Лекция №1

Лекция №1

§1. Введение.

Мы начинаем курс «Математические основы алгебраической теории поля /алгебродинамики/». Курс основан на лекциях . Представлен расширенный и сильно переработанный вариант лекций. Можно сказать, что данный курс лекций является адаптированным для менее подготовленного (с точки зрения Высшей математики) студента. Цель – донести до слушателя /читателя/ новую парадигму и суть алгебраической теории поля, которая представляет собой явление как в современной физике, так и математике. Ценность в том, что такие теории (новые, смелые) заставляют уйти с проторенных дорог и будят фантазию, которая нам всем так необходима при исследовании (существенно) нелинейного Мира. О чём пойдёт речь? Что это такое? Уже из названия видно, что речь пойдёт, прежде всего, о математике, а также о физике и о связи между физикой и математикой.

В физике до сих пор остаётся много вопросов и нерешённых проблем. Вероятно, настал тот момент, когда становится востребованной более глубокая, надёжная база (если хотите, - основа) в физике. Эта основа, как показывает опыт исследовательской работы многих физиков (и математиков), лежит не в физике, а в математике: в каких-то исключительных алгебраических структурах. Конечно, подходов много. Можно, например, изучать не алгебру, а какую – либо геометрию – искать основу физики в геометрии, и за каждой геометрией последовательно строить мир. Но такой подход оказывается ещё более сложным, чем алгебраический.

Проблема, по сути, состоит в разработке нового математического языка, внутренне приспособленного к описанию явлений различной природы. С другой стороны, этот язык должен быть сформирован на основе некоторого внешнего унифицированного начала, позволяющего рассматривать эти явления с общих позиций. Тогда только можно рассчитывать на то, что взаимосвязи внутри математического аппарата получат адекватное физическое приложение. Хорошо известным примером использования такого (богатого) языка является теория электромагнетизма Максвелла. Создание этой теории привело к открытию электромагнитных волн. В языке, полноценно включающем наблюдаемый физический мир, должны содержаться новые реальности, которые могут быть найдены путём исследования структуры математического формализма.

Современная алгебра изучает множества, на которых определены одна или несколько операций. При этом совершенно не важно, из каких элементов состоят эти множества, необходимо только, чтобы выполнялись определённые отношения между элементами. Эти отношения задаются с помощью системы требований, составляющих совокупность аксиом. Например, современная математика исследует структуру отношений между объектами.

Понятие алгебры является одним из важнейших в математике. Под алгеброй понимается векторное пространство в котором задана операция умножения, т. е. каждой паре элементов сопоставлен элемент который называется их произведением, при этом выполнены обычные законы дистрибутивности. Если в качестве скаляров для векторного пространства берутся вещественные (комплексные) числа, то говорят о вещественной (комплексной) алгебре. Алгебра называется коммутативной, если для всех Алгебра называется ассоциативной, если , для всех Существуют и другие классы алгебр (например, существует неассоциативная алгебра).

Что значит построить аксиоматическую теорию данной алгебраической структуры? Это значит вывести логические следствия из её аксиом, отказавшись от всяких других предположений относительно рассматриваемых элементов. Множество, на котором заданы одна или несколько операций, представляет собой алгебраическую структуру.

Аксиоматический метод и понятие алгебраической структуры позволяют математикам исследовать сущность понятия операции, выяснить её свойства, доказать в общем виде теоремы, которые до этого были известны, может быть, лишь в частных случаях.

Например, рассмотрев алгебраические структуры группы, кольца, поля, мы имеем возможность в общем виде исследовать вопросы о выполнимости обратных операций вычитания, деления, о правилах раскрытия скобок, о решении уравнений не только в числовой области, но и для классов вычетов, поворотов плоскости, множеств, функций и других объектов.

