Задача 2.3. Расчет на устойчивость по коэффициентам продольного изгиба

Задача 2.3.

Расчет на устойчивость по коэффициентам продольного изгиба

Определить размеры поперечного сечения стального вертикально расположенного стержня длиной l, который нагружен продольной силой F.

Схема закрепления концов балки и форма поперечного сечения ее приведена на рис. 2.3, численные значения: l = 2,1 м; F = 800 кН. Общие данные: материал стержня сталь марки Ст. 3; [s] = 160 МПа.

 

Рис. 2.3

Порядок решения задачи

1. Вычертить в масштабе заданную схему с указанием численных значений заданных величин.

2. Определить размеры поперечного сечения стержня методом последовательного приближения.

3. Найти числовое значение критической силы Fкр и коэффициент запаса устойчивости ny.

Решение задачи

Задачу решаем методом последовательных приближений. Принимаем в первом приближении j0 = 0,8.

1-я итерация

Определяем площадь поперечного сечения стержня:

А ≥ F / j0×[s] = 800×103 / 0,8 160×106 =6,25 10-3 м2 = 62,5 см2, а размер поперечного сечения стержня: a = ÖА = Ö62,5 = 7,90 см.

Радиус инерции сечения стержня:

i = Ö(JХ/A) = Ö(a 4/12×a2) = a×/2×Ö3 = 0,289×a = 0,289×7,90 = 2,28 см.

С учетом коэффициента приведения длины m = 0,5 определим гибкость стержня по формуле:

l = m×l / i = 0,5×210 / 2,28 = 46.

Для материала стержня (сталь марки Ст. 3) по таблице при гибкости l = 40 соответствует коэффициент понижения допускаемого напряжения j 1 = 0,92, а гибкости l = 50 соответствует j 1 = 0,89. Промежуточное значение для l = 46 определяем по линейной интерполяции:

j1 = 0,92 – [(0,92 – 0,89)×6 / 10] = 0,902.

Погрешность расчёта:

δ = (j1 – j0)/ j1×100% = (0,902 – 0,8)/0,902×100% = 11,3% > 5%

2-я итерация

Во втором приближении j2 = (j0 + j1)/2 = (0,8 + 0,902)/2 = 0,851

Определяем площадь поперечного сечения стержня:

А ≥ F / j2×[s] = 800×103 / 0,851 160×106 =5,88 10-3 м2 = 58,8 см2, а размер поперечного сечения стержня – a = ÖА = Ö58,8 = 7,67 см.

Радиус инерции сечения стержня

i = Ö(JХ/A) = Ö(a 4/12×a2) = a×/2×Ö3 = 0,289×a = 0,289×7,67 = 2,22 см.

Определим гибкость стержня:

l = m×l / i = 0,5×210 / 2,22 = 47,3.

Промежуточное значение коэффициента понижения напряжения для l = 47,3 определяем по линейной интерполяции:

j3 = 0,92 – [(0,92 – 0,89)×7,3 / 10] = 0,898.

Погрешность расчёта:

δ = (j3 – j2)/ j3×100% = (0,898 – 0,851)/0,898×100% = 5,2% > 5%

3-я итерация

Во втором приближении j4 = (j2 + j3)/2 = (0,851 + 0,898)/2 = 0,874

Определяем площадь поперечного сечения стержня:

А ≥ F / j4×[s] = 800×103 / 0,874 160×106 =5,72 10-3 м2 = 57,2 см2, а размер поперечного сечения стержня – a = ÖА = Ö57,2 = 7,56 см.

Радиус инерции сечения стержня

i = Ö(JХ/A) = Ö(a 4/12×a2) = a×/2×Ö3 = 0,289×a = 0,289×7,56 = 2,19 см.

Определим гибкость стержня:

l = m×l / i = 0,5×210 / 2,19 = 47,94.

Промежуточное значение коэффициента понижения напряжения для l = 47,3 определяем по линейной интерполяции:

j5 = 0,92 – [(0,92 – 0,89)×7,94 / 10] = 0,896.

Погрешность расчёта:

δ = (j5 – j4)/ j5×100% = (0,896 – 0,874)/0,896×100% = 2,4% < 5%

Окончательно принимаем размер поперечного сечения стержня:

а = 7,56 см.

Напряжения в стержне s = F / А = 800×10 3 / 57,2×10 –4 = 139,86 МПа,

При таком значении j допускаемое напряжение при расчете на устойчивость равно

[sу] = j5×[s] = 0,896×160 = 143,36 МПа.

Для стали марки Ст. 3 предельное значение гибкости, при котором применима формула Эйлера, равно l пред ³ 100.

Поскольку для рассчитываемого стержня l = 47,94 <100, то для расчёта критической силы формула Эйлера неприменима.

Расчёт критической силы производят по формуле:

F крит = [sу]×А = 143,36×10 6×57,2×10-4 = 820 кН.

Коэффициент запаса устойчивости равен

n у = F крит / F = 820 / 800 = 1,025.