Задача 2.3.
Расчет на устойчивость по коэффициентам продольного изгиба
Определить размеры поперечного сечения стального вертикально расположенного стержня длиной l, который нагружен продольной силой F.
Схема закрепления концов балки и форма поперечного сечения ее приведена на рис. 2.3, численные значения: l = 2,1 м; F = 800 кН. Общие данные: материал стержня сталь марки Ст. 3; [s] = 160 МПа.
 |
Рис. 2.3
Порядок решения задачи
1. Вычертить в масштабе заданную схему с указанием численных значений заданных величин.
2. Определить размеры поперечного сечения стержня методом последовательного приближения.
3. Найти числовое значение критической силы Fкр и коэффициент запаса устойчивости ny.
Решение задачи
Задачу решаем методом последовательных приближений. Принимаем в первом приближении j0 = 0,8.
1-я итерация
Определяем площадь поперечного сечения стержня:
А ≥ F / j0×[s] = 800×103 / 0,8 160×106 =6,25 10-3 м2 = 62,5 см2, а размер поперечного сечения стержня: a = ÖА = Ö62,5 = 7,90 см.
Радиус инерции сечения стержня:
i = Ö(JХ/A) = Ö(a 4/12×a2) = a×/2×Ö3 = 0,289×a = 0,289×7,90 = 2,28 см.
С учетом коэффициента приведения длины m = 0,5 определим гибкость стержня по формуле:
l = m×l / i = 0,5×210 / 2,28 = 46.
Для материала стержня (сталь марки Ст. 3) по таблице при гибкости l = 40 соответствует коэффициент понижения допускаемого напряжения j 1 = 0,92, а гибкости l = 50 соответствует j 1 = 0,89. Промежуточное значение для l = 46 определяем по линейной интерполяции:
j1 = 0,92 – [(0,92 – 0,89)×6 / 10] = 0,902.
Погрешность расчёта:
δ = (j1 – j0)/ j1×100% = (0,902 – 0,8)/0,902×100% = 11,3% > 5%
2-я итерация
Во втором приближении j2 = (j0 + j1)/2 = (0,8 + 0,902)/2 = 0,851
Определяем площадь поперечного сечения стержня:
А ≥ F / j2×[s] = 800×103 / 0,851 160×106 =5,88 10-3 м2 = 58,8 см2, а размер поперечного сечения стержня – a = ÖА = Ö58,8 = 7,67 см.
Радиус инерции сечения стержня
i = Ö(JХ/A) = Ö(a 4/12×a2) = a×/2×Ö3 = 0,289×a = 0,289×7,67 = 2,22 см.
Определим гибкость стержня:
l = m×l / i = 0,5×210 / 2,22 = 47,3.
Промежуточное значение коэффициента понижения напряжения для l = 47,3 определяем по линейной интерполяции:
j3 = 0,92 – [(0,92 – 0,89)×7,3 / 10] = 0,898.
Погрешность расчёта:
δ = (j3 – j2)/ j3×100% = (0,898 – 0,851)/0,898×100% = 5,2% > 5%
3-я итерация
Во втором приближении j4 = (j2 + j3)/2 = (0,851 + 0,898)/2 = 0,874
Определяем площадь поперечного сечения стержня:
А ≥ F / j4×[s] = 800×103 / 0,874 160×106 =5,72 10-3 м2 = 57,2 см2, а размер поперечного сечения стержня – a = ÖА = Ö57,2 = 7,56 см.
Радиус инерции сечения стержня
i = Ö(JХ/A) = Ö(a 4/12×a2) = a×/2×Ö3 = 0,289×a = 0,289×7,56 = 2,19 см.
Определим гибкость стержня:
l = m×l / i = 0,5×210 / 2,19 = 47,94.
Промежуточное значение коэффициента понижения напряжения для l = 47,3 определяем по линейной интерполяции:
j5 = 0,92 – [(0,92 – 0,89)×7,94 / 10] = 0,896.
Погрешность расчёта:
δ = (j5 – j4)/ j5×100% = (0,896 – 0,874)/0,896×100% = 2,4% < 5%
Окончательно принимаем размер поперечного сечения стержня:
а = 7,56 см.
Напряжения в стержне s = F / А = 800×10 3 / 57,2×10 –4 = 139,86 МПа,
При таком значении j допускаемое напряжение при расчете на устойчивость равно
[sу] = j5×[s] = 0,896×160 = 143,36 МПа.
Для стали марки Ст. 3 предельное значение гибкости, при котором применима формула Эйлера, равно l пред ³ 100.
Поскольку для рассчитываемого стержня l = 47,94 <100, то для расчёта критической силы формула Эйлера неприменима.
Расчёт критической силы производят по формуле:
F крит = [sу]×А = 143,36×10 6×57,2×10-4 = 820 кН.
Коэффициент запаса устойчивости равен
n у = F крит / F = 820 / 800 = 1,025.