Н. Бурбаки однажды сказал: «Структуры являются орудиями математика; каждый раз, когда он замечает, что между изучаемыми им элементами имеют место отношения, удовлетворяющие аксиомам определённого типа, он сразу может воспользоваться всем арсеналом общих теорем, относящихся к структурам этого типа, тогда как раньше он должен был бы мучительно трудиться, выковывая сам средства, необходимые для того, чтобы штурмовать рассматриваемую проблему, причём их мощность зависела бы от его личного таланта, и они были бы отягчены часто излишне стеснительными предположениями, обусловленными особенностями изучаемой проблемы».

Со времён Гамильтона существует идея положить в основу физики обычную конечномерную линейную алгебру. Классификация таких алгебр известна. Среди них существует так называемые исключительные алгебры: алгебра кватернионов и алгебра октанионов.

Основы алгебры кватернионов были заложены Гамильтоном. Какими свойствами обладают эти числа? Кватернионы обладают следующими свойствами:

1.  Ассоциативность сложения и умножения:

2.  Коммутативность:

3.  Дистрибутивность:

4.  Однозначность деления: если то определяется одно и только одно число

5.  «Закон модулей»: если то .

6.  Взаимно однозначное соответствие между точками трёхмерного пространства и числами

Термин «ассоциативность» ввёл Гамильтон, а «коммутативность» и «дистрибутивность» - Сервуа. Гамильтон ввёл «современное» определение комплексного числа как упорядоченной пары действительных чисел с аксиоматическим заданием операций для этих пар. Я. Бойяи, практически, в то же время пришёл к аналогичному представлению комплексных чисел.

У Р. Пенроуза есть статья, посвящённая комплексным числам. В этой статье он объясняет, почему в физике возникают комплексные числа Этому же вопросу посвящена работа А. Раняда, где он рассматривает вопрос о том, почему именно комплексные числа играют такую важную роль.

Гамильтониан считал, что «если геометрия опирается на интуицию пространства, то алгебра могла бы опираться на интуицию времени». Математическая обработка наблюдаемых явлений, по его мнению, создаёт особый мир математических символов, который находится в определённом соответствии с внешним миром. Гамильтон полагал, что в каждой физической теории следует идти от фактов к законам путём индукции и анализа и идти от законов к следствиям дедуктивным или искусственным путём. Гамильтониан стремился объединить геометрию и алгебру. Вот его главная цель.

Кватернионная алгебра представляет собой единственную ассоциативную алгебру с делением и положительной нормой. У кватернионов имеется свойство некоммутативности, которое порождает определённую группу симметрии (группу внутренних автоморфизмов, т. е. преобразований). У комплексных чисел такой группы нет. Геометрия пространства-времени определяется свойствами группы автоморфизмов фундаментальной алгебраической структуры. Эта группа выступает в роли клейновской группы движений метрики. Физические поля рассматриваются как специального вида отображения многообразия на себя (это могут быть аналитические, гомоморфные и т. п. отображения) или как отображения, имеющие чисто геометрическую природу в духе геометродинамики Уиллера. Оказывается, уравнения физических полей полностью и однозначно определяются фундаментальной алгебраической структурой и не требуют для своего вывода каких-либо дополнительных принципов физического характера (например, такие теории являются нелагранжевыми) и имеют, следовательно, чисто алгебраическое происхождение. Поэтому теория, которая предлагается вашему вниманию, получила название «алгебродинамика».

«Мы хотим не только знать, как устроена природа (и как происходят природные явления), но и по возможности достичь цели, может быть утопической и дерзкой на вид, - узнать, почему природа является именно такой, а не другой»[1] /А. Эйнштейн/

Настолько ли утопической, невозможной является попытка узнать, почему природа является такой, какой она есть, какой мы её видим? Мы попытаемся сделать «невозможное»: получить из одной строки, формулы некий замкнутый физический мир. Конечно, этот путь скорее не физический, а математический.

Ответ на многие загадки природы можно получить, предполагая, что наша Вселенная в действительности есть не что иное, как ФИЗИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ («МАТЕРИАЛИЗАЦИЯ») НЕКОТОРОГО ОБЩЕГО ПРИНЦИПА ЧИСТО АБСТРАКТНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО (АЛГЕБРАИЧЕСКОГО) ХАРАКТЕРА.

