Раздел 2. Общее равновесие в экономике обмена

Раздел 2. Общее равновесие в экономике обмена

1. Рассмотрите экономику обмена с двумя благами (1 и 2) и двумя потребителями (А и В). Пусть первоначальные запасы потребителей А и В описываются векторами и соответственно, причем в точке первоначального запаса , а .

(а) Изобразите точку первоначального запаса в ящике Эджворта.

(б) Предполагая, что предпочтения потребителей монотонны, т. е. чем больше благ в наборе, тем потребителю лучше, покажите, что точка первоначального запаса не является Парето-оптимальной, построив Парето-улучшение. Приведите графическую иллюстрацию.

Ответ: (б)

Из учебного пособия Левина, Покатович «Микроэкономика: задачи и решения»

2. Рассмотрите экономику обмена с двумя благами (1 и 2) и двумя потребителями (А и В). Считая, что первоначальные запасы потребителей описываются векторами (i) и ; (ii) и , изобразите в ящике Эджворта множество Парето-оптимальных распределений в каждом из следующих случаев:

(а) и ;

(б) и ;

(в) и .

(г) и ,

(д) и .

Ответ:

При описании рисунков всюду предполагается, что в ящике Эджворта нижний левый угол – это начало координат для А, а верхний правый – это начало координат для В.

Случай (i) и :

(а) Диагональ ящика Эджворта.

(б) Треугольник, ограниченный с одной стороны диагональю, а с другой стороны линией и стенкой ящика Эджворта, где и .

(в) весь ящик Эджворта.

(г) весь ящик Эджворта.

(д) левая стенка ящика Эджворта ( и ) и верхняя стенка ящика Эджворта ( и ).

Случай (ii) и :

(а) Параллелограмм, ограниченный биссектрисами под 45 градусов, выходящими из начала координат для потребителя А и для потребителя В, и стенками ящика Эджворта, где ( и ) и ( и ).

(б) Треугольник, ограниченный с одной стороны диагональю, а с другой стороны линией биссектрисой под 45 градусов начала координат для В и стенкой ящика Эджворта, где и .

(в) Периметр ящика Эджворта.

(г) весь ящик Эджворта.

(д) левая стенка ящика Эджворта ( и ) и верхняя стенка ящика Эджворта ( и ).

3. Рассмотрите экономику обмена с двумя благами и двумя потребителями (А и В), предпочтения которых описываются функциями полезности вида и . Первоначальные запасы потребителей заданы векторами и .

(а) Проверьте выполнение закона Вальраса для данной экономики, вычислив избыточный спрос на каждое благо.

(б) Приведите определение равновесия по Вальрасу для данной экономики.

(в) Найдите равновесие по Вальрасу в данной экономике.

(г) Найдите множество Парето-оптимальных распределений и изобразите в ящике Эджворта. Будут ли граничные Парето-оптимальные распределения? Будет ли равновесное распределение Парето-оптимально?

Ответ:

(а) Находим функции спроса на каждое благо (пользуясь формулой спроса для Кобба-Дугласа, чтобы не тратить время на вычисление: если , то , , где - доход потребителя; выведено на лекции) и вычисляем совокупный избыточный спрос:

; .

Тогда для всех векторов цен , при которых определен избыточный спрос (в данном случае для всех положительных цен).

(б) Определение равновесия:

Состояние экономики является равновесием по Вальрасу в данной экономике, если

1) набор является решением задачи потребителя А

;

2) набор является решением задачи потребителя В

;

3) все рынки уравновешены

;

.

(в) Равновесие: , , , , .

(г) Множество Парето-оптимальных распределений (уравнение контрактной кривой): , где . Два граничных Парето-оптимальных распределения: , .

Поскольку в данной экономике выполнены все предпосылки первой теоремы благосостояния, то равновесное распределение Парето-оптимально, в чем можно убедиться проверив, что равновесное распределение удовлетворяет уравнению контрактной кривой.

4. Рассмотрите экономику обмена с двумя благами (1 и 2) и двумя потребителями (А и В). Пусть первоначальные запасы потребителей описываются векторами и . Пусть функции полезности потребителей имеют вид и . Найдите равновесие по Вальрасу и изобразите равновесное распределение в ящике Эджворта. Будет ли равновесное распределение Парето-оптимально?

Ответ: Равновесие в данной экономике не существует.

5. Рассмотрите экономику обмена с двумя благами (1 и 2) и двумя потребителями (А и В), предпочтения которых описываются функциями полезности вида и . Первоначальные запасы потребителей заданы векторами и .

