале (а; b). Если функция F(x) такова, что для любого х из интервала (а; b) выполнено равенство F’(х) =f(х), то функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале (а; b).

5.  Найдите производную функции у = 5х2 sinx.

Решение. Данная функция является произведением двух функций: у=5х2 и у= sin x Используя правило дифференцирования произведения функций, получаем: у' = (5х2)' * sin x +5х2 * (sin x)'; у' = 10х sin x + 5х2 cosx.

Ответ: у' = 10х sin x + 5х2 cosx.

6. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции у=7х-5sinx в точке с абсциссой х0 = π/2.

Решение. Угловой коэффициент касательной к графику функции у=f(х) в точке с абсциссой х0 равен значению производной этой функции в данной точке х0. Найдем производную данной функции: у' =7-5cosx. Вычислим ее значение при заданном значении аргумента: у' = 7 - 5cos(π/2) = 7-5*0 = 7.

Ответ: 7.

III. Домашняя работа.

1.  Найдите область определения функции

2.  Найдите область определения функции у = lg(-х2 - х).

3.  Найдите множество значений функции у = 3sinx.

4.  Найдите множество значений функции у =1,5 + log2,5x.

5.  Найдите точку минимума функции у = х2 - 1.

6.  Найдите точку максимума функции у =4x – x4

7.  Найдите нули функции

8.  Найдите число нулей функции у=(х-1)lg(x2 -2х-2).

9.  Найдите производную функции у = Зх2 cosx.

10.  Найдите производную функции

11.  Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции у = -0,5x2 в его точке с абсциссой х0 = -3.

12.  Найдите значение производной функции у = х2 + sinx в точке x0 = π.

13.  Найдите первообразную функции f(x) = x + cos x.

14.  Укажите первообразную функции f(x) = ex +12.