Интересен тот факт, что А. Эйнштейн после блестящего построения[2] Специальной теории относительности (СТО) и Общей теории относительности (ОТО), и не являясь, как известно, сильным математиком, пришёл к выводу, что необходимо найти пути построения ЕДИНОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ. Часто говорят о ЕДИНОЙ ТЕОРИИ ВСЕГО.

В теоретической физике существуют две фундаментальные концепции, которые позволяют надеяться на построении ЕДИНОЙ ТЕОРИИ:

1. гипотеза о геометрической природе всех физических взаимодействий;

2. гипотеза о полевой природе всех элементарных частиц.

Первая концепция связана с именами В. Клиффорда и Б. Римана. Частично эта идея была реализована Эйнштейном для гравитационного взаимодействия в рамках общей теории относительности (ОТО). Дальнейшее развитие гипотеза получила развитие в теориях Калуцы – Клейна и в теории калибровочных полей.

Вторая концепция восходит к работам Г. Ми и Н. Розена и представлениям Эйнштейна о частицах как сингулярностях поля. Эта гипотеза привела в дальнейшем к понятию о СОЛИТОНАХ как регулярных, «частицеподобных» решениях нелинейных уравнений физических полей. Например, такие поля могут сопоставляться барионам (в модели Скирма) или лептонам (в модели Максвелла – Дирака. Теория солитонов продолжает развиваться и сегодня. Многие исследователи развивают эту идею, к примеру, в РУДН этими вопросами занимается …

Объединение двух этих концепций могло бы привести к построению единой физической теории, где поля и частицы сводятся к геометрическим характеристикам пространства – времени. В 1957 г. такую попытку предприняли Ч. Мизнер и Дж. Уиллер. Они получили (путём исключения электромагнитных потенциалов из системы уравнений Максвелла 0 Эйнштейна) нелинейные уравнения, геометризующие как гравитацию, так и электромагнетизм, и обнаружили у них частицеподобные решения – ГЕОНЫ. Уиллер назвал такую теорию геометродинамикой.

Однако, возникает вопрос: могут ли такие «супертеории» приблизить нас к решению таких фундаментальных проблем строения Вселенной, как истинная размерность и топология пространства – времени, лоренц-инвариантность и калибровочная инвариантность физических взаимодействий? Можем ли мы, на этом пути, понять глубинные причины существования наблюдаемого набора фундаментальных полей?

С другой стороны, никакие физические закономерности, даже самого общего характера (например, постоянство скорости света, равенство инертной и гравитационной масс, целочисленность электрического заряда, отсутствие античастиц в свободном состоянии и т. д.) не в состоянии приблизить нас к такому уровню понимания природы, т. к. сами требуют объяснения из других, первичных принципов. Мы сейчас всё ещё далеки от понимания того, чем пространство – время Минковского лучше, чем, например, двумерное евклидово пространство. Почему электромагнитные поля, подчиняющиеся уравнениям Максвелла, оказались выделенными?

Для математиков идея теории всего, пожалуй, уже не нова. Она восходит к временам Пифагора, Гамильтона, Клиффорда. Суть идеи сводится к тому, что ЧИСЛА ЛЕЖАТ В ОСНОВЕ МИРА. В результате возникает совершенно новое понимание принципов организации Вселенной.

Действительно, «непостижимая эффективность математики», о которой писал Е. Вигнер[3], проявилась наиболее ярко как в групповой основе калибровочных полей (с выделенными группами Ли) или в топологической основе киральных теорий[4], так и в суперсимметричных теориях, где алгебраическая структура реализуется непротиворечиво только при определённых размерностях суперпрос транства.

