Практическое задание №2: Нелинейная парная регрессия

Практическое
задание №2: Нелинейная парная регрессия

Y	X
1,10	2,72
1,33	2,91
1,58	3,18
1,81	3,50
2,09	3,71
2,32	3,88
2,59	4,06
2,85	4,18
3,14	4,39
3,43	4,44
3,69	4,55
3,90	4,63
4,20	4,61
4,42	4,66
4,72	4,70

ЗАДАНИЕ

Выполняется в Ехсеl. На основе статистических данных показателя Y и фактора Х найти оценки параметров линии регрессии, если допустить, что стохастическая зависимость между фактором Х и показателем Y имеет вид:

Используя критерий Фишера с надежностью Р = 0,95, оценить адекватность принятой модели статистическим данным.

Если с заданной надежностью принятая математическая модель адекватная экспериментальным данным, то найти:

- с надежностью Р = 0,95 доверительную зону базисных данных;

- точечную оценку прогноза;

- с надежностью Р = 0,95 интервальную оценку прогноза;

- оценки коэффициентов эластичности для базисных значений и прогноза

- оценку индекса корреляции.

Построить графики:

- фактических данных;

- линии регрессии и ее доверительную зону;

- линии эластичности.

Замечание: В условии задания регрессию заменить на соответствующую регрессию.

ХОД РАБОТЫ

Вводится гипотеза, что между фактором Х и показателем Y существует

такая стохастическая зависимость: . Заменой Х1 = приводим нелинейную парную регрессию к парной линейной . Оценки параметров a и b для этой регрессии определяются за формулами

где

Для оценки параметра а необходимо вычислить: , , , .

Эти суммы удобно находить, воспользовавшись пакетом Ехсеl.

Для выполнения практического занятия строим электронную таблицу. Блок исходных данных формируется из первых двух колонок. Для данного примера это будет блок (А3:А15). Расчетный блок промежуточных вычислений располагается в следующих колонках. Для вычисления приведенных сумм вводим в третью строку формулы. Для вычисления х1 в ячейке С3 (табл. 2.7) используем встроенную функцию КОРЕНЬ. После нажатия клавиш Shift – F3 (или пиктограммы fx) открывается окно Мастер функций процессора Ехсеl. После выбора функции КОРЕНЬ нажимаем на кнопку Ok. Функция вставляется в формулу в той позиции, которую занимал курсор введения. Дальше мышью нажимаем на тот амбарчик, для которого нужно найти квадратный корень, то есть В3. В дужках появится эта координата. Нажимаем Enter. Для вычисления и в ячейках В3 и А3 вводим соответствующие формулы =А3*С3 и =C3^2. Для получения других расчетных значений блока С3:Е15 копируем формулы третьей строки в остальные ячейки блока. Для копирования формулы ставим прямоугольник курсора на ячейку С3, мышь наводим на квадрат в нижнем правом углу ячейки С3. Появляется черный крестик. Только тогда нажимаем на левую клавишу мыши и, удерживая ее в таком положении, отмечаем блок копирования к ячейке С15 включительно. Формулы копируются в отмеченный блок. Аналогично делаем для блоков D3:D15 и Е3:Е15.

Для определения сумм столбцов используем встроенную функцию СУММ или пиктограмму Σ. После введения в ячейку А17 этой функции указываем мышью блок А3:А15. Дальше введенная формула копируется в блок В17:Е17. В ячейку В19 вводится формула для вычисления оценки параметра а. В ячейке В20 вычисляется оценка параметра b. Средние значения Х1 и Y вычисляется в ячейках D18, D19 с помощью встроенной статистической функции СРЗНАЧ. Для вычисления значений записываем формулу в амбарчик F3 с абсолютными ссылками координат параметров a и b и с относительной ссылкой координат x11 . После этого копируем формулу в блок F4:F15. В ячейке F17 находим Σуi. Поскольку математическое ожидание отклонений фактических данных от расчетных равняется нулю, то при правильном выполнении расчетов значения ячеек А17 и F17 будут совпадать.

Для оценки адекватности принятой экономической модели экспериментальным данным используется критерий Фишера. Для определения расчетного значения критерия Фишера, оценки доверительной зоны базисных данных, оценки доверительного интервала и оценки прогноза составляем блок промежуточных вычислений G2:L16. Значение

вычисляются соответственно в блоках G3:G15, Н3:Н15, I3:I15, а их суммы в блоке G17:I17. Значение

вычисляется в амбарчике D20. Значение

вычисляются в блоке J3:J15. Значение , , вычисляются соответственно в блоках К3:К15, L3:L15.

Для вычисления перечисленных значений набираем соответствующие формулы в блоке G3:L3 и копируем эти формулы в остальные соответствующие ячейки блока. Используя встроенную функцию СУММ (БЛОК), находим сумму колонки G3:G15 в ячейке G17, дальше копируем эту функцию в ячейки Н17, I17. Для удобства вычислений и построения графика значения прогноза и его доверительный интервал вычисляем в 16-й строке. Значение прогноза показателя заносим в ячейку В16, в ячейке С16 вычисляется значение Х1 прогнозное, а в ячейке F16 - Y прогнозное.

