8 класс задачи

8 класс задачи

1. Между двумя городами курсирует автобус. Из города А в город В он едет с постоянной скоростью 40 км/ч., а обратно возвращается с постоянной скоростью 60 км/ч. Считая время разворота очень малым, найдите среднюю скорость движения на всем пути А-В-А.

Між двома містами курсує автобус. Із міста А у місто В він їде зі сталою швидкістю 40 км/год., а назад повертається зі сталою швидкістю 60 км/год. Вважаючи час розвороту дуже малим, знайдіть середню швидкість руху на всьому шляху А–В–А.

Решение:

Обозначим расстояние между городами А и В буквой s. Скорость движения из А в В обозначим как V1, время – t1, а скорость и время при возвращении из В в А – через V2, время – t2, соответственно.

Согласно определению средней скорости

.

Подставим t1 и t2 в формулу:

км/ч.

2. В воду массой 400 г, взятую при температуре 20°С, добавили 100 г горячей воды, имеющей температуру 70°С. Какой будет температура воды? Считайте, что во время опыта теплообмен с окружающей средой не происходит.

У воду масою 400 г, узяту за температури 20°С, додали 100 г гарячої води, що має температуру 70°С. Якою буде температура води? Вважайте, що під час досліду теплообмін із довкіллям не відбувається.

Решение:

Температура холодной воды увеличивается от 20°С до T. Количество теплоты, полученное холодной водой,

Q1 = c m1(T–T1).

Горячая вода отдает энергию, ее температура уменьшается от 70°С до конечной температуры T. Количество теплоты, отданное горячей водой,

Q2=c m2(T2–T).

Так как теплообмен с окружающей средой не происходит, то для решения задачи можно воспользоваться уравнением теплового баланса

Q1 = Q2,

c m1(T–T1) = c m2(T2–T).

m1(T–T1) = m2(T2–T).

Раскроем скобки:

m1 T – m1  T1 = m2 T2 – m2 T.

m1 T + m2 T = m2 T2 + m1  T1 .

Тогда конечная температура воды будет равна:

3. К рычагу подвешены три грузика (см. рисунок). Чему равна масса грузика 2, если масса грузиков 1 и 3 составляет, соответственно, 4 и 1 кг?

До важеля підвішені три тягарці (див. рисунок). Чому дорівнює маса тягарця 2, якщо маса тягарців 1 і 3 становить відповідно 4 і 1 кг?

Так как к рычагу подвешены три тела, то для решения нужно воспользоваться правилом моментов:

М1 + М2 + М3 = 0,

где M1 = m1 g l1, M2 = m2 g l2, M3 = m3 g l3 – моменты сил тяжести для 1, 2 и 3 грузов, а l1, l2, l3 – плечи этих сил.

Пусть а – длина “единичного отрезка” на рычаге, тогда

4 m1 g a – 2 m2 g a – 6 m3 g a = 0.

Сократив на g и a, выразим массу второго груза:

m2 = 2 m1 – 3 m3 = 2×4 – 3×1 = 5 кг.

4. Масса груза равна 20 кг. Какую силу надо приложить к веревке в точке А, чтобы равномерно поднять груз на некоторую высоту (трение и вес блоков не учитывать)? На какое расстояние hA опустится точка А, если груз поднимется на высоту 10 см?

Маса вантажу дорівнює 20 кг. Яку силу треба прикласти до мотузки в точці А, щоб рівномірно підняти вантаж на деяку висоту (тертя і вагу блоків не враховувати)? На яку відстань hA опуститься точка А, якщо вантаж підніметься на висоту 10 см?

Система блоков состоит из трех подвижных блоков (1, 2 и 3) и одного неподвижного блока (4). По условию, блоки невесомы, поэтому натяжение нитей вызвано только весом груза. Для выяснения выигрыша в силе сравним вес Р груза и силу F, которая приложена к свободному концу веревки и под действием которой поднимается груз.

Нужно учесть, что выиграв в силе, мы во столько же раз проиграем в расстоянии, на которое перемещается груз.

Найдем вес груза: P = mg = 20 кг×10 (Н/кг) = 200 Н.

Подвижный блок можно рассматривать как рычаг, который вращается относительно точки О. Из дополнительного рисунка видно, что плечо силы тяжести груза m g r , подвешенного к центру блока, равна радиусу блока r. Плечо силы F1 , приложенной вдоль веревки, равно диаметру блока 2 r. Поэтому подвижный блок, к которому подвешен груз, дает выигрыш в силе в 2 раза.

F1 = P/2 = 200/2 = 100 H.

При этом в подвижном блоке выигрыш в силе в 2 раза сопровождается таким же проигрышем в расстоянии: если поднять свободный конец веревки на высоту h, то груз поднимется на высоту h/2.

Подвижные блок 2 и 3 также дают выигрыш в силе в 2 раза, тогда силы натяжения 2-й и 3-й веревок равны:

F2 = F1/2 = 100/2 = 100 H,

F3 = F2/2 = 50/2 = 25 H.

Неподвижный блок 4 выигрыша в силе не дает. Поэтому результирующий выигрыш в силе равен:

Во сколько раз мы выиграли в силе, во столько раз мы проиграем в расстоянии, поэтому

hA = 8h = 8×0,1 = 0,8 м.

5. В сообщающиеся сосуды разного сечения налита ртуть так, что ее уровень располагается на расстоянии L = 50 см от края сосуда. Затем в широкий сосуд налили до края воду. На какую высоту h поднялся при этом уровень ртути в узком сосуде? Площадь сечения широкого сосуда в 2 раза больше, чем узкого, плотности ртути r1 = 13,6×103 кг/м3 и воды r2 = 103 кг/м3.

У сполучені посудини різного перетину налита ртуть так, що її рівень знаходиться на відстані L = 50 см від краю посудини. Потім в широку посудину налили до краю воду. На яку висоту h піднявся при цьому рівень ртуті у вузькій посудині? Площа перетину широкої посудини в 2 рази більше, ніж вузької, щільності ртуті r1 = 13,6×103 кг/м3 і води r2 = 103 кг/м3.

Обозначим р1 давление столбика ртути над уровнем ab, р2 — давление столбика воды над этим уровнем, Δh — разность уровней ртути в широком сосуде до и после того, как туда налили воду, ΔV — объем ртути, выдавленный водой из широкого сосуда, S — площадь сечения узкого сосуда, h — высоту, на которую поднялся уровень ртути в узком сосуде, g — ускорение свободного падения.

Выделим на рисунке уровень ab, ниже которого жидкость однородна, т. е. ниже только ртуть, и давления сверху на этом уровне в обоих сосудах приравняем.

В узком сосуде на уровень ab давит сверху столб ртути высотой h + Δh. В широком сосуде на этот уровень сверху давит столб воды высотой L + Δh. Приравняем давление столбика ртути р1 давлению столба воды р2:

р1 = р2,

Тогда

Теперь учтем, что объем ртути ΔV, выдавленный водой из широкого сосуда, равен объему ртути, прибывшей из−за этого в узкий сосуд. Поскольку объем ΔV можно представить как произведение высоты столбика ртути на площадь поперечного сечения сосуда, то применительно к узкому сосуду, площадь сечения которого обозначим S, запишем: ΔV = hS, а применительно к широкому, площадь которого в N = 2 раза больше: ΔV = ΔhNS.

Тогда hS = ΔhNS, откуда

Подставим (2) в (1) и определим из полученного выражения искомую высоту h:

откуда