Для математиков исключительность некоторых алгебро–геометро–топологических структур и соответствующих им размерностей пространства была уже очевидной с древнейших времён. Но кроме Пифагора и некоторых мистиков Востока, никто не предпринимал серьёзных попыток сопоставить эти алгебраические (уникальные) структуры с исключительностью физического мира. И дело не только в сложности проблемы. В значительной мере отсутствие таких попыток определялось, скорее всего, с философской парадигмой: о КАРДИНАЛЬНОМ РАЗЛИЧИИ МЕЖДУ ОБЪЕКТИВНОЙ ПРИРОДОЙ ФИЗИЧЕСКОГО МИРА И УСЛОВНО-СУБЪЕКТИВНОЙ СУЩНОСТЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СТРУКТУР, ПОРОЖДЁННЫХ ЯКОБЫ ФАНТАЗИЯМИ РАЗУМА.[5]

Сразу вспоминаешь знаменательные слова С. Эрмита: «Я верю, что числа и функции анализа не являются произвольным созданием нашего ума; я думаю, что они существуют вне нас в силу той же необходимости, как и объекты реального мира, и мы их встречаем или их открываем и изучаем точно так, как это делают физики, химики или зоологи»[6].

Таким образом, возникает новая парадигма: Всё сущее в природе едино. Существование и свойства фундаментальных математических структур и законов физического мира равно объективно. Следует ОТОЖДЕСТВИТЬ эти исключительные математические структуры и законы природы. Наблюдаемый физический мир следует считать ОТРАЖЕНИЕМ некоторой исключительной математической структуры, а все его законы, в первую очередь законы строения и взаимодействия частиц, рассматривать как прямые следствия характеристических уравнений математики и свойств этой структуры, и только их.

Вопрос состоит в выборе фундаментальной структуры. После чего все следствия должны ЖЁСТКО И ПОЛНОСТЬЮ соответствовать наблюдаемым свойствам структур физического мира. Если бы это удалось сделать, мы могли бы сказать, что перешли с описательного на качественно новый уровень построения физической теории. Тем самым мы приблизились бы к основам Мира. Как вы понимаете, с программой такого масштаба теоретическая физика ещё не имела дела.

Близкие по замыслу работы, которые также могут привести к созданию совершенно нового класса теорий, принадлежат И. Воловичу (р-адическая квантовая теория), Ю. Владимирову (бинарная геометродинамика), Ю. Кулакову (теория физических структур). Кулакова основаны на чисто абстрактных свойствах специального рода отображений[7].

Обычная линейная алгебра с основной определяющей её билинейной операцией умножения представляет собой простейший, наиболее симметричный тип общей алгебраической структуры (универсальной алгебры) и отвечает изотропной (как на макро-, так и на микроуровне) геометрии пространства-времени, с возможной особенностью в нуле (в силу выделенности нулевого элемента и отсутствием для него обратного). Такая ситуация может отвечать невозмущённому физическому вакууму. Описание же материи может быть связано либо 1) с рассмотрением достаточно широкого класса отображений нарушенной симметрии на многообразии с высоко-симметричной фундаментальной алгебраической структурой и соответствующей ей геометрии, либо 2) с переходом к менее симметричным алгебраическим структурам (например, гладкие квазигруппы, группоиды и т. п.). Если рассматривать первый вариант, то вакуумная геометрия, определяемая высоко-симметричной фундаментальной алгебраической структурой, остаётся неизменной и изотропной, а материя представлена физическими полями, рассматриваемыми как функции – отображения, аналитические по отношению к определяющей алгебре. Условия аналитичности, реализующие полевую динамику, нелинейны и могут иметь решения с различной симметрией, в том числе и регулярные. Последнее позволяет надеяться на реализацию солитонной концепции элементарных частиц. Большое значение в таком подходе имеет механизм автоспонтанного нарушения симметрии, возможный благодаря существованию инвариантного решения, интерпретируемого в качестве космологического вакуумного поля.

Однако, при таком подходе, материя и геометрия оказываются независимыми друг от друга, а гравитационное поле должно описываться на равных основаниях с другими физическими полями. Хорошо ли это? Или плохо?