Оценку доверительного полуинтервала для прогноза

вычисляем в ячейке J16. Границы доверительного интервала находятся соответственно в ячейках К16, L16.

Коэффициент эластичности для всех значений вычисляется в колонке М3:М16. Поскольку

то в ячейке М3 формула будет иметь вид: =В$19*С3/(2*F3). Дальше формула копируется в остальные амбарчики колонки.

Расчетное значение критерия Фишера Fрасч = вычисляется в ячейке F19. Значение индекса корреляции вычисляется в ячейке F18.

Для наглядного представления расчетов строим графики в электронной таблице. Строятся графики статистических данных, доверительной зоны для базисных данных и прогноза, а также графики эластичности (рис. 2.17).

Порядок построения графиков описан в практическом занятии №1.

Рис. 2.17. График линии регрессии.

Выводы

1. Поскольку Fрасч > Fтабл ., то с надежностью Р = 0,95 можно считать, что принятая математическая модель адекватная экспериментальным данным и на основе этой модели можно осуществлять экономический анализ и находить значение прогноза.

2. Для Хр = 15 точечная оценка прогноза показателя имеет значение Yp = 11,08. С вероятностью Р = 0,95 прогноз показателя будет приобретать значение в интервале (10,32; 11,84) (См. табл. 2.6).

3. Для прогноза изменение фактора на 1% вызовет изменение показателя в среднем на 0,35%.

Таблица 2.6

Оценка параметров квазилинии регрессии

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M
1
2	Y	X	X1	Y*X1	X1^2	Yp	(Y-Yp)^2	(Y-Yc)^2	(X1-X1c)^2	Dy	Ymin	Ymax	K
3	5,048	1	1,00	5,05	1,00	5,32	0,07	11,10	2,33	0,45	4,87	5,76	0,19
4	5,857	2	1,41	8,28	2,00	6,15	0,08	6,37	1,24	0,35	5,79	6,50	0,23
5	6,959	3	1,73	12,05	3,00	6,79	0,03	2,02	0,63	0,29	6,49	7,08	0,26
6	7,341	4	2,00	14,68	4,00	7,32	0,00	1,08	0,28	0,25	7,08	7,57	0,27
7	8,050	5	2,24	18,00	5,00	7,80	0,06	0,11	0,08	0,22	7,58	8,01	0,29
8	8,076	6	2,45	19,78	6,00	8,22	0,02	0,09	0,01	0,21	8,02	8,43	0,30
9	9,261	7	2,65	24,50	7,00	8,62	0,41	0,78	0,01	0,21	8,41	8,82	0,31
10	9,295	8	2,83	26,29	8,00	8,98	0,10	0,84	0,09	0,22	8,77	9,20	0,32
11	9,622	9	3,00	28,87	9,00	9,33	0,09	1,54	0,22	0,24	9,09	9,57	0,32
12	9,482	10	3,16	29,98	10,00	9,65	0,03	1,21	0,40	0,26	9,39	9,92	0,33
13	9,609	11	3,32	31,87	11,00	9,96	0,13	1,51	0,62	0,29	9,67	10,25	0,33
14	9,909	12	3,46	34,33	12,00	10,26	0,12	2,34	0,88	0,32	9,94	10,58	0,34
15	10,436	13	3,61	37,63	13,00	10,54	0,01	4,23	1,16	0,35	10,20	10,89	0,34
16		15	3,87			11,08				0,76	10,32	11,84	0,35
17	108,945	91	32,85	291,31	91,00	108,95	1,16	33,21	7,97
18	n =	13,00	X1c =	2,53	R =	0,98
19	a =	2,01	Yc =	8,38	Fрасч =	304,10	t(0,95, 13) =	2,16
20	b =	3,31	S =	0,34

