Контрольная работа № 5

Контрольная работа № 5.

1.10.

Решить дифференциальное уравнение, построить интегральные кривые, выделить на рисунке кривую, проходящую через точку М (0;-1),записать уравнение этой кривой.

y×dy + 2x×dx = 0

Решение

Уравнение с разделяющимися переменными.

График общего решения – семейство интегральных кривых. В нашем случае это семейство эллипсов с центром в начале координат и общим уравнением

РИСУНОК

При x=0 - частное решение, которому сответствует кривая, проходящая через точку М (на рисунке зеленый цвет)

2.10.

Найти общее решение (или общий интеграл) дифференциального уравнения:

a)  (4x – 3y)dx + (2y – 3x)dy = 0;

Общий интеграл имеет вид

Дифференцируем по y

b) x×y’ – y = x×lnx

Применяем метод вариациии произвольной постоянной. Решаем однородное уравнение

подставим в неоднородное уравнение

Общее решение

3.10.

Найти общее решение дифференциального уравнения:

a)  x×y”+ y’= 4x;

Уравнение неполное. Делаем замену

Подставляем в уравнение

Решаем однородное уравнение

подставляем в неоднородное уравнение

общее решение

b)  y” = y’

Решение

Неполное уравнение второго порядка. Замена

Подставляем в уравнение

общее решение

4.10

Найти частное решение дифференциального уравнения y”+ p×y’+q×y =f(x), удовлетворяющее начальным условиям y(0)=a; y’(0)=a.

y”- 3×y’+2y = 10×sin x; y(0)=5, y’(0)=4.

Решение

Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Его общее решение имеет вид

Решаем однородное уравнение

Общее решение однородного уравнения

Частное решение неоднородного уравнения подбирается по виду правой части. В нашем случае имеет вид

Подставляем в исходное уравнение для нахождения А и В

Общее решение исходного уравнения

Искомое частное решение

5.10.

Найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющих указанным условиям. Систему решить методом исключения.

2+ - 5y = 0

x(0) = 1; y(0) = 1

-3 + 5x = 0

Найдем общее решение системы

Вычтем из 1-го уравнения второе

Подставим во второе уравнение

Решаем линейное однородное уравнение

Общее решение

Общее решение системы

Подставляем начальные условия

Частное решение системы

6.10.

Найти и построить кривую, проходящую через точку М (1;3),у которой отрезок, отсекаемый любой касательной на оси ординат, равен квадрату абсциссы точки касания.

Решение

Пусть уравнение искомой кривой y=y(x), причем y(1)=3.

Уравнение касательной к кривой в точке (X, Y)

Величина отрезка, отсекаемого на оси ОУ, равна

Так как это условие выполняется в любой точке Х, получаем дифференциальное уравнение

Решаем однородное уравнение

Общее решение

Учитывая начальные условия, имеем:

- уравнение искомой кривой

РИСУНОК