Здесь возникает проблема аналитичности кватернионной функции.

§2. Гиперкомплексная аналитичность.

Алгебра. Основные соотношения. Определения.

Рассмотрим мерное векторное пространство над полем действительных чисел или комплексных чисел Каждый элемент пространства может быть представлен в виде:

(1.1)

где координаты элемента или ; полная система независимых базисных векторов – также элементов пространства по повторяющимся индексам здесь и далее предполагается суммирование.

Определение: Говорят, что на пространстве задана структура мерной алгебры если, кроме операций сложения и умножения на число, определяющих структуру векторного пространства, задана ещё операция умножения элементов из т. е. отображение ставящая в соответствие двум произвольным элементам третий элемент называемый их произведением:

(1.2)

При этом предполагается, что операция умножения связана с операцией сложения распределительным законом:

(1.3)

(1.4)

и имеется нулевой элемент для которого при любом

(1.5)

----

Из формул (1.3)-(1.5) непосредственно следует, что координаты элемента (произведения) определяются билинейной формой:

(1.6)

где числа (действительные или комплексные) называются структурными константами алгебры и определяют таблицу умножения базисных векторов пространства

(1.7)

Размерность векторного пространства называется размерностью (или порядком) алгебры Мы будем рассматривать в дальнейшем ассоциативную алгебру. Это означает, что выполняются следующие тождества:

(1.8)

для любых элементов Из свойства ассоциативности следует также независимость произведения любого конечного числа элементов ассоциативной алгебры от способа расстановки скобок. Если расписать в координатах условие (1.8), то можно получить следующие соотношения для структурных констант ассоциативной алгебры:

(1.9)

/Получите эти соотношения, самостоятельно/

Здесь мы дали сокращённую запись произведений структурных констант , которые связаны с произведением соответствующих базисных векторов:

(1.10)

Определение: Алгебра называется коммутативной, если для любых элементов имеет место тождество:

(1.11)

в противном случае алгебра называется некоммутативной:

(1.12)

Определение: Алгебра называется алгеброй с единицей (или с единичным элементом), если существует элемент такой, что для любого элемента имеют место соотношения:

(1.13)

Можно доказать, что единичный элемент является единственным в алгебре. /Докажите самостоятельно/ Для его координат имеем следующие соотношения:

(1.14)

где символ Кронекера. В большинстве случаев мы можем выбрать в качестве координат следующий вектор:

(1.15)

Определение: Алгебра называется алгеброй с делением, если для любых элементов причём уравнения

(1.16)

имеют решения (и эти решения – единственные).

В алгебре с делением и единицей для каждого элемента существует обратный ему элемент, единственный, для которого выполняются соотношения:

(1.17)

В этом случае решение уравнений (1.16) может быть представлено в виде:

(1.18)

Замечание: В некоторых алгебрах обратный элемент и, следовательно, операции деления (1.18) существуют для некоторого непустого подмножества элементов Это подмножество обратимых элементов замкнуто относительно операции умножения в алгебре образуя структуру непрерывной группы – мультипликативной группы алгебры

Определение: Нормированной алгеброй называется алгебра, в которой для каждого элемента существует действительное или комплексное число , - норма элемента - которое удовлетворяет условию мультипликативности:

(1.19)

Можно показать, что, с точностью до возведения в степень, есть квадратичная форма от координат :

(1.20)

где симметричный тензор, определяющий метрику, соответствующую нормированной алгебре Если алгебра определена над полем норма и метрика могут быть как положительно определёнными, так и индефинитными (например, в случае алгебры расщеплённых октонионов).

При невырожденных однородных линейных преобразованиях группы элементов :

(1.20)

сохраняющих структуру векторного пространства из формулы (1.6) следует, что структурные константы алгебры преобразуются по тензорному закону:

(1.21)

где матрица, обратная к матрице т. е.

(1.22)

Две алгебры и , структурные константы которых связаны соотношением вида (1.21), называются изоморфными алгебрами: преобразованием одной из этих алгебр законы умножения обеих алгебр могут быть приведены к одинаковому виду.

Существуют такие преобразования из группы (1.20), при которых структурные константы обеих алгебр не изменяются:

(1.23)

Такие преобразования сохраняют структуру всех операций алгебры:

(1.24)

И называются (линейными) автоморфизмами алгебры Эти преобразования образуют группу – группу автоморфизмов алгебры, причём т. е. группа автоморфизмов изоморфна некоторой подгруппе группы обратимых матриц над полем или (полем действительных чисел или комплексных чисел).

Непрерывную подгруппу группы образуют внутренние автоморфизмы, определяемые с помощью произвольного обратимого (обратного) элемента

(1.25)

Число независимых параметров в этой подгруппе не превышает размерности алгебры, /Докажите, что это так/ Для коммутативных алгебр преобразования (1.25) вырождаются в тождественные. /Что это значит?/ Для многих алгебр (например, для полной матричной алгебры любого порядка ) не существует других автоморфизмов, кроме внутренних автоморфизмов.

Определение: Подпространство векторного пространства замкнутое относительно операции умножения в алгебре, называется подалгеброй алгебры Таким образом, если то Подалгебра содержит и нулевой элемент алгебры но не может содержать единицу (единичный элемент).

Определение: Подалгебра замкнутая относительно операции умножения на любой элемент алгебры слева, справа или с обеих сторон, называется лево-, право- или двухсторонним идеалом алгебры Таким образом, если и то в случае левостороннего идеала, в случае правостороннего идеала и выполняются оба условия в случае двухстороннего идеала

Например, матрицы-столбцы вида являются левосторонним идеалом алгебры квадратных матриц группы , а матрицы-строки вида являются правосторонним идеалом той же алгебры квадратных матриц.

Случаи и обычно не рассматриваются (почему?).

Определение: Алгебра, в которой не существует двухсторонних идеалов, называется простой алгеброй.

Большинство используемых алгебр в физике относятся к этому классу.

Отметим ряд важных теорем (без доказательства).

Теорема 1 (Веддерберна): Все простые ассоциативные алгебры над полем - это в точности все полные матричные алгебры с элементами из ассоциативной алгебры с делением над

Теорема 2 (Фробениуса): Над полем действительных чисел существует только три (с точностью до изоморфизма) ассоциативных алгебры с делением: это алгебры самих действительных чисел комплексных чисел и алгебра кватернионов Гамильтона

Поэтому всякая простая алгебра над полем изоморфна некоторой полной матричной алгебре с элементами – действительными, комплексными числами или кватернионами. Полные матрицы комплексных чисел исчерпывают все возможные простые алгебры над полем Матричные представления известны для всех используемых в физике алгебр.

Теорема 3 (Гурвица): Существует лишь четыре исключительных алгебры над полем с единицей, которые обладают положительно-определённой нормой. Кроме тех же алгебр - это 8-мерная алгебра октнионов (чисел Кэли) ʘ.

Нормированные алгебры без единичного элемента также определяются через эти четыре алгебры. Алгебра ʘ не является ассоциативной. Кроме того, существует ещё 8-мерная алгебра «расщеплённых» октонионов Цорна с индефинитной нормой. Эта алгебра не изиморфна алгебре ʘ над полем действительных чисел.

Теорема 4: Алгебры с делением над полем (в том числе и неассоциативные) могут существовать только в пространствах размерности (!)

[1] Физика и реальность, М., Наука, 1965, с.156

[2] Обратите внимание, что в основу СТО и ОТО Эйнштейн положил чисто физические принципы.

[3] Этюды о симметрии, М., Мир, 1971, с.182.

[4] Киральные теории приводят к целочисленности «зарядов» частиц.

[5] Невольно задумываешься о важности развития философии в сегодняшнем мире.

[6] Очерки по истории математики, М., ИЛ, 1963, с.29

[7] , Монография …