Таблица 2.7

Формулы оценок параметров квазилинии регрессии

	A	B	C	D	E	F	G	H
1
2	Y	X	X1	Y*X1	X1^2	Yp	(Y-Yp)^2	(Y-Yc)^2
3	5,048	1	=КОРЕНЬ(B3)	=A3*C3	=C3^2	=$B$19*B3+B$20	=(A3-F3)^2	=(A3-D$19)^2
4	5,857	2	=КОРЕНЬ(B4)	=A4*C4	=C4^2	=$B$19*B4+B$20	=(A4-F4)^2	=(A4-D$19)^2
5	6,959	3	=КОРЕНЬ(B5)	=A5*C5	=C5^2	=$B$19*B5+B$20	=(A5-F5)^2	=(A5-D$19)^2
6	7,341	4	=КОРЕНЬ(B6)	=A6*C6	=C6^2	=$B$19*B6+B$20	=(A6-F6)^2	=(A6-D$19)^2
7	8,050	5	=КОРЕНЬ(B7)	=A7*C7	=C7^2	=$B$19*B7+B$20	=(A7-F7)^2	=(A7-D$19)^2
8	8,076	6	=КОРЕНЬ(B8)	=A8*C8	=C8^2	=$B$19*B8+B$20	=(A8-F8)^2	=(A8-D$19)^2
9	9,261	7	=КОРЕНЬ(B9)	=A9*C9	=C9^2	=$B$19*B9+B$20	=(A9-F9)^2	=(A9-D$19)^2
10	9,295	8	=КОРЕНЬ(B10)	=A10*C10	=C10^2	=$B$19*B10+B$20	=(A10-F10)^2	=(A10-D$19)^2
11	9,622	9	=КОРЕНЬ(B11)	=A11*C11	=C11^2	=$B$19*B11+B$20	=(A11-F11)^2	=(A11-D$19)^2
12	9,482	10	=КОРЕНЬ(B12)	=A12*C12	=C12^2	=$B$19*B12+B$20	=(A12-F12)^2	=(A12-D$19)^2
13	9,609	11	=КОРЕНЬ(B13)	=A13*C13	=C13^2	=$B$19*B13+B$20	=(A13-F13)^2	=(A13-D$19)^2
14	9,909	12	=КОРЕНЬ(B14)	=A14*C14	=C14^2	=$B$19*B14+B$20	=(A14-F14)^2	=(A14-D$19)^2
15	10,436	13	=КОРЕНЬ(B15)	=A15*C15	=C15^2	=$B$19*B15+B$20	=(A15-F15)^2	=(A15-D$19)^2
16		15	=КОРЕНЬ(B16)			=$B$19*B16+B$20
17	=СУММ (A3:A15)	=СУММ (B3:B15)	=СУММ (C3:C15)	=СУММ (D3:D15)	=СУММ (E3:E15)	=СУММ (F3:F15)	=СУММ (G3:G15)	=СУММ (H3:H15)
18	n =	=СУММ(A3:A15)/ СРЗНАЧ(A3:A15)	X1c =	=СРЗНАЧ (C3:C15)	R =	=КОРЕНЬ (1-G17/H17)
19	a =	=(B18*D17-17*C17) /(B18*E17-C17^2)	Yc =	=СРЗНАЧ (A3:A15)	Fрасч =	=F18^2/(1-F18^2)*11	t(0.95,12) =	=СТЬЮДРАСПОБР (0,05; 13)
20	b =	=D19-B19*D18	S =	=КОРЕНЬ (G17/(B18-3))

	I	J	K	L	M
1
2	(X1-X1c)^2	Dy	Ymin	Ymax	K
3	=(C3-D$18)^2	=H$19*D$20*КОРЕНЬ (1/B$18+I3/I$17)	=F3-J3	=F3+J3	=B$19*C3/(2*F3)
4	=(C4-D$18)^2	=H$19*D$20*КОРЕНЬ (1/B$18+I4/I$17)	=F4-J4	=F4+J4	=B$19*C3/(2*F4)
5	=(C5-D$18)^2	=H$19*D$20*КОРЕНЬ (1/B$18+I5/I$17)	=F5-J5	=F5+J5	=B$19*C3/(2*F5)
6	=(C6-D$18)^2	=H$19*D$20*КОРЕНЬ (1/B$18+I6/I$17)	=F6-J6	=F6+J6	=B$19*C3/(2*F6)
7	=(C7-D$18)^2	=H$19*D$20*КОРЕНЬ (1/B$18+I7/I$17)	=F7-J7	=F7+J7	=B$19*C3/(2*F7)
8	=(C8-D$18)^2	=H$19*D$20*КОРЕНЬ (1/B$18+I8/I$17)	=F8-J8	=F8+J8	=B$19*C3/(2*F8)
9	=(C9-D$18)^2	=H$19*D$20*КОРЕНЬ (1/B$18+I9/I$17)	=F9-J9	=F9+J9	=B$19*C3/(2*F9)
10	=(C10-D$18)^2	=H$19*D$20*КОРЕНЬ (1/B$18+I10/I$17)	=F10-J10	=F10+J10	=B$19*C3/(2*F10)
11	=(C11-D$18)^2	=H$19*D$20*КОРЕНЬ (1/B$18+I11/I$17)	=F11-J11	=F11+J11	=B$19*C3/(2*F11)
12	=(C12-D$18)^2	=H$19*D$20*КОРЕНЬ (1/B$18+I12/I$17)	=F12-J12	=F12+J12	=B$19*C3/(2*F12)
13	=(C13-D$18)^2	=H$19*D$20*КОРЕНЬ (1/B$18+I13/I$17)	=F13-J13	=F13+J13	=B$19*C3/(2*F13)
14	=(C14-D$18)^2	=H$19*D$20*КОРЕНЬ (1/B$18+I14/I$17)	=F14-J14	=F14+J14	=B$19*C3/(2*F14)
15	=(C15-D$18)^2	=H$19*D$20*КОРЕНЬ (1/B$18+I15/I$17)	=F15-J15	=F15+J15	=B$19*C3/(2*F15)
16	=(C16-D$18)^2	=H$19*D$20*КОРЕНЬ (1/B$18+I16/I$17)	=F16-J16	=F16+J16	=B$19*C3/(2*F16)
17	=СУММ (I3:I15)
18
19