СБОРНИК НАУЧНЫХ ТРУДОВ НГТУ. - 2010. - № 3 - 1 - 10
УДК 519.24
О МАСШТАБИРОВАНИИ ДАННЫХ «ВХОД-ВЫХОД» ПРИ ИДЕНТИФИКАЦИИ ОБЪЕКТОВ©
ВОЕВОДА А. А., ТРОШИНА Г. В.
Исследуется влияние масштабирования входных и выходных переменных на точность определения параметров матрицы состояния динамического объекта.
Ключевые слова: идентификация, обусловленность, масштабирование данных, метод наименьших квадратов.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается динамический объект вида:
, 
, (1)
где 
, 
, 
– векторы состояния размерности 
, управления размерности 
, наблюдения размерности 
соответственно, т. е. число входов и выходов одно и то же («квадратный объект»). Рассмотрим простейший случай, когда 
- единичная матрица. Для компактности записи вместо уравнения (1) будем писать
. (2)
Следующее предположение – в качестве замеров берем те моменты времени, которые соответствуют установившемуся режиму – например, входной сигнал в виде ступенек достаточных по протяженности для завершения переходных процессов, т. е. это соответствует 
и, следовательно, уравнение (2) можно переписать так:
. (3)
Примем также предположение, что рассматриваем устойчивые объекты, т. е. собственные числа 
матрицы 
по модулю меньше единицы. Перепишем (3) в следующем виде:
. (4)
Исследуем влияние масштабирования переменных на точность определения значений неизвестных параметров.
2. ПРИМЕР РАСЧЕТА
Для компактности рассуждений возьмем случай 
=2. То есть рассмотрим пример:
.
Для моделирования возьмем матрицы и 
из [1, 2, 3 ]:
; 
.
Параметры матрицы будем считать неизвестными. Преобразуем уравнение (4) к виду, удобному для применения метода наименьших квадратов. Допустим, было произведено 
измерений:
(5)
Обозначим 
через 
. Развернем систему (5):
.
Тогда результаты измерений можно записать в следующем виде:
(6)
Преобразуем систему (6) к виду:
=
. (7)
Допустим, что матрица известна. Введем для уравнения (7) следующие обозначения:
, (8)
где матрица
- размерности 
, 
- размерности , 
- размерности 
, 
- размерности . К уравнению (8) применим метод наименьших квадратов:
,
Введем масштабы для переменныхи 
: 
, 
, где
, 
.
Введение масштабов приводит уравнение (7) к следующему виду:
=
=
. (9)
Перепишем (9) в следующем виде:
=
=
. (10)
Таким образом, можно записать систему следующим образом:
.
Обозначим 
, 
: 
. К последнему уравнению можно применить метод наименьших квадратов:
.
В рассматриваемом примере используется управление следующего вида: значения 
=1 и 
=0 для первой точки, =0 и =1 для второй точки, =-1 и =-2 для третьей точки. Введены масштабы:
, 
.
Ниже приведены значения матрицы 
до масштабирования.
После осуществления операции масштабирования имеем следующие значения матрицы :
.
Величина обусловленности матрицы до масштабирования значительная – 3310 и, соответственно, получаем оценки параметров матрицы со значительными погрешностями. После проведения операции масштабирования обусловленность матрицы уменьшается – 65, а погрешности оценок параметров матрицы при этом уменьшаются.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной работе проведен вывод соотношений, необходимых для вычисления оценок неизвестных параметров, находящихся в матрице состояния динамического объекта, в случае осуществления масштабирования входных и выходных переменных по данным установившегося режима.
[1] ГОРСКИЙ В. Г., АДЛЕР Ю. П., ТАЛАЛАЙ А. М. Планирование промышленных экспериментов. Модель динамики. - М.: Металлургия, 1978. - 112 с.
[2] ТРОШИНА Г. В. Активная идентификация линейных динамических дискретных стационарных объектов во временной области: Дис. канд. техн. наук (05.13.01) / Новосиб. гос. техн. ун-т. - Новосибирск, 2007.
[3] ВОЕВОДА А. А., ТРОШИНА Г. В., ИШИМЦЕВ Р. Ю. О применении информационной матрицы Фишера для оптимального оценивания параметров технологического процесса приготовления шихты. //Сб. науч. тр. НГТУ. - Новосибирск, 2006. – Вып.4(46). – c. 149-154.
– профессор кафедры автоматики Новосибирского государственного технического университета.
E-mail: *****@***ru
– доцент кафедры вычислительной техники Новосибирского государственного технического университета.
E-mail: *****@***cs. nstu. ru
A. A. Voevoda, G. V. Troshina
About scaling of the «input-output» data at objects identification
Influence of input-output data scaling on accuracy of parameters matrix definition of dynamic object is investigated.
Key words: identification, conditionality, scaling of the data, method of the least squares.
© Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки ГК №П694 от 01.01.2001