(а) Найдите равновесие в данной экономике.

(б) Найдите множество Парето-оптимальных распределений и изобразите в ящике Эджворта. Будут ли граничные Парето-оптимальные распределения? Будет ли равновесное распределение Парето-оптимальным?

(в) Рассмотрите распределение . Можно ли данное распределение реализовать как равновесное в экономике с трансфертами? Если вы считаете, что можно, то найдите соответствующие цены и трансферты. Если – нет, то объясните почему.

Ответ: (а) Равновесие: , , , , . (б) Множество Парето-оптимальных распределений: , где - внутренние Парето-оптимальные распределения; при и - граничные Парето-оптимальные распределения. Равновесное распределение является Парето-оптимальным. (в) Данное распределение можно реализовать при ценах , и трансфертах , .

6. Рассмотрите экономику обмена с двумя благами и двумя потребителями (А и В), предпочтения которых описываются функциями полезности вида и . Первоначальные запасы потребителей заданы векторами и .

(а) Можно ли распределение реализовать как равновесное при каких-либо ценах и трансфертах? Если вы считаете, что можно, то укажите соответствующие цены и трансферты. Если – нет, то объясните почему.

(б) Можно ли распределение реализовать как равновесное при каких-либо ценах и трансфертах? Если вы считаете, что можно, то укажите соответствующие цены и трансферты. Если – нет, то объясните почему.

Ответ: (а) Данное распределение нельзя реализовать как равновесное по первой теореме благосостояния, поскольку оно не является Парето-оптимальным. (б) Данное распределение можно реализовать при ценах , и трансфертах , .

7. Рассмотрите экономику обмена с двумя благами (1 и 2) и двумя потребителями (А и В), предпочтения которых представимы функциями полезности и соответственно. Пусть потребитель А обладает всем запасом второго блага (), а потребитель В – всем запасом первого блага (). Покажите, что точка первоначального запаса является Парето-оптимальной и при этом не может быть реализована как равновесное распределение ни при каких положительных ценах.

Ответ: В том, что точка первоначального запаса является Парето-оптимальной легко убедиться, приведя графическую иллюстрацию (заметим, что поскольку точка первоначального запаса является граничной, то здесь нельзя использовать условие равенства предельных норм замещения). Поскольку потребитель В ценит только первое благо, то при положительных ценах на блага он будет тратить весь свой доход только на первое благо, предъявляя на него положительный спрос в количестве . При этом потребитель А также ценит первое благо и также предъявляет на него положительный спрос, а значит условие сбалансированности на рынке первого блага не выполнено, т. е. такая ситуация не может быть равновесной.

8. Рассмотрите экономику обмена с двумя благами и двумя потребителями (А и В), предпочтения которых описываются функциями полезности вида и . Начальные запасы благ: и . Найдите равновесие по Вальрасу в данной экономике. Будет ли равновесное распределение единственно?

Ответ: Из учебного пособия Левина, Покатович «Микроэкономика: задачи и решения»

Если , то суммарный спрос потребителей на второе благо превышает начальный запас этого блага в экономике: . То есть, при ценах равновесия в рассматриваемой экономике нет.

Аналогично, если , то суммарный спрос потребителей на первое благо превышает начальный запас этого блага в экономике: . Следовательно, при ценах равновесия в экономике нет.

Проанализируем случай . Тогда компоненты вектора распределения должны удовлетворять следующим условиям: (решение задачи потребителя А), (решение задачи потребителя В), (условие допустимости при положительной цене должно выполняться как равенство) и (равенство, так как ). Тогда, при ценах равновесные распределения , где .

9. Рассмотрите экономику обмена с двумя благами (1 и 2) и двумя потребителями (А и В), которые имеют следующие первоначальные запасы: и . Пусть предпочтения потребителей представимы функциями полезности и . Найдите равновесие в данной экономике (при положительных ценах) либо докажите, что равновесие не существует.

Ответ: Из учебного пособия Левина, Покатович «Микроэкономика: задачи и решения»

Решение задачи потребителя А при положительных ценах: . Решение задачи потребителя В при положительных ценах . В силу условия сбалансированности рынков для равновесных распределений должны выполняться условия для .

Сложим при . Тогда как в экономике только 4 единицы первого блага. Таким образом, при положительных ценах рынок первого блага не будет сбалансирован. Этого достаточно, чтобы утверждать, что равновесия при ценах